การประเมินอย่างรวดเร็ว (โดยประมาณ) ของพหุนาม Chebyshev

มีวิธีที่ต้องการวิธีการใช้การประเมินอย่างรวดเร็ว (โดยประมาณ) ของการแก้ไขพหุนาม Chebyshev บนกริดสม่ำเสมอ (ให้ค่าฟังก์ชั่นที่โหนด Chebyshev)? ปัญหาของฉันคือการแก้ไขจะช้าเมื่อระดับของการแก้ไขพหุนามเพิ่มขึ้น

ความคิดต่อไปนี้อยู่ในใจของฉัน:

• พยายามปรับใช้เทคนิค FFT ที่ไม่สม่ำเสมอ (NFFT)
• ใช้ FFT เพื่อคำนวณหาอนุพันธ์ที่โหนด Chebyshev ซึ่งอาจเกิดขึ้นหลังจากไปที่กริดที่ดีกว่า (Chebyshev) เป็นครั้งแรก จากนั้นใช้การประมาณค่าคิวแบบชิ้นต่อชิ้นสำหรับการประเมิน (โดยประมาณ)
• ใช้สูตรบางอย่างที่ใช้เฉพาะค่าฟังก์ชัน (และอนุพันธ์ที่อาจเกิดขึ้น) ที่โหนด "ใกล้เคียง" Chebyshev (ซึ่งเกี่ยวข้องกับเทคนิค NFFT เฉพาะ)

คุณคิดว่าจะใช้การแก้ไข Barycentricหรือไม่? คำอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการที่จะทำมันได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับโหนดเซฟจะได้รับในมาตรา 5 แห่งนี้กระดาษ

นี่คือการประเมินที่แน่นอนของหน่วยสอดแทรก Chebyshev หากคุณกำลังประเมินพหุนามดีกรี$n$ ที่ $m$ โหนดราคาอยู่ใน $\mathcal O(nm)$.

ปรับปรุง

อีกทางเลือกหนึ่งถ้าคุณมีค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Chebyshev interpolatory ของคุณคือการใช้อัลกอริทึม Clenshaw หากคุณมีค่าฟังก์ชันที่โหนด Chebyshev เท่านั้น แต่ต้องประเมินพหุนามหลายครั้งคุณสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ด้วย FFT

อัลกอริทึม Clenshaw ค่อนข้างเร็วกว่าการประมาณค่าแบริเซนทริกเนื่องจากมันต้องการเพียงการเพิ่มเติมและการคูณและมันก็เวกเตอร์ค่อนข้างดี