อาการป่วยเมื่อใช้วิธีการโดยตรงคืออะไร

สมมติว่าเรามีระบบเชิงเส้นและเราไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับการปรับสภาพและไม่มีข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับการแก้ปัญหา เราสุ่มสี่สุ่มห้าใช้กำจัดแบบเกาส์และได้รับการแก้ปัญหาบางx $x$ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะตัดสินว่าโซลูชันนี้เชื่อถือได้หรือไม่ (เช่นระบบมีสภาพดี) โดยไม่ต้องวิเคราะห์เมทริกซ์เบื้องต้นอย่างละเอียดหรือไม่ ขนาดของ pivots ให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้หรือไม่?

และโดยทั่วไปอะไรคือแนวทางหลักในการตรวจจับการเสียสภาพ "ในทันที"

linear-solver condition-number conditioning

— faleichik
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เมทริกซ์ป่วยเมื่อไร มันขึ้นอยู่กับความถูกต้องของวิธีการแก้ปัญหาที่คุณกำลังมองหาเท่าที่ "ความงามอยู่ในสายตาของคนดู" ...

อาจเป็นคำถามของคุณที่ควรจะปรับปรุงใหม่ให้ดีขึ้นเนื่องจากมีตัวประมาณจำนวนเงื่อนไขที่ถูกและมีประสิทธิภาพโดยยึดตามตัวประกอบการรวมตัวของ ? $LU$

สมมติว่าคุณมีความสนใจในความเป็นจริงทั่วไป (หนาแน่นที่ไม่สมมาตร) ปัญหาในการคำนวณแม่นยำสองผมจะแนะนำให้คุณใช้ผู้เชี่ยวชาญ LAPACK แก้DGESVXซึ่งให้ประมาณการสภาพในรูปแบบของมันซึ่งกันและกันที่ )ในฐานะโบนัสคุณยังมีสินค้าอื่น ๆ เช่นการปรับสมดุล / สมการสมดุลการปรับแต่งซ้ำวนซ้ำไปข้างหน้าและย้อนกลับขอบเขตข้อผิดพลาด โดยวิธีการทางพยาธิวิทยาเครื่องป่วย ( ) จะส่งสัญญาณเป็นข้อผิดพลาดโดย $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

ที่จะเข้าสู่รายละเอียดเพิ่มเติม LAPACK ประมาณการจำนวนเงื่อนไขใน 1 บรรทัดฐาน (หรือ -norm ถ้าคุณกำลังแก้ ) ผ่านDGECON อัลกอริทึมพื้นฐานอธิบายไว้ในสนามหญ้า 36: "ที่แข็งแกร่งสามเหลี่ยมแก้สำหรับการใช้งานในสภาพการประมาณค่า" $\infty$ $A^T x = b$

ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในพื้นที่ แต่ปรัชญาของฉันคือ: "ถ้ามันดีพอสำหรับ LAPACK มันสำหรับฉัน"

— Stefano M
แหล่งที่มา

คำตอบของระบบสมการที่ไม่ดีพร้อมเมทริกซ์ของ norm 1 สุ่มทางด้านขวามือของ norm 1 จะมีโอกาสสูงที่จะเป็นบรรทัดฐานของลำดับของหมายเลขเงื่อนไข ดังนั้นการคำนวณวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะบอกคุณว่าเกิดอะไรขึ้น

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

นี่คือสิ่งที่ DGECON กำลังทำอยู่ด้วยการเพิ่มความชำนาญในการปรับทิศทางการค้นหาซ้ำ ๆ เพื่อเพิ่มผลลัพธ์สูงสุดและใช้ตัวแก้รูปสามเหลี่ยมแบบกำหนดเอง (ไม่ใช่แบบ BLAS) เพื่อไม่ให้สิ่งต่าง ๆ เบี่ยงเบนไป ค่าใช้จ่ายในการคำนวณของ DGECON จึงเปรียบได้กับการทดสอบอย่างง่ายของคุณ +1 สำหรับการจดจำเราถึงความหมายอย่างง่ายของเมทริกซ์บรรทัดฐานและหมายเลขเงื่อนไข มันควรจะน่าสนใจที่จะตรวจสอบว่า DGECON แข็งแกร่งกว่าการสุ่มตรวจสอบแบบง่าย ๆ หรือไม่

— Stefano M

โดยคำนึงถึงว่าจำนวนเงื่อนไขในการแก้

เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนเงื่อนไขในการคำนวณ

เพียงพอหรือไม่ที่จะคูณเมทริกซ์ที่ปรับขนาดกับเวกเตอร์แบบสุ่มเหล่านั้นแทนการแก้จริง

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

— faleichik

@faleichik สำหรับแน่ใจว่าไม่มี: เคล็ดลับที่นี่คือการปรับขนาดเพื่อให้

และ

‖

แน่นอนเป็นพีชคณิตเชิงเส้นนี้คุณจะได้ไม่ต้องจริงขนาดแต่

... แต่อย่างไรก็ตามคุณจำเป็นต้องคำนวณแรก

‖

อาร์กิวเมนต์ย้อนกลับของคุณจะต้องคำนวณก่อน

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$ สิ่งที่เรากำลังพยายามประเมิน

— Stefano M

แทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะบอกได้ว่าระบบของคุณมีอาการไม่ดีจากผลลัพธ์เดียว ถ้าคุณไม่คาดการณ์ถึงพฤติกรรมของระบบของคุณ (เช่นรู้ว่าสิ่งที่ควรจะเป็น) ไม่มีอะไรมากที่คุณสามารถพูดได้จากวิธีแก้ปัญหาเดียว

มีกล่าวนี้คุณสามารถได้รับข้อมูลมากขึ้นถ้าคุณแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งระบบเดียวกับที่ สมมติว่าคุณมีระบบในรูปแบบ Bสำหรับ A ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งคุณไม่เคยมีความรู้มาก่อนเกี่ยวกับการปรับสภาพของมันคุณสามารถทำการทดสอบต่อไปนี้: $A$ $Ax=b$

แก้สำหรับเฉพาะทางขวามือด้านเวกข $Ax=b$ $b$
แสดงเวกเตอร์ทางขวามือของคุณโดยโดยที่เล็กมากเมื่อเทียบกับ. $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ $||\mathbf{\epsilon}||$ $||b||$
แก้ W $Ax_{new}=b_{new}$
หากระบบของคุณมีสภาพดีโซลูชั่นใหม่ของคุณควรอยู่ใกล้กับโซลูชันเดิมของคุณ (เช่นควรมีขนาดเล็ก) หากคุณสังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงอย่างมากในโซลูชันใหม่ของคุณ (เช่นมีขนาดใหญ่) แสดงว่าระบบของคุณอาจมีสภาพไม่ดี $||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$

คุณอาจจำเป็นต้องแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นหลายเส้นที่มีเวกเตอร์ทางด้านขวามือที่แตกต่างกันเพื่อให้คุณได้ข้อบ่งชี้ที่ดีขึ้นว่าระบบนั้นมีสภาพที่ไม่ดีหรือไม่ แน่นอนว่ากระบวนการนี้มีการดำเนินการที่ค่อนข้างแพง ( สำหรับการแก้ปัญหาแรกและการดำเนินการสำหรับการแก้ปัญหาแต่ละครั้งที่ต่อเนื่อง หากเมทริกซ์ A ของคุณมีขนาดค่อนข้างเล็กนี่ไม่ใช่ปัญหา หากมีขนาดใหญ่คุณอาจไม่ต้องการทำสิ่งนี้ แต่คุณอาจจะดีกว่าที่จะคำนวณหมายเลขเงื่อนไข $\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ ในบรรทัดฐานที่สะดวก $||A||\cdot||A^{-1}||$

— พอล
แหล่งที่มา

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$

A

$A$

A

$A$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

@ JackPoulson: ถูกต้องแน่นอน ... ฉันเดาว่าฉันเว้นระยะห่างจากมันหมดแล้ว ไม่ต้องกังวล :) ฉันจะอัปเดตคำตอบของฉัน

— Paul

| | A x - b | |

$||Ax - b ||$

| | A | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$

A

$A$

@ Reid.Atcheson: ไม่จริง วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับระบบที่มีสภาพไม่ดียังคงสามารถสร้างสิ่งตกค้างขนาดเล็กได้ สิ่งนี้ไม่ได้จริงๆไม่ได้ให้สิ่งบ่งชี้ใด ๆ กับคุณว่ามันอยู่ห่างไกลจากทางออกที่แท้จริง

— พอล

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$

‖ b ‖

$\|b\|$