อัลกอริทึมที่เร็วที่สุดในการคำนวณจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ขนาดใหญ่ใน Matlab / Octave

9

จากคำจำกัดความของจำนวนเงื่อนไขดูเหมือนว่าจำเป็นต้องใช้การคำนวณเมทริกซ์ผกผันฉันสงสัยว่าสำหรับเมทริกซ์จตุรัสทั่วไป (หรือดีกว่าถ้าสมมาตรบวกแน่นอนได้) เป็นไปได้ที่จะใช้ประโยชน์จากการสลายตัวเมทริกซ์เพื่อคำนวณจำนวนเงื่อนไขใน วิธีที่เร็วกว่า

linear-algebra matrix condition-number

— linello
แหล่งที่มา

7

การคำนวณหมายเลขเงื่อนไข (แม้จะใกล้เคียงกับภายในปัจจัย 2) ดูเหมือนว่าจะมีความซับซ้อนเช่นเดียวกับการคำนวณการแยกตัวประกอบแม้ว่าจะไม่มีทฤษฎีบทในทิศทางนี้

จากปัจจัย Cholesky กระจัดกระจาย $R$ ของเมทริกซ์บวกแน่นอนที่สมมาตรเป็นบวกหรือมาจากกระจัดกระจาย $QR$ การแยกตัวประกอบ (โดยนัย) $Q$ ) ของเมทริกซ์จตุรัสทั่วไปเราสามารถรับหมายเลขเงื่อนไขในบรรทัดฐาน Frobenius โดยการคำนวณชุดย่อยผกผันเบาบางของ $(R^TR)^{-1}$ ซึ่งเร็วกว่าการคำนวณอินเวอร์สแบบเต็ม (ที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้ของฉัน: ไฮบริดสลีบรรทัดฐานและขอบเขตสำหรับระบบเชิงเส้น overdetermined, พีชคณิตเชิงเส้น Appl. 216 (1995), 257-266 http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf )

แก้ไข: ถ้า $A=QR$ จากนั้นด้วยความเคารพต่อหน่วยไม่มีค่าคงที่หน่วย

ค โอ n d (A) = ค โอ n d (R) = \sqrt{ค โอ n d (R^{T} R)} .

$cond(A)=cond(R)=\sqrt{cond(R^TR)}.$ ในการคำนวณ QR เบาบาง factorizations เห็นเช่นที่http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408

สำหรับการคำนวณการผกผันของกระจัดกระจายให้ดูที่บทความของฉัน: การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของการแปรปรวนร่วมในแบบจำลองเชิงเส้นแบบกระจัดกระจาย, การคัดเลือกทางพันธุกรรมวิวัฒนาการ 30 (1998), 1-24
https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf ค่าใช้จ่ายประมาณ 3 เท่าของต้นทุนการแยกตัวประกอบ

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

ดังนั้นคุณจะแนะนำต่อไปนี้: รับเมทริกซ์

A

$\mathbf{A}$ คำนวณ QR ของแบบฟอร์ม

A = Q R

$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$ ที่ไหน

R

$\mathbf{R}$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนและ

Q

$\mathbf{Q}$ เป็นเมทริกซ์มุมฉากจากนั้นจำนวนเงื่อนไขจะได้รับจาก

cond (A) = | | A | | | | A^{- 1} | | (R^{T} R)^{- 1}

$\textrm{cond}(\mathbf{A})=||A|| ||A^{-1}|| (\mathbf{R}^T\mathbf{R})^{-1}$ จุดนี่คือวิธีการค้นหาวิธีที่รวดเร็วในการคำนวณการแยกตัวประกอบ QR ฉันถูกไหม?

— linello

@linello: ไม่มาก; ดูการแก้ไขของฉัน

— อาร์โนลด์ Neumaier

ขอบคุณ! ฉันจะตรวจสอบมัน btw ค่าใช้จ่ายของขั้นตอนนี้คืออะไร?

— linello

@linello: สำหรับเมทริกซ์เต็ม

O (n^{3})

$O(n^3)$ ; สำหรับเมทริกซ์ที่กระจัดกระจายมันขึ้นอยู่กับโครงสร้างของเบาบางมาก

— Arnold Neumaier

4

แน่นอนว่ามันง่ายที่จะใช้การแยกค่า eigenvalue / eigenvector ของเมทริกซ์สมมาตรหรือ SVD ของเมทริกซ์ทั่วไปเพื่อคำนวณหมายเลขเงื่อนไข แต่นี่ไม่ใช่วิธีที่รวดเร็วในการดำเนินการ

มีอัลกอริธึมซ้ำ ๆ ที่สามารถคำนวณการประมาณของจำนวนเงื่อนไขที่มีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่โดยไม่ต้องไปทำงานทั้งหมดของการคำนวณ $A^{-1}$ . ดูตัวอย่างcondestฟังก์ชันใน MATLAB

— Brian Borchers
แหล่งที่มา

แต่การประมาณการบางครั้งก็เล็กเกินไปอย่างมีนัยสำคัญ การคำนวณหมายเลขเงื่อนไข (แม้จะใกล้เคียงกับภายในปัจจัย 2) ดูเหมือนว่าจะมีความซับซ้อนเช่นเดียวกับการคำนวณการแยกตัวประกอบแม้ว่าจะไม่มีทฤษฎีบทในทิศทางนี้

— อาร์โนลด์ Neumaier

1

สำหรับการฝึกอบรมแบบเบาบาง Hermitian $H$ คุณสามารถใช้อัลกอริทึม Lanczos เพื่อคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของมัน ถ้า $H$ ไม่ใช่ Hermitian คุณสามารถคำนวณค่าเอกพจน์ด้วยการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของ $H^TH$ .

เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะ / เอกพจน์ที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดสามารถพบได้อย่างรวดเร็ว (นานก่อนที่การทำให้ tridiagonalization เสร็จสิ้น) วิธีการ Lanczos จึงมีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณหมายเลขเงื่อนไข

— chaohuang
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยอยู่เสมอว่าจะหารหัส matlab ที่อ่านได้สำหรับการทำซ้ำ lanczos ซึ่งชี้แจงวิธีการรับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด คุณช่วยแนะนำฉันที

— linello

ฉันไม่มีรหัส MATLAB สำหรับอัลกอริทึม Lanczos

— chaohuang