ฉันจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่สุ่มตัวอย่างแบบตัวเลขได้อย่างไร

21

มาตรฐานสูตรต่าง จำกัดมีการใช้งานในการคำนวณตัวเลขที่มาภายใต้ความคาดหวังว่าคุณมีค่าฟังก์ชั่นที่จุดเว้นระยะเท่ากันเพื่อให้เป็นค่าคงที่ ถ้าฉันมีจุดเว้นระยะห่างไม่สม่ำเสมอดังนั้นตอนนี้แตกต่างกันไปจากจุดคู่ที่อยู่ติดกันถึงจุดถัดไป เห็นได้ชัดว่าฉันยังสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกได้เช่น $f(x_k)$ $h \equiv x_{k+1} - x_k$ $h$ แต่มีสูตรความแตกต่างเชิงตัวเลขที่คำสั่งซื้อและความแม่นยำสูงกว่าที่สามารถปรับให้เข้ากับการเปลี่ยนแปลงของขนาดกริดได้หรือไม่ $f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]$

finite-difference discretization

— เดวิดซี
แหล่งที่มา

7

คุณสามารถสร้าง interpolant พหุนาม (ทีน) ผ่านจุดของคุณและแยกแยะได้

— JM

หรือคุณสามารถสร้างความแตกต่างสูตรแน่นอนโดยไม่ต้องเข้าใจง่าย

k

บ่อยครั้งสิ่งนี้จะต้องทำเพื่อการรวม แต่เป็นไปได้ว่าคำแนะนำของ JM นั้นมีเสถียรภาพมากขึ้น

h = x_{k + 1} - x_{k}

$h = x_{k+1} - x_k$

— rcollyer

มันเป็นฟังก์ชั่นแบบไหน?

— mbq

ตัวอย่างที่ถามคำถามนี้คือฟังก์ชั่นตัวอย่างที่ค่าระยะห่างแบบลอการิทึม

แต่การคำนวณอนุพันธ์อันดับสองของข้อมูลแปลงสภาพบันทึกให้ผลลัพธ์ที่ตลกและฉันต้องการตรวจสอบมัน บวกฉันคิดว่าฉันจะถามคำถามทั่วไปที่สุด

x_{k} = x_{0} δ^{k}

$x_k = x_0 \delta^k$

— David Z

1

เท่าที่ฉันกังวลสิ่งที่ใช้ได้เฉพาะอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองจะเป็นคำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้ ฉันเขียนคำถามเหมือนที่ฉันทำเพื่อให้ได้คำตอบทั่วไปถ้ามีใครคนหนึ่ง แต่แน่นอนว่าในทางปฏิบัติมันเป็นเกมแรกและชุดที่สองที่มีประโยชน์ที่สุด

— David Z

21

ความคิดเห็นของ JM นั้นถูกต้อง: คุณสามารถค้นหาพหุนามแบบสอดแทรกและแยกความแตกต่างได้ มีวิธีอื่นในการรับสูตรดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วพวกเขาทั้งหมดนำไปสู่การแก้ระบบแวนเดอร์มอนด์สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ วิธีการนี้เป็นปัญหาเมื่อลายฉลุความแตกต่างอัน จำกัด มีคะแนนจำนวนมากเนื่องจากเมทริกซ์ Vandermonde กลายเป็นสภาวะที่ไม่ดี วิธีคิดตัวเลขที่เสถียรยิ่งกว่านั้นคิดค้นโดยFornbergและมีการอธิบายอย่างชัดเจนมากขึ้นและโดยทั่วไปในบทความที่สองของเขา

นี่คือสคริปต์ MATLAB แบบง่าย ๆที่ใช้วิธีของ Fornberg ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการประมาณค่าผลต่างแบบ จำกัด สำหรับอนุพันธ์ลำดับใด ๆ กับชุดของคะแนนใด ๆ สำหรับคำอธิบายที่ดีให้ดูที่บทที่ 1 ของข้อความ LeVeque เกี่ยวกับวิธีการที่แตกต่างกันแน่นอน

เพิ่มเติมเกี่ยวกับสูตร FD: สมมติว่าคุณมีตาราง 1D หากคุณใช้จุดกริดทั้งชุดเพื่อกำหนดชุดของสูตร FD วิธีที่ได้นั้นเทียบเท่ากับการค้นหาพหุนามแบบสอดแทรกผ่านตารางทั้งหมดและแยกความแตกต่างนั้น วิธีการนี้เรียกว่าการจัดระเบียบทางสเปกตรัม อีกวิธีหนึ่งสำหรับจุดกริดแต่ละจุดคุณสามารถกำหนดสูตร FD โดยใช้เพียงไม่กี่จุดที่อยู่ใกล้เคียง นี่คือสิ่งที่ทำในวิธีการ จำกัด แบบดั้งเดิม

ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นด้านล่างการใช้ความแตกต่างอัน จำกัด ของคำสั่งที่สูงมากอาจทำให้เกิดความผันผวน (ปรากฏการณ์ Runge) หากไม่ได้เลือกจุดอย่างระมัดระวัง

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

3

ในทางกลับกันเมื่อคุณใช้การแก้ไขหลายชื่อแบบพหุนามหนึ่งต้องจำสิ่งต่าง ๆ เช่นปรากฏการณ์ของ Runge ที่อาจเกิดขึ้นกับข้อมูลของคุณหากข้อมูลของคุณมีการกำหนดค่าที่ผิดปกติมากพอ ฉันจะบอกว่าพหุนามแบบพหุนามอาจมีความอ่อนไหวต่อเรื่องนี้น้อยลง ...

— JM

1

ฉันสงสัยว่างานของ Koev และเทคนิคของ Fornberg อาจเกี่ยวข้องกันหรือไม่?

— David Ketcheson

1

น่าสนใจพอดูเหมือนว่าจะมีความคล้ายคลึงกันระหว่างสูตรของ Fornberg และสูตรก่อนหน้านี้ที่พัฒนาโดยLyness และ Molerโดยใช้วิธีเนวิลล์คลาสสิคในการสร้างพหุนามแบบสอดแทรก พวกเขาอาจเป็นสูตรเดียวกันในสัญกรณ์ที่แตกต่างกัน แต่ฉันไม่ได้ตรวจสอบอย่างละเอียด

— JM

2

การแก้ไขพหุนามที่มีหลายจุดต้องมีการแจกแจงจุดพิเศษเพื่อให้มีสภาพที่ดี โดยทั่วไปสำหรับการแจกแจงจุดที่ไม่สม่ำเสมอจะไม่แนะนำให้ทำการแก้ไขและจากนั้นความแตกต่างการแก้ไขพหุนามเพราะมันสามารถแกว่งสูง (คิดว่า "ปรากฏการณ์ Runge" ดังที่ได้กล่าวไว้โดย JM) มันอาจจะเป็นความคิดที่ดีกว่าที่จะใช้ลูกบาศก์ splines ซึ่งในทางปฏิบัติหลายอย่างนั้นสามารถให้คำตอบที่ดีสำหรับปัญหาการประมาณของตราสารอนุพันธ์ที่ประมาณขึ้นอยู่กับความต้องการของคุณ

— Allan P. Engsig-Karup

1

คำตอบที่ดี สำหรับข้อมูลเท่านั้นบทความนี้เป็นอีกทางเลือกหนึ่งของ Fornberg มันเป็นไปตามหลักการเดียวกัน แต่ให้อัลกอริทึมที่แตกต่างกัน

— davidhigh

3

http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/

สิ่งนี้จะตอบคำถามของคุณและแสดงสูตรที่คุณต้องการสำหรับอนุพันธ์อันดับสอง ตราสารอนุพันธ์ที่สูงกว่ามีรูปแบบเดียวกัน

— user3554
แหล่งที่มา

2

คำตอบข้างต้นนั้นยอดเยี่ยมในแง่ของการให้รหัสแก่คุณที่จะใช้ แต่ก็ไม่ดีเท่าทฤษฎี หากคุณต้องการเจาะลึกลงไปในโพลีโนมิล interpolating ให้ลึกลงไปดูทฤษฏีการรักษาด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:

ซิงห์, Ashok K. และ BS Bhadauria "สูตรผลต่าง จำกัด สำหรับช่วงเวลาย่อยที่ไม่เท่ากันโดยใช้สูตรการแก้ไขของลากรองจ์" วารสารคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์ระหว่างประเทศ 3.17 (2009): 815-827 ( ลิงก์ไปยัง PDF )

ผู้เขียนใช้การประมาณค่าลากรองจ์ (ดูบทความWikipedia ) เพื่อคำนวณพหุนามแบบประมาณ 3 จุด 4 จุดและ 5 จุดรวมถึงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งสองและสาม พวกเขามีการแสดงออกสำหรับข้อผิดพลาดการตัดทอนเช่นกันซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาเมื่อใช้รูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอน พวกเขายังมีสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณการเติมคำพหุนามโดยใช้จุดN

ชื่อพหุนามการประมาณค่าแบบลากรองจ์นั้นมีประโยชน์เพราะพวกมันและอนุพันธ์ของพวกมันนั้นแม่นยำมากในโดเมนที่คุณกำลังทำการสอดแทรกและพวกมันไม่ได้เว้นระยะแม้แต่กริด เนื่องจากธรรมชาติของชื่อพหุนามการประมาณค่าแบบลากรองจ์คุณจึงไม่สามารถมีคำสั่งซื้อขายตราสารอนุพันธ์ได้มากกว่าที่คุณมีจุดกริด

ฉันคิดว่าสิ่งนี้ตอบคำถามของคุณได้ดีเพราะกระดาษที่ฉันอ้างถึงมีสูตรสำหรับความแตกต่างอัน จำกัด สูงโดยพลการซึ่งโดยธรรมชาติมีไว้สำหรับกริดที่ไม่เท่ากัน บทความนี้ยังมีสูตรทั่วไปสำหรับข้อผิดพลาดในการตัดทอนซึ่งจะช่วยให้คุณประเมินรูปแบบพหุนามการประมาณค่าลาพรังเจียนกับแผนการอื่น ๆ ที่คุณอาจกำลังพิจารณา บทความของผู้เขียนควรให้ผลลัพธ์เหมือนกับวิธีของ Fornberg การมีส่วนร่วมของพวกเขาเป็นเพียงการรวบรวมตัวอย่างจริง ๆ และให้การประมาณข้อผิดพลาดซึ่งคุณอาจพบว่ามีประโยชน์

ฉันพบทั้งกระดาษที่ฉันอ้างถึงและงานของ Fornberg เพื่อเป็นประโยชน์สำหรับการวิจัยของฉันเอง

— jvriesem
แหล่งที่มา

1

ขออภัยที่ฉันต้องระบุ แต่การอ้างอิงของคุณดูแปลก ๆ - พวกเขาใช้สูตรที่น่ากลัวและแก้ปัญหาเฉพาะบางกรณีเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม Fornberg ได้แก้ไขปัญหาทั่วไปด้วยการให้อัลกอริธึมที่ง่ายและในยุค 80 มีอยู่แล้ว ดูที่นี่

— davidhigh

อีกกระดาษที่แก้ปัญหาทั่วไปอยู่ที่นี่

— davidhigh

2

และความคิดเห็นล่าสุดเพื่อดูหมิ่นหนังสือพิมพ์นี้ ใน "การรักษาเชิงทฤษฎีที่ยอดเยี่ยม" คุณไม่สามารถมีการอ้างอิง 9 ข้อโดยที่ 7 อ้างถึงงานของคุณและหนึ่งในหนังสือการวิเคราะห์เชิงตัวเลขทั่วไป อย่างน้อยก็ไม่ใช่ถ้าคุณไม่ได้คิดค้นหัวข้อด้วยตัวเองซึ่งผู้เขียนเหล่านั้นยังไม่ได้

— davidhigh

คุณพูดถูก ฉันจะไม่พูดว่าสูตรนั้นน่ากลัวแม้ว่าพวกเขาจะสามารถปรับปรุงได้ กรณีพิเศษค่อนข้างดีในการทดสอบ / เปรียบเทียบและพวกเขาก็ให้สูตรทั่วไปซึ่งต้องเหมือนกับของฟอร์นเบิร์ก

— jvriesem

1

@jvriesem โปรดทราบว่าเอกสารที่อ้างถึงนั้นมีการลงชื่อที่ไม่ถูกต้องในเทอมที่สามใน Eqn (15b)

— Tarek

0

ฉันพบกระดาษในสูตรที่แตกต่างไม่เท่ากันแน่นอนกับช่วงเวลาย่อย- ฉันจะใช้สิ่งนี้แทนการแก้ไข เมื่อฉันพิมพ์สูตรทั้งหมดออกแล้วฉันจะโพสต์ไว้ที่นี่

— โอมาร์
แหล่งที่มา

-4

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้การประมาณผลต่าง จำกัด

การประมาณสองจุดอย่างง่ายคือการคำนวณความชันของเส้นตัดวงกลมที่อยู่ใกล้เคียงผ่านจุด (x, f (x)) และ (x + h, f (x + h)) [1] การเลือกตัวเลขขนาดเล็ก h, h หมายถึงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน x และสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ ความชันของเส้นตรงนี้คือ

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f(x+h)-f(x)\over h$

การแสดงออกนี้เป็นความฉลาดทางผลต่างของนิวตัน

ความชันของเส้นตัดเส้นตรงนี้แตกต่างจากความชันของเส้นสัมผัสโดยปริมาณที่เป็นสัดส่วนประมาณ h เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์ความชันของเส้นตัดวงกลมตัดเข้าหาความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้นอนุพันธ์ที่แท้จริงของ f ที่ x คือขีด จำกัด ของมูลค่าของผลหารผลต่างขณะที่เส้นตัดวงกลมตัดเข้าใกล้กันมากขึ้นเรื่อย ๆ จนกลายเป็นเส้นแทนเจนต์

— evion2011
แหล่งที่มา

1

ฉันคิดว่าคุณกำลังถูกลดระดับลงเนื่องจาก David Zaslavsky กล่าวถึงสูตรความฉลาดทางความแตกต่างโดยเฉพาะและคำถามนั้นถามว่ามีการประมาณที่ดีกว่านี้ไหม

— ด่าน

7

และเนื่องจากเป็นคัดลอกและวางโดยตรงจากWikipediaยกเว้นลิงก์สแปมที่ แต่เดิมเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ

— David Z