อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพและแม่นยำสำหรับการประเมินฟังก์ชั่น hypergeometric คืออะไร?

16

ฉันอยากรู้ว่าอัลกอริธึมเชิงตัวเลขที่ดีใดที่มีอยู่สำหรับการประเมินฟังก์ชัน hypergeometric ทั่วไป (หรืออนุกรม) ที่กำหนดเป็น

_{p} F_{q} (a_{1}, \dots, a_{p}; b_{1}, \dots, b_{q}; z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(a_{1})_{k} \dots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k} \dots (b_{q})_{k}} \frac{z^{k}}{k!}

${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$

โดยทั่วไปชุดนี้ไม่จำเป็นต้องมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว (หรือเลย) ดังนั้นการสรุปคำศัพท์ทีละคำดูเหมือนน้อยกว่าอุดมคติ มีวิธีอื่นที่ใช้งานได้ดีกว่านี้หรือไม่ โดยเฉพาะฉันกำลังมองหาบางอย่างที่จะให้ความแม่นยำ 4 หรือ 5 หลักพร้อมการคำนวณที่สมเหตุสมผล

ส่วนใหญ่กรณีทั่วไปที่ผมมักจะเห็นใช้มีและแต่ในโครงการโดยเฉพาะอย่างยิ่งผมทำงานเกี่ยวกับฉันมีความจำเป็นในการ 2เห็นได้ชัดว่าอัลกอริธึมทั่วไปสำหรับและนั้นเป็นอุดมคติ แต่ฉันจะทำตามที่ฉันจะได้รับ $p=1,q=1$ $p=2,q=1$ $p=1,q=2$ $p$ $q$

special-functions

— เดวิดซี
แหล่งที่มา

หากกรณีของคุณไม่ครอบคลุมอยู่ในคู่มือของ Abramowitz และ Stegun ( people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm ) ซึ่งไม่ใช่คุณคิดว่าคุณควรคิดด้วยตัวเอง กลัว ...

— Jaime

15

ในแอพพลิเคชั่นเดียวมันค่อนข้างจะเป็นไปได้ที่คุณจะต้องใช้เซตย่อยเล็ก ๆ มันเป็นฟังก์ชั่นทั่วไปมากหลังจากทั้งหมด มีความคิดเกี่ยวกับช่วงของและพารามิเตอร์จะช่วยให้คำแนะนำเฉพาะเจาะจงมากขึ้น $z$ $a_i, b_i$

โดยทั่วไปแล้ววิธีการมาตรฐานซึ่งสมมติว่านั้นแน่นอนว่าจะใช้ชุดพลังงานที่กำหนดเมื่อเล็ก. ถ้าเป็นการดีที่สุดที่จะเปลี่ยนเป็นการขยายแบบเชิงสัญลักษณ์เมื่อมีขนาดใหญ่ทั้งชุดเทย์เลอร์มาบรรจบกันช้าเกินไปและ / หรือเพราะมันกลายเป็นไม่ถูกต้องมากเกินไปเนื่องจากการยกเลิกหายนะ การตัดยอดที่ดีที่สุดระหว่างอัลกอริธึมเหล่านี้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และข้อกำหนดด้านความแม่นยำ $p \le q + 1$ $|z|$ $p < q + 1$ $|z|$

สำหรับ ชุด asymptotic จะได้รับโดยhttp://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/มันดูค่อนข้างน่ากลัว แต่ถ้าคุณได้รับการแก้ไขคุณสามารถ คำนวณค่าตัวเลขสำหรับสัมประสิทธิ์ล่วงหน้า พบสูตรทั่วไปใน DLMF:http://dlmf.nist.gov/16.11(โปรดทราบว่าจำเป็นต้องมีการดูแลบางอย่างเพื่อเลือกการตัดกิ่งที่ถูกต้อง) ${}_1F_2$ $a_1, b_1, b_2$

$z$

$p = q + 1$ $1/z$ $p > q + 1$

สำหรับการนำไปใช้อย่างสมบูรณ์มีปัญหาอื่น ๆ ที่ต้องพิจารณาเช่นกัน (ตัวอย่างเช่นการจัดการกับพารามิเตอร์ที่มีขนาดใหญ่มากหรือใกล้เคียงกับจำนวนเต็มลบ) สำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่ดีพอมันจะยากมากที่จะได้รับค่าที่แม่นยำด้วยความแม่นยำสองเท่าไม่ว่าคุณจะทำอะไรดังนั้นอาจจำเป็นต้องใช้เลขคณิตความแม่นยำโดยพลการ

ฉันควรทราบว่าฉันได้เขียนการดำเนินการเชิงตัวเลขที่เกือบสมบูรณ์ของฟังก์ชั่น hypergeometric ทั่วไปสำหรับห้องสมุด mpmath (ขณะนี้มันขาดซีรีย์ซีมโทติคสำหรับฟังก์ชั่นที่สูงกว่า ${}_2F_3$

— Fredrik Johansson
แหล่งที่มา

ยอดเยี่ยม น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถระบุค่าพารามิเตอร์ได้มากขึ้นเพราะฟังก์ชั่นจะปรากฏขึ้นในหลาย ๆ ที่ที่มีค่าต่าง ๆ ฉันจะสนใจใช้งานและ / หรือดูการใช้งานของคุณอย่างแน่นอนในบางครั้ง

— David Z

1

คำตอบของ Fredrik ถูกต้อง ฉันจะชี้ให้เห็นว่าฉันลงเอยด้วยการใช้เหตุผลอย่างประมาณ (จาก Mathematica) สำหรับค่าพิเศษของสัมประสิทธิ์ "a" และ "b" เพราะมันถูกต้องสำหรับจริงทั้งหมด "z" (ฉันแบ่งแกนจริงเป็นช่วง ๆ และใช้การประมาณด้วยเหตุผลที่แตกต่างกันในแต่ละ) และรวดเร็วมาก ฉันใช้ mpmath เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการใช้ความแม่นยำสองเท่าใน Fortran

— OndřejČertík

2

การอ้างอิงแบบบัญญัติสำหรับฟังก์ชั่นพิเศษทั้งหมดคือ Abramowicz และ Stegun นี่คือหนังสือที่มีมานานประมาณครึ่งศตวรรษในไม่ช้าและหากมีบางสิ่งที่คุณไม่สามารถหาได้ให้ดูที่ "รุ่นที่สองที่ได้รับการปรับปรุง" ซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นเว็บไซต์ที่จัดทำโดยสถาบันมาตรฐานแห่งชาติ (NIST) ) ฉันไม่มี URL ที่แน่นอน แต่ก็ไม่ยากที่จะหา

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

2

ตอนนี้เรียกว่า "ห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์"; ฟังก์ชั่น hypergeometric มีเรื่องของบทที่ 15

— Christian Clason

1

_{2} F_{1}

$_2F_1$

_{1} F_{2}

$_1F_2$