สม่ำเสมอกับตารางที่ไม่สม่ำเสมอ

มันอาจเป็นคำถามระดับนักเรียน แต่ฉันไม่สามารถพูดให้ตรงกับตัวเองได้ ทำไมการใช้กริดที่ไม่สม่ำเสมอในการคำนวณตัวเลขจึงมีความแม่นยำมากกว่า ฉันคิดในบริบทของบางวิธีการ จำกัด แตกต่างกันสำหรับการแหกตาของรูปแบบที่t) และถือว่าฉันสนใจในการแก้ปัญหาที่จุดที่AST} ดังนั้นผมจะเห็นว่าถ้าผมใกล้เคียงกับอนุพันธ์ที่สองเช่นบนตารางเครื่องแบบใช้สามประมาณจุดข้อผิดพลาดเป็นลำดับที่สอง2) จากนั้นฉันก็สามารถสร้างกริดที่ไม่สม่ำเสมอผ่านการแมปและหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับจุดสามจุดที่ใช้ในการประมาณอนุพันธ์ ฉันสามารถขยายเทย์เลอร์และได้รับขอบเขตสำหรับอนุพันธ์เป็นอันดับสองโดยที่x ∗ O ( h 2 ) O ( h 2 ) $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$$O(h^2)$$h$คือระยะทางบนกริดสม่ำเสมอที่ฉันได้รับการแม็พกับกริดที่ไม่สม่ำเสมอ การประมาณทั้งสองประกอบด้วยอนุพันธ์และมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมการแก้ปัญหาจะแม่นยำมากขึ้นในกริดที่ไม่สม่ำเสมอเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับขนาดของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องในการประมาณความคลาดเคลื่อน?

เหตุผลสำหรับตาข่ายที่ไม่เหมือนกันมีลักษณะดังนี้ (สมการทั้งหมดเข้าใจว่าเป็นเชิงคุณภาพกล่าวคือโดยทั่วไปจริง แต่ไม่มีข้ออ้างที่จะพิสูจน์ได้ดังนั้นในทุกสถานการณ์และสำหรับสมการทั้งหมดหรือ discretizations ที่เป็นไปได้ทั้งหมด):

เมื่อทำการแก้สมการด้วยพูดองค์ประกอบเชิงเส้น จำกัด จากนั้นคุณมักจะมีการประมาณข้อผิดพลาดของชนิด หรือเท่ากัน แต่อยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมกว่าต่อไปนี้: \ | u-u_h \ | _ {L ^ 2 (\ Omega )} ^ 2 \ le C h _ {\ text {max}} ^ 4 \ | \ nabla ^ 2 u \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2 อย่างไรก็ตามนี่คือการประเมินค่าสูงไป ในความเป็นจริงเราสามารถในหลาย ๆ กรณีแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดเป็นจริงของรูปแบบ \ | u-u_h \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2 \ le C \ sum_ {K \ in {\ mathbb T} } h_K ^ 4 \ | \ nabla ^ 2 u \ | _ {L ^ 2 (K)} ^ 2 นี่Kเป็นเซลล์ของสม\ mathbb T สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าในการที่จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดเล็ก ๆ มันไม่จำเป็นที่จะลดค่าสูงสุด‖ ยู- ยูเอช‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C H 4 สูงสุด ‖ ∇ 2 U ‖ 2 L 2 ( Ω ) ‖ u - u

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ K $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$ตาข่ายขนาด$h_\text{max}${} แต่กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือปรับสมดุลการมีส่วนร่วมของข้อผิดพลาดของ$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ - กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณควรเลือก $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งขนาดตาข่ายท้องถิ่น$h_K$ควรมีขนาดเล็กเมื่อสารละลายมีความหยาบ (มีอนุพันธ์ขนาดใหญ่) และขนาดใหญ่ที่สารละลายเรียบและสูตรข้างต้นให้การวัดเชิงปริมาณสำหรับความสัมพันธ์นี้

พิสูจน์ด้วยตัวคุณเองด้วยตัวอย่างนี้ อะไรคือข้อผิดพลาดสูงสุดเมื่อทำการแก้ไข sqrt (x) ในช่วงเวลา [0,1] ด้วยการประมาณค่าเชิงเส้นเป็นเส้นตรงบนตาข่ายที่เท่ากัน?

อะไรคือข้อผิดพลาดสูงสุดเมื่อทำการสอดแทรกตาข่ายที่มีการให้คะแนน ith of n (i / n) ^ s และ s เป็นพารามิเตอร์การคัดเกรดตาข่ายที่เลือกอย่างระมัดระวัง?

เหตุผลทั่วไปที่ว่าทำไมเครื่องแบบที่ไม่สม่ำเสมอสามารถนำไปสู่ความแม่นยำที่สูงขึ้นคือ PDE ในการแก้ปัญหาไม่ใช่รูปแบบแต่เป็นรูปแบบ x หากกริดที่ไม่สม่ำเสมอของคุณอนุญาตให้คุณแสดงค่าแท้จริงได้แม่นยำยิ่งขึ้นคุณจะได้โซลูชันที่แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจากโดยปกติแล้วจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของวัสดุจึงน่าจะเป็นค่าคงที่ภายในแต่ละวัสดุดังนั้นโดยปกติคุณจะมีฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละส่วนและควรจัดตำแหน่งกริดให้เหมาะสม$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

เหตุผลที่แตกต่างอาจเป็นเพราะมีการเปลี่ยนแปลงในบางภูมิภาคมากกว่าที่อื่น หนึ่งสามารถลองชดเชยนี้เล็กน้อยด้วยตารางไม่สม่ำเสมอที่ปรับแต่งแล้ว (อย่างไรก็ตามในความคิดของฉันมีเทคนิคอื่น ๆ ที่สามารถจัดการกับสถานการณ์นี้ได้ดีกว่ากริดที่ไม่สม่ำเสมอ)$u(x,0)$

Kamil การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสากลการแก้ไขคือในท้องถิ่น ในการแก้ไขพหุนามแบบชิ้นเดียวความถูกต้องที่ห่างไกลจากความเป็นเอกเทศจะไม่ถูกรบกวนจากภาวะเอกฐาน น่าเสียดายที่นี่ไม่เป็นความจริงเลยสำหรับการแก้สมการรูปไข่เช่นปัญหาค่าขอบเขตสองจุด ภาวะเอกฐานจะส่งผลกระทบต่อการประมาณทั่วโลก

นี่คือสิ่งที่ต้องลอง แก้ปัญหา D (sqrt (x) Du) บน [0,1] ด้วย Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกัน bcs D คือตัวดำเนินการที่ต่างกัน ใช้องค์ประกอบ จำกัด หรือความแตกต่างแน่นอนบนตาข่ายเครื่องแบบ n-point เปรียบเทียบกับตาข่ายที่จุด ith คือ (1 / n) ^ 1.5 โปรดทราบว่าข้อผิดพลาดที่เลวร้ายที่สุดสำหรับตาข่ายแบบฟอร์มนั้นอยู่ไกลจากเอกพจน์และมีขนาดใหญ่กว่าแบบตาข่ายแบบช้า