เมื่อเราใช้ชื่อพหุนาม Bernstein ในใบสมัคร

เมื่อมีความต้องการใช้พหุนามเบิร์นสไตน์เพื่อประมาณฟังก์ชั่นต่อเนื่องแทนที่จะใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเบื้องต้นต่อไปนี้: "พหุนามลากรองจ์", "ตัวดำเนินการความแตกต่าง จำกัด อย่างง่าย"

คำถามเกี่ยวกับการเปรียบเทียบวิธีการเหล่านี้

พหุนามเบิร์นสไตน์และพหุนามลากรองจ์ทั้งคู่ครอบคลุมพื้นที่เดียวกัน ดังนั้นในแง่ของฟังก์ชั่นที่เป็นไปได้เราสามารถเป็นตัวแทนได้การใช้งานอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง อย่างไรก็ตามหากคุณกำลังคิดที่จะใช้ฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้ในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์หรือปัญหาการแก้ไขคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่คุณสร้างจะขึ้นอยู่กับชื่อพหุนามที่คุณเลือกเป็นพื้นฐาน สิ่งนี้สามารถทำให้เกิดความแตกต่างในการบรรจบกันของนักแก้ซ้ำ อย่างไรก็ตามในกรณีที่ไม่มีข้อผิดพลาดพีชคณิตเชิงเส้นคุณจะได้รับคำตอบเดียวกันโดยใช้พื้นฐาน

การเปรียบเทียบสิ่งนี้กับผู้ประกอบการที่แตกต่างกันแน่นอนเป็นเรื่องที่แตกต่าง การใช้ชื่อประกอบด้วยชื่อพหุนามจะทำให้คุณประมาณค่าคลาดเคลื่อนบนบรรทัดฐานต่อเนื่อง ฉันไม่เชี่ยวชาญในความแตกต่างที่ จำกัด แต่ความเข้าใจของฉันคือคุณจะได้รับการประเมินข้อผิดพลาดเฉพาะในสถานที่ที่คุณเลือกที่จะแยกแยะ สิ่งที่เกิดขึ้นระหว่างจุดเหล่านี้ไม่ชัดเจน

ฉันใช้พหุนาม Bernstein ในวิธีการจัดระเบียบเพื่อแก้ปัญหาค่าขอบเขตสำหรับ ODE และ PDE พวกเขาค่อนข้างน่าสนใจ

การบรรจบกันของ exposential สำหรับ BVP เชิงเส้นบางส่วน แต่ช้าลงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการจัดระเบียบ Chebyshev, Legendre Galerkin และ Tau

นี่คือตัวเลขเปรียบเทียบอัตราการลู่เข้ากับวิธีการวัดสเปกตรัมของ Chebyshev ตัวอย่างปัญหาคือ linear BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

ที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน Dirichlet BCS ที่, และ C คือคงที่ 2$C=-4e/(1+e)^2$

ฉันอัพโหลดรูปนี้ไปยังfigshareด้วย

หากคุณต้องการคุณสามารถตรวจสอบรหัสที่ฉันเขียนได้:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

และนี่คือกระดาษ arxiv ที่ฉันเขียนเกี่ยวกับการแก้วงรี BVPs ในรูปสี่เหลี่ยมโดยใช้การจัดระเบียบพหุนามเบิร์นสไตน์

ปีที่แล้วพวกเขาเฉลิมฉลองหนึ่งร้อยปีของพหุนาม Bernstein - อีกหนึ่งข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ

กระดาษด้านล่างแสดงให้เห็นว่าการเป็นตัวแทนชื่อพหุนามในรูปแบบเบิร์นสไตน์นำไปสู่อัลกอริทึมที่มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขในหลายกรณี:

RT Farouki, VT Rajan, บนเงื่อนไขเชิงตัวเลขของพหุนามในรูปแบบ Bernstein, การออกแบบทางเรขาคณิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย , เล่มที่ 4, ฉบับที่ 3, พฤศจิกายน 2530, หน้า 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

จุดควบคุมของเส้นโค้งเบซิเยร์อยู่ใกล้กับโค้ง แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่บนโค้ง นี่เป็นสถานการณ์เดียวกับการประมาณโดยพหุนาม Bernstein และในความเป็นจริงพหุนาม Bernstein เป็นพื้นฐานสำหรับเส้นโค้งเบซิเยร์ คุณสามารถใช้เส้นโค้งเบซิเยร์ลำดับสูงเพื่อวาดเส้นเรียบผ่านเส้นโค้งที่กำหนดโดยจุดที่มีเสียงดังและไม่มีใครทำเช่นนี้เนื่องจากความพยายามในการคำนวณสูง ในความเป็นจริงการแก้ไขพหุนามสูงมากไม่ค่อยได้ถูกใช้ด้วยเหตุผลเพียงว่าการแก้ไข Chebyshev เพียงบางครั้งก็เป็นข้อยกเว้นจากกฎนั้น

แต่ถ้าเราพูดถึงการแก้ไขพหุนามแบบลำดับต่ำเท่านั้นสเปคที่ใช้งานง่ายของเส้นโค้งเบซิเยร์ผ่านจุดควบคุมนั้นเป็นข้อได้เปรียบที่ชัดเจนกว่าวิธีอื่น ๆ อย่างไรก็ตามในแง่นี้ NURBS นั้นดียิ่งขึ้น แต่อย่างน้อยเส้นโค้งเบซิเยร์เป็นกรณีพิเศษของ NURBS และพหุนามเบิร์นสไตน์ก็เป็นส่วนประกอบที่สำคัญสำหรับ NURBS