ทำไมตัวแก้ปัญหาเชิงเส้นย้ำของฉันถึงไม่มาบรรจบกัน?

สิ่งที่ผิดพลาดเมื่อใช้วิธี Krylov แบบ preconditoned จากKSP ( แพคเกจแก้ปัญหาเชิงเส้นของPETSc ) เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นแบบกระจัดกระจายเช่นที่ได้จากการทำ discretizing และ linearizing สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน?

ฉันสามารถใช้ขั้นตอนใดในการพิจารณาว่าเกิดปัญหาอะไรขึ้นกับฉัน

ฉันสามารถเปลี่ยนแปลงอะไรได้บ้างเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นอย่างประสบความสำเร็จและมีประสิทธิภาพ

คำแนะนำเบื้องต้น

• เรียกใช้ด้วยเสมอ-ksp_converged_reason -ksp_monitor_true_residualเมื่อพยายามที่จะเรียนรู้ว่าทำไมวิธีการไม่ได้มาบรรจบกัน
• ทำให้ขนาดของปัญหาและจำนวนของกระบวนการเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้เพื่อแสดงให้เห็นถึงความล้มเหลว คุณมักจะเข้าใจอย่างถ่องแท้โดยการพิจารณาว่าปัญหาเล็ก ๆ นั้นแสดงพฤติกรรมที่ทำให้วิธีการของคุณพังทลายลงและลดระยะเวลาในการหมุนรอบ นอกจากนี้ยังมีเทคนิคการตรวจสอบบางอย่างที่สามารถใช้ได้กับระบบขนาดเล็กเท่านั้น
• หากปัญหาเกิดขึ้นหลังจากขั้นตอนจำนวนมากขั้นตอนต่อเนื่องหรือขั้นตอนการแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นให้ลองเขียนสถานะของแบบจำลองออกมาเมื่อเกิดความล้มเหลวเพื่อให้คุณสามารถทดสอบได้อย่างรวดเร็ว
• อีกทางเลือกหนึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากซอฟต์แวร์ของคุณไม่มีความสามารถในการตรวจสอบใช้-ksp_view_binaryหรือMatView()บันทึกระบบเชิงเส้นจากนั้นใช้โค้ดที่$PETSC_DIR/src/ksp/ksp/examples/tutorials/ex10.cอ่านในเมทริกซ์และแก้ไขมัน (อาจมีกระบวนการที่แตกต่างกัน) นี่ต้องใช้เมทริกซ์ที่ประกอบขึ้นมาดังนั้นจึงมีประโยชน์ค่อนข้าง จำกัด
• มีตัวเลือกการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้มากมาย (เช่นจำนวนอนันต์ที่บรรทัดคำสั่งใน PETSc เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบการจัดเรียงตามอำเภอใจ) ดูคำถามนี้สำหรับคำแนะนำทั่วไปเกี่ยวกับการเลือกตัวแก้เชิงเส้น

สาเหตุทั่วไปของ KSP ที่ไม่ได้มาบรรจบกัน

• สมการนั้นเป็นเอกพจน์จากอุบัติเหตุ (เช่นลืมที่จะกำหนดเงื่อนไขขอบเขต) -pc_type svd -pc_svd_monitorตรวจสอบเรื่องนี้สำหรับปัญหาขนาดเล็กที่ใช้ ลองใช้วิธีแก้ปัญหาโดยตรงด้วย-pc_type lu(ผ่านแพ็คเกจของบุคคลที่สามพร้อมกันเช่น-pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist)
• สมการมีเจตนาเอกพจน์ (เช่นคงพื้นที่ null) แต่วิธี Krylov KSPSetNullSpace()ไม่ได้แจ้งให้ดู
• สมการนั้นเป็นเอกพจน์โดยเจตนาและKSPSetNullSpace()ถูกนำมาใช้ แต่ด้านขวามือไม่สอดคล้องกัน คุณอาจจะมีการโทรบนด้านขวามือก่อนที่จะเรียกMatNullSpaceRemove()KSPSolve()
• สมการนั้นไม่ จำกัด จำนวนเพื่อให้ผู้กำหนดเงื่อนไขมาตรฐานไม่สามารถทำงานได้ โดยปกติแล้วคุณจะรู้นี้จากฟิสิกส์ แต่คุณสามารถตรวจสอบกับ -ksp_gmres_restart 1000 -pc_type none-ksp_compute_eigenvalues -pc_type fieldsplit -pc_fieldsplit_type schur -pc_fieldsplit_detect_saddle_pointสำหรับปัญหาจุดง่ายอานลอง ดูคู่มือผู้ใช้และหน้าคน PCFIELDSPLITสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม สำหรับปัญหาที่ยากขึ้นอ่านวรรณกรรมเพื่อค้นหาวิธีการที่มีประสิทธิภาพและถามที่นี่ ( petsc-users@mcs.anl.govหรือpetsc-maint@mcs.anl.gov) หากคุณต้องการคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการใช้งาน ตัวอย่างเช่นดูคำถามนี้สำหรับความถี่สูง Helmholtz สำหรับขนาดของปัญหาที่พอประมาณดูว่าคุณสามารถใช้ชีวิตด้วยการใช้ตัวแก้ปัญหาโดยตรงหรือไม่
• หากวิธีการมาบรรจบกันในสิ่งที่เหลืออยู่ก่อนกำหนด แต่ไม่ได้อยู่ในความจริงที่เหลืออยู่สิ่งที่น่าเป็นไปได้นั้นน่าจะเป็นเอกพจน์หรือเกือบจะเป็นเช่นนั้น นี่เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับปัญหาของจุดอาน (เช่นการไหลที่ไม่บีบอัด) หรือตัวดำเนินการที่ไม่สมมาตรอย่างรุนแรง (เช่นปัญหาไฮเปอร์โบลิคต่ำแมชชีนที่มีขั้นตอนเวลามาก)
• สิ่งที่จำเป็นก่อนหน้านี้อ่อนเกินไปหรือไม่มั่นคง ดูว่า-pc_type asm -sub_pc_type luปรับปรุงอัตราการลู่เข้าหรือไม่ หาก GMRES -ksp_gmres_restart 300คือการสูญเสียความคืบหน้ามากเกินไปในการรีสตาร์ทดูว่าเตะอีกต่อไปช่วยเหลือ หากมีทรานสโพสต์ให้ลอง-ksp_type bcgsหรือวิธีการอื่นที่ไม่ต้องรีสตาร์ท (โปรดทราบว่าการบรรจบกันกับวิธีการเหล่านี้มักจะผิดปกติ)
• เมทริกซ์การปรับสภาพล่วงหน้าอาจไม่ใกล้เคียงกับโอเปอเรเตอร์ ลองแก้ด้วยตัวแก้ปัญหาโดยตรงทั้งแบบอนุกรม-pc_type luหรือแบบขนานโดยใช้แพ็คเกจของบุคคลที่สาม (เช่น-pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_distหรือmumps) วิธีการควรมาบรรจบกันในการทำซ้ำหนึ่งถ้าเมทริกซ์เหมือนกันและในการทำซ้ำ "เล็ก" จำนวนอื่น ลอง-snes_type testตรวจสอบเมทริกซ์หากการแก้ปัญหาไม่เชิงเส้น
• preconditioner คือไม่เชิงเส้น (เช่นซ้อนกันย้ำแก้) -ksp_type fgmres or -ksp_type gcrลอง
• คุณกำลังใช้เรขาคณิตหลายจุด แต่สมการบางอย่าง (มักจะเป็นเงื่อนไขขอบเขต) ไม่ได้ถูกปรับอัตราส่วนให้เข้ากันได้ระหว่างระดับ ลอง-pc_mg_galerkinสร้างตัวดำเนินการเชิงพีชคณิตที่ปรับขนาดได้อย่างถูกต้องในเชิงพีชคณิตหรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการทั้งหมดได้รับการปรับขนาดในลักษณะเดียวกันหากคุณต้องการใช้ระดับหยาบที่ลดลง
• เมทริกซ์นั้นปรับอากาศมาก ตรวจสอบหมายเลขสภาพโดยใช้วิธีการอธิบายไว้ที่นี่ พยายามปรับปรุงโดยเลือกการปรับขนาดของส่วนประกอบ / เงื่อนไขขอบเขต ลอง-ksp_diagonal_scale -ksp_diagonal_scale_fixดู อาจเปลี่ยนการกำหนดปัญหาเพื่อสร้างสมการพีชคณิตที่เป็นมิตรมากขึ้น หากคุณไม่สามารถแก้ไขมาตราส่วนคุณอาจต้องใช้ตัวแก้ปัญหาโดยตรง
• เมทริกซ์เป็นแบบไม่เชิงเส้น (เช่นประเมินโดยใช้การหาผลต่าง จำกัด ของฟังก์ชันแบบไม่เชิงเส้น) ลองใช้พารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน (เช่น-mat_mffd_type ds) ลองใช้ความแม่นยำที่สูงขึ้นจะทำให้ differencing ./configure --with-precision=__float128 --download-f2cblaslapackถูกต้องมากขึ้น ตรวจสอบว่ามันมาบรรจบกันในระบบพารามิเตอร์ "ง่ายขึ้น"
• มีการใช้วิธีการแบบสมมาตรสำหรับปัญหาที่ไม่สมมาตร
• คลาสสิกแกรมชมิดท์จะกลายเป็นไม่แน่นอนลอง-ksp_gmres_modifiedgramschmidtหรือใช้วิธีการที่แตกต่างกัน orthogonalizes -ksp_type gcrเช่น

คำแนะนำของฉันสำหรับนักเรียนคือลองแก้ปัญหาโดยตรงในกรณีเหล่านี้ เหตุผลก็คือมีเหตุผลสองประการที่นักแก้ปัญหาอาจไม่มาบรรจบกัน: (i) เมทริกซ์นั้นผิดหรือ (ii) มีปัญหากับตัวแก้ / ตัวสร้างเงื่อนไข Direct solver ให้ผลลัพธ์ที่คุณสามารถเปรียบเทียบกับโซลูชันที่คุณคาดหวังได้เสมอดังนั้นหากคำตอบของตัวแก้ปัญหาโดยตรงนั้นดูถูกต้องคุณจะรู้ว่าปัญหานั้นเกิดจากตัวแก้ / การวนซ้ำที่ซ้ำซ้อน ในทางกลับกันถ้าคำตอบดูผิดปัญหาก็คือการประกอบเมทริกซ์และด้านขวามือ

ฉันมักจะใช้ UMFPACK เป็นตัวแก้ปัญหาโดยตรง ฉันแน่ใจว่ามันง่ายที่จะลองอะไรที่คล้ายกับ PETSC