การเขียนเมทริกซ์สมการไฟไนต์ผลต่างที่แตกต่างของปัวซองด้วยเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์

ฉันสนใจที่จะแก้สมการปัวซองโดยใช้วิธีผลต่างอันตะ ฉันต้องการเข้าใจวิธีการเขียนสมการเมทริกซ์กับเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์มากขึ้น บางคนจะตรวจสอบสิ่งต่อไปนี้ถูกต้องไหม

เมทริกซ์ จำกัด ผลต่าง

สมการปัวซอง

\frac{\partial^{2} u (x)}{\partial x^{2}} = d (x)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

สามารถประมาณได้ด้วยสมการเมทริกซ์ จำกัด ผลต่าง

\frac{1}{(Δ x)^{2}} M ∙ \hat{u} = \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

โดยที่คือ matrix และและคือ (คอลัมน์) เวกเตอร์ $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

เมทริกซ์ จำกัด ผลต่างของสมการปัวซอง

การเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์

เงื่อนไขขอบเขตของฟอนนอยมันน์บังคับให้ฟลักซ์ความรู้ที่ขอบเขต (นี่เราใช้มันที่ด้านซ้ายมือที่ขอบเขตอยู่ที่ ) $x=0$

\frac{\partial u (x = 0)}{\partial x} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ เขียนเงื่อนไขขอบเขตนี้เป็นผลต่าง จำกัด แน่นอน,

ข้อผิดพลาดในสมการ NB ฉันทำผิดพลาดที่นี่ แต่แรกลงชื่อผิดพลาดและไม่ได้หารด้วย 2 ต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

\frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

สังเกตการเปิดตัวของจุดตาข่ายนอกโดเมนดั้งเดิม ( ) คำนี้สามารถถูกกำจัดได้โดยการแนะนำสมการที่สอง $u_0$

\frac{u_{0} - 2 u_{1} + u_{2}}{(Δ x)^{2}} = d_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

สมการนี้จัดเรียงจากการมีข้อมูลมากขึ้นเนื่องจากมีการแนะนำจุดตาข่ายใหม่ มันช่วยให้เราสามารถเขียนอนุพันธ์อันดับสองของเป็นขอบเขตในรูปของโดยใช้ผลต่าง จำกัด ที่กึ่งกลาง $u_1$ $u_0$

ส่วนที่ฉันไม่แน่ใจ

การรวมสมการทั้งสองนี้เข้าด้วยกันสามารถตัดได้ เพื่อแสดงการทำงานให้เราจัดการสิ่งที่ไม่รู้จักก่อนอื่น $u_0$

u_{0} = - 2 σ Δ x + u_{2} u_{0} = (Δ x)^{2} d_{1} + 2 u_{1} - {ยู}_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

ถัดไปพวกเขาถูกตั้งค่าเท่ากันและจัดเรียงใหม่ในแบบฟอร์ม

\frac{{ยู}_{2} - {ยู}_{1}}{(Δ x)^{2}} = \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ x}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

ฉันเลือกรูปแบบนี้เพราะมันเป็นรูปแบบเดียวกับสมการเมทริกซ์ด้านบน ขอให้สังเกตว่าคำว่าถูกหารด้วยทั้งที่นี่และในสมการดั้งเดิม นี่เป็นวิธีที่ถูกต้องหรือไม่? $u$ $(\Delta x)^2$

สุดท้ายใช้สมการนี้เป็นแถวแรกของเมทริกซ์

สมการปัวซองที่มีเงื่อนไขขอบเขตนอยมันน์ด้านซ้ายมือ (แก้ไข)

ความคิดสุดท้าย

เมทริกซ์สุดท้ายนี้ถูกต้องหรือไม่
ฉันขอใช้วิธีที่ดีกว่านี้ได้ไหม
มีวิธีมาตรฐานในการเขียนเมทริกซ์นี้หรือไม่?

— boyfarrell
แหล่งที่มา

มีสองข้อผิดพลาดในการคำนวณของคุณ: ศูนย์กลางความแตกต่างแน่นอนจะต้องมีการหารด้วย

ประการที่สอง

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

สิ่งนี้ได้ผลค่อนข้างดีในข้อความส่วนต่างที่แน่นอนของ LeVequeบทที่ 2

— David Ketcheson

ปัญหาเหล่านี้ได้รับการอธิบายอย่างดีในscientificpython.net/1/post/2013/01/…

— Evgeni Sergeev

คุณช่วยโปรดดูscicomp.stackexchange.com/questions/14306/

— usumdelphini

คำตอบ:

ฉันคิดว่าคุณกำลังมาถูกทางแล้ว หากคุณแก้ไขข้อผิดพลาดของคุณก็จะมีลักษณะคล้ายกันมากกับhttp://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf

— vanCompute
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นและการแก้ไข ฉันได้อัปเดตคำถามของฉันพร้อมการแก้ไข ฉันเชื่อว่าถูกต้องแล้ว

— boyfarrell

$u_0$

ถอยกลับและคิดเกี่ยวกับปัญหาเป็นเวลาหนึ่งวินาที การระบุสมการ Laplace เป็นพื้นฐานระบุว่าแต่ละจุดนั้นเป็นค่าเฉลี่ยของเพื่อนบ้าน นี่เป็นภาพธรรมดาของแผ่นยางและช่วยให้ฉันคิดถึงสิ่งเหล่านี้ (ปัวซองมีความคล้ายคลึงกัน w / มากหรือน้อยกว่าคะแนนถ่าง)

เมื่อคุณระบุค่าของพื้นผิวโซลูชันที่ขอบด้านนอกสุดคุณจะ "ตรึง" แผ่นงานลงในช่องว่างที่จุดเหล่านั้น เมื่อคุณระบุชีตโดยอนุพันธ์ของมันที่ขอบมีจำนวนของโซลูชั่นที่สมการที่แปลแผ่นงานในอวกาศในขณะที่รักษารูปร่างที่แท้จริงเหมือนกันและอนุพันธ์ดังนั้น

ในทางปฏิบัติ แต่สิ่งนี้อาจเป็นปัญหาได้ เมทริกซ์นั้นมีสภาพที่ไม่ดีนักและนักแก้ปัญหาทำตัวไม่แน่นอน สิ่งที่พบเห็นได้บ่อยที่สุดคือ "ตรึง" วิธีแก้ปัญหาไปยังจุดคงที่โดยระบุ $u_0 = 0$

— meawoppl
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปแล้วสมการปัวซองจะถูกแก้ไขด้วยเงื่อนไขขอบเขตของดีริชเลต์อย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขเพื่อให้สามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นเอกลักษณ์ได้หรือไม่ ฉันเดาว่ามันสมเหตุสมผลว่าเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann นั้นเหมาะสมเมื่อแหล่งกำเนิดและอ่างล้างมือรวมอยู่ด้วยเท่านั้นมิฉะนั้นจะมีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามถ้าฉันใช้สมการการแพร่แทนบางครั้งเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann จำเป็นสำหรับฟิสิกส์ที่ถูกต้อง (เช่นไม่มีการไหลของปริมาณผ่านขอบเขตเมื่อ du / dx = 0) นี่คือสิ่งที่ฉันสนใจจริง ๆ วิธีข้างต้นเป็นวิธีที่ถูกต้องในการนำ Neumann BCs มาใช้หรือไม่

— boyfarrell

คุณไม่สามารถใช้ Neumann BCs กับกระดาษทุกด้านของคุณ หากคุณเป็นเช่นนั้นคุณจะไม่มีทางออกที่เป็นเอกลักษณ์ ต้องตรึงอย่างน้อยหนึ่งด้าน

— vanCompute

@meawoppl: วิธีหนึ่งระบุจุดคงที่ในขณะที่ทำเมทริกซ์โดยตรงแก้อย่างไร

— jvriesem

โดยทั่วไปเพียงแค่กำหนดจุดให้กับค่าคงที่โดยการตั้งค่าเพียงหนึ่งคำในหนึ่งแถวเป็น 1 ส่วนที่เหลือศูนย์และค่าบน RHS ที่สอดคล้องกับระนาบโซลูชันที่คุณต้องการดู

— meawoppl