การสั่นที่แปลกเมื่อแก้สมการการพาโดยความแตกต่างอัน จำกัด ด้วยเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann ที่ปิดสนิท (การสะท้อนที่ขอบเขต)

ฉันพยายามที่จะแก้สมการการพาความร้อน แต่มีความผันผวนที่แปลกประหลาดปรากฏขึ้นในการแก้ปัญหาเมื่อคลื่นสะท้อนจากขอบเขต หากใครได้เห็นสิ่งประดิษฐ์นี้ก่อนที่ฉันจะสนใจที่จะรู้สาเหตุและวิธีการหลีกเลี่ยง!

นี่คือ gif แบบเคลื่อนไหวเปิดในหน้าต่างแยกต่างหากเพื่อดูภาพเคลื่อนไหว (มันจะเล่นเพียงครั้งเดียวหรือไม่พร้อมกันในทันที!

ขอให้สังเกตว่าการขยายพันธุ์ดูเหมือนจะมีเสถียรภาพสูงจนกระทั่งคลื่นเริ่มสะท้อนจากขอบเขตแรก คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่นี่ ฉันใช้เวลาสองสามวันในการตรวจสอบรหัสของฉันและไม่พบข้อผิดพลาดใด ๆ มันแปลกเพราะมันดูเหมือนจะมีวิธีแก้ปัญหาที่แพร่กระจายสองอย่าง: หนึ่งบวกและลบหนึ่ง หลังจากการสะท้อนจากขอบเขตแรก การแก้ปัญหาดูเหมือนว่าจะเดินทางไปตามจุดตาข่ายที่อยู่ติดกัน

รายละเอียดการใช้งานมีดังนี้

สมการการพาความร้อน

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

โดยที่คือความเร็วในการแพร่กระจาย$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson เป็นdiscretization ที่ไม่มีเงื่อนไข (ลิงก์ pdf) ที่ มีเสถียรภาพสำหรับสมการการพาความร้อนที่ให้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆในอวกาศ (มีส่วนประกอบความถี่ต่ำเท่านั้นเมื่อแปลงฟูริเยร์)$u(x)$

discretization ฉันได้ใช้คือ

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

การนำสิ่งที่ไม่ทราบทางด้านขวามาใช้จะเขียนในรูปแบบเส้นตรง

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

ที่ (จะใช้เวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเท่า ๆ กันระหว่างจุดปัจจุบันและอนาคต) และx}r $\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

ชุดสมการนี้มีรูปแบบเมทริกซ์ , โดยที่,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

เวกเตอร์และเป็นทราบและไม่ทราบปริมาณที่เราต้องการแก้$u^n$$u^{n+1}$

จากนั้นฉันใช้เงื่อนไขขอบเขตของ Neumann แบบปิดบนขอบเขตด้านซ้ายและด้านขวา ตามขอบเขตปิดฉันหมายถึงในทั้งสองอินเตอร์เฟส สำหรับขอบเขตที่ปิดแล้วปรากฎว่า (ฉันจะไม่แสดงการทำงานของฉันที่นี่) เราแค่ต้องแก้สมการเมทริกซ์ด้านบน ตามที่ชี้แจงโดย @DavidKetcheson สมการเมทริกซ์ข้างต้นอธิบายถึงเงื่อนไขขอบเขตของ Dirichlet$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$เงื่อนไขขอบเขต สำหรับเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

ปรับปรุง

พฤติกรรมดูเหมือนว่าค่อนข้างอิสระต่อการเลือกค่าคงที่ที่ฉันใช้ แต่สิ่งเหล่านี้เป็นค่าสำหรับพล็อตที่คุณเห็นด้านบน:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• DX = 0.2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2 (Gaussian hwhm)
• $\beta$ = 0.5

อัปเดต II

การจำลองที่มีสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายที่ไม่เป็นศูนย์, (ดูความคิดเห็นด้านล่าง) การสั่นจะหายไป แต่คลื่นไม่สะท้อนอีกต่อไป!? ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม$D=1$

สมการที่คุณกำลังแก้ไขไม่อนุญาตการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างถูกต้องดังนั้นจึงไม่มีสิ่งดังกล่าวเป็นเงื่อนไขขอบเขตการสะท้อนของสมการนี้ หากคุณพิจารณาคุณสมบัติคุณจะทราบว่าคุณสามารถกำหนดเงื่อนไขขอบเขตที่ขอบเขตด้านขวาเท่านั้น คุณกำลังพยายามกำหนดเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ขอบเขตซ้ายซึ่งไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์

ย้ำ: วิธีการลักษณะกล่าวว่าการแก้ปัญหาจะต้องมีอย่างต่อเนื่องตามเส้นใด ๆ ของรูปแบบ$x-\nu t = C$สำหรับค่าคงที่ใด ๆC$C$ดังนั้นการแก้ปัญหาตามขอบเขตด้านซ้ายจะถูกกำหนดโดยวิธีแก้ปัญหาก่อนหน้านี้ภายในโดเมนปัญหาของคุณ คุณไม่สามารถกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่นั่น

ซึ่งแตกต่างจากสมการตัวเลขโครงการของคุณไม่ยอมรับโซลูชั่นที่เหมาะสมไป โหมดที่ถูกต้องจะเรียกว่าโหมดกาฝากและเกี่ยวข้องกับความถี่ที่สูงมาก โปรดสังเกตว่าคลื่นที่ถูกต้องเป็นแพ็กเก็ตคลื่นที่มีฟันเลื่อยซึ่งสัมพันธ์กับความถี่สูงสุดที่สามารถแสดงในกริดของคุณ คลื่นนั้นเป็นสิ่งประดิษฐ์เชิงตัวเลขที่สร้างขึ้นโดย discretization ของคุณ

สำหรับการเน้น: คุณยังไม่ได้เขียนปัญหามูลค่าเริ่มต้นเต็มขอบเขตที่คุณพยายามแก้ไข ถ้าคุณทำมันจะชัดเจนว่าไม่ใช่ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ฉันดีใจที่คุณโพสต์สิ่งนี้ไว้ที่นี่เนื่องจากมันเป็นภาพประกอบที่สวยงามของสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อคุณแยกแยะปัญหาที่ไม่เหมาะสมและปรากฏการณ์ของโหมดกาฝาก +1 ที่ยิ่งใหญ่สำหรับคำถามของคุณจากฉัน

ฉันเรียนรู้มากมายจากคำตอบข้างต้น ฉันต้องการที่จะรวมคำตอบนี้เพราะฉันเชื่อว่ามันมีข้อมูลเชิงลึกที่แตกต่างกันของปัญหา

สมการนี้มีคำตอบของรูปแบบโดยไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต $u(x,t)=f(x-ct)$ )(ชีพจรเคลื่อนที่ไปทางขวา)

$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$ ]ไม่มีขอบเขตและนั่นคือทางออก

$x \in [a,b]$$a$$b$

$t_0$

สิ่งนี้จะสร้างพัลส์ที่วิ่งไปทางขวาจนกว่าจะหายไปที่ขอบด้านขวา

กดที่นี่เพื่อดูภาพเคลื่อนไหวบน Dirichlet ที่ขอบเขตซ้าย

ฉันยังคงได้รับเสียงรบกวนซึ่งฉันไม่เข้าใจ (ใครจะช่วยได้ที่นี่บ้าง)

ตัวเลือกอื่นคือการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ นั่นคือแทนที่จะกำหนดเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ทางด้านซ้ายเราสามารถกำหนดแพ็กเก็ตคลื่นที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านซ้าย นั่นคือ:

$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

ลิงก์นี้ แสดงสิ่งที่ฉันเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ

ฉันสร้างอนิเมชั่นในไพ ธ อนและชุดรูปแบบเป็น Crank-Nicholson ตามที่ระบุในคำถามที่นี่

ฉันยังคงดิ้นรนกับรูปแบบเสียงรบกวนหลังจากคลื่นกระทบกับขอบเขต (ขวา) แรก