การอนุรักษ์ปริมาณทางกายภาพเมื่อใช้เงื่อนไขขอบเขต Neumann นำไปใช้กับสมการการแพร่ - แพร่

ฉันไม่เข้าใจพฤติกรรมที่แตกต่างกันของสมการการแพร่ - การกระจายเมื่อฉันใช้เงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกัน แรงจูงใจของฉันคือการจำลองปริมาณทางกายภาพที่แท้จริง (ความหนาแน่นของอนุภาค) ภายใต้การแพร่และการพาความร้อน ความหนาแน่นของอนุภาคควรได้รับการอนุรักษ์ในการตกแต่งภายในเว้นแต่จะไหลออกมาจากขอบ โดยตรรกะนี้หากฉันบังคับใช้เงื่อนไขขอบเขตของ Neumann จุดสิ้นสุดของระบบเช่น$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$(ทางด้านซ้ายและด้านขวา) จากนั้นระบบควรจะ"ปิด"เช่นถ้าฟลักซ์ที่ขอบเขตเป็นศูนย์จากนั้นไม่มีอนุภาคใด ๆ

สำหรับการจำลองด้านล่างทั้งหมดที่ผมได้นำมาใช้ต่อเนื่อง Crank-Nicolson สมพา-การแพร่กระจายและการจำลอง$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$เงื่อนไขขอบเขต อย่างไรก็ตามสำหรับแถวแรกและแถวสุดท้ายของเมทริกซ์ (แถวเงื่อนไขขอบเขต) ฉันอนุญาตให้$\beta$สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยอิสระจากค่าภายใน สิ่งนี้ทำให้จุดสิ้นสุดมีความชัดเจน

ด้านล่างนี้ฉันพูดถึงการกำหนดค่าที่แตกต่างกัน 4 แบบหนึ่งในนั้นคือสิ่งที่ฉันคาดไว้ ในตอนท้ายฉันพูดคุยเกี่ยวกับการปฏิบัติ

จำกัด การแพร่เท่านั้น

ที่นี่ข้อกำหนดการปิดจะถูกปิดโดยการตั้งค่าความเร็วเป็นศูนย์

การแพร่กระจายเท่านั้นที่มี = 0.5 (Crank-Niscolson) ทุกจุด$\boldsymbol{\beta}$

ปริมาณไม่ได้รับการอนุรักษ์ตามที่สามารถเห็นได้จากการลดพื้นที่พัลส์

การกระจัดกระจายเท่านั้นโดยมี = 0.5 (Crank-Niscolson) ที่จุดตกแต่งภายในและ = 1 (โดยนัย) ที่ขอบเขต$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

โดยใช้สมการโดยปริยายอย่างเต็มที่ในขอบเขตที่ผมประสบความสำเร็จในสิ่งที่ผมคาดหวัง: ไม่มีอนุภาคหลบหนี คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้โดยพื้นที่ที่ถูกอนุรักษ์ไว้เมื่ออนุภาคกระจายตัว ทำไมการเลือกที่จุดขอบเขตจึงมีอิทธิพลต่อฟิสิกส์ของสถานการณ์ นี่เป็นข้อบกพร่องหรือคาดหวัง$\beta$

การแพร่และการพาความร้อน

เมื่อคำศัพท์การรวมค่าของที่ขอบเขตไม่ได้ดูเหมือนจะมีผลต่อการแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามสำหรับทุกกรณีเมื่อขอบเขตดูเหมือนจะเป็น"เปิด"นั่นคืออนุภาคสามารถหนีออกจากขอบเขตได้ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้$\beta$

Advection และ Diffusion ด้วย = 0.5 (Crank-Niscolson) ทุกจุด$\boldsymbol{\beta}$

Advection and Diffusion with = 0.5 (Crank-Niscolson) ที่จุดตกแต่งภายในและ = 1 (โดยนัย) ที่ขอบเขต$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

การประยุกต์ใช้สมการการแพร่ - การแพร่กระจาย

เริ่มต้นด้วยสมการการแพร่ - แพร่

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

การเขียนโดยใช้ Crank-Nicolson ให้

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

โปรดทราบว่า = 0.5 สำหรับ Crank-Nicolson, = 1 สำหรับการบอกเป็นนัยอย่างสมบูรณ์และ = 0 สำหรับการแสดงออกอย่างชัดเจนบีตา$\beta$$\beta$$\beta$

เพื่อให้สัญกรณ์ง่ายขึ้นมาทำการแทนกัน

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

และย้ายค่าที่รู้จักของอนุพันธ์เวลาไปทางด้านขวามือ$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

การรับเงื่อนไขให้$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์เป็นโดยที่$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

การใช้เงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์

NB ทำงานผ่านการสืบทอดมาอีกครั้งฉันคิดว่าฉันพบข้อผิดพลาดแล้ว ฉันถือว่าโครงการโดยปริยายอย่างสมบูรณ์ ( = 1) เมื่อเขียนความแตกต่างแน่นอนของเงื่อนไขขอบเขต หากคุณถือว่า Crank-Niscolson ที่นี่มีความซับซ้อนมากเกินไปและฉันไม่สามารถแก้สมการที่เกิดขึ้นเพื่อกำจัดโหนดที่อยู่นอกโดเมน อย่างไรก็ตามมันอาจเป็นไปได้มีสมการสองอันที่ไม่ทราบสองอัน แต่ฉันไม่สามารถจัดการมันได้ นี่อาจอธิบายความแตกต่างระหว่างแปลงแรกและแปลงที่สองด้านบน ฉันคิดว่าเราสามารถสรุปได้ว่าเฉพาะแผนการที่มี = 0.5 ที่จุดขอบเขตเท่านั้นที่ถูกต้อง$\beta$$\beta$

สมมติว่าฟลักซ์ที่ด้านซ้ายมือเป็นที่รู้จัก (สมมติว่าเป็นรูปแบบโดยนัย)

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

การเขียนสิ่งนี้เป็นความแตกต่างกึ่งกลางให้

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

ดังนั้น $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

โปรดทราบว่านี่จะแนะนำ nodeซึ่งอยู่นอกโดเมนของปัญหา โหนดนี้สามารถกำจัดได้โดยใช้สมการที่สอง เราสามารถเขียนโหนดเป็น$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

การแทนค่าพบจากเงื่อนไขขอบเขตให้ผลลัพธ์ต่อไปนี้สำหรับแถว = 1$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

ทำขั้นตอนเดียวกันสำหรับแถวสุดท้าย (ที่ = ) ให้ผลตอบแทน$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

ในที่สุดการสร้างแถวขอบเขตโดยปริยาย (การตั้งค่า = 1) ให้$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

ดังนั้นกับนอยมันน์ขอบเขตเงื่อนไขเราสามารถเขียนสมการเมทริกซ์ ,$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

ที่ไหน

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

ความเข้าใจปัจจุบันของฉัน

• ฉันคิดว่าความแตกต่างระหว่างแปลงแรกและแปลงที่สองนั้นได้รับการอธิบายโดยการแจ้งข้อผิดพลาดที่ระบุไว้ด้านบน

• เกี่ยวกับการอนุรักษ์ปริมาณทางกายภาพ ผมเชื่อว่าสาเหตุคือว่าเป็นแหลมออกจากที่นี่สมพาในรูปแบบที่ผมได้เขียนไว้ไม่อนุญาตให้มีการขยายพันธุ์ในทิศทางตรงกันข้ามดังนั้นคลื่นเพียงผ่านแม้จะมีศูนย์การไหลของเงื่อนไขขอบเขต สัญชาตญาณเริ่มต้นของฉันเกี่ยวกับการอนุรักษ์ถูกนำไปใช้เฉพาะเมื่อคำที่มีค่าเป็นศูนย์ (นี่คือวิธีแก้ปัญหาในพล็อตหมายเลข 2 ที่พื้นที่อนุรักษ์ไว้)

• ถึงแม้จะมีเงื่อนไขขอบเขตฟลักซ์นอยมันน์มวลยังสามารถออกจากระบบนี่เป็นเพราะเงื่อนไขขอบเขตที่ถูกต้องในกรณีนี้คือเงื่อนไขขอบเขตโรบินซึ่งรวมฟลักซ์ มีการระบุ0 ยิ่งกว่านั้นเงื่อนไขของ Neunmann ระบุว่ามวลไม่สามารถออกจากโดเมนผ่านการแพร่กระจายได้ ในสาระสำคัญสิ่งที่เราได้ยินคือเงื่อนไขขอบเขตปิดเพื่อการแพร่กระจายและเงื่อนไขขอบเขตเปิดเพื่อ advection สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมดูคำตอบที่นี่การดำเนินการของการไล่ระดับเป็นศูนย์เขตแดนในสมการการแพร่ - การกระจาย$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$.

คุณเห็นด้วยไหม

• บทช่วยสอนเกี่ยวกับการใช้เงื่อนไขขอบเขตของ Robin

ฉันคิดว่าหนึ่งในปัญหาของคุณคือ (ตามที่คุณสังเกตเห็นในความคิดเห็นของคุณ) เงื่อนไขนอยมันน์ไม่ใช่เงื่อนไขที่คุณกำลังมองหาในแง่ที่ว่าพวกเขาไม่ได้หมายความถึงการอนุรักษ์ปริมาณของคุณ หากต้องการค้นหาเงื่อนไขที่ถูกต้องให้เขียน PDE ของคุณใหม่เป็น

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

ตอนนี้คำที่ปรากฏในวงเล็บคือฟลักซ์ทั้งหมดและนี่คือปริมาณที่คุณต้องทำให้เป็นศูนย์ในขอบเขตเพื่อการอนุรักษ์พี (ฉันได้เพิ่มเพื่อประโยชน์ส่วนรวมและความคิดเห็นของคุณ) เงื่อนไขขอบเขตที่คุณต้องกำหนดนั้นคือ (สมมติว่าโดเมนอวกาศของคุณคือ )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

สำหรับด้านซ้ายและ

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

สำหรับด้านขวา สิ่งเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่เรียกว่าโรบินขอบเขต (โปรดทราบว่าวิกิพีเดียกล่าวอย่างชัดเจนว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่เป็นฉนวนสำหรับสมการการแพร่ - การแพร่กระจาย)

หากคุณตั้งค่าเงื่อนไขขอบเขตเหล่านี้คุณจะได้รับคุณสมบัติการอนุรักษ์ที่คุณกำลังมองหา อันที่จริงแล้วการรวมเข้ากับโดเมนอวกาศนั้นเรามี

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

เราใช้การบูรณาการโดยชิ้นส่วนทางด้านขวามือของเรา

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

ตอนนี้ศัพท์กลางสองคำได้หายไปเนื่องจากเงื่อนไขขอบเขต บูรณาการในเวลาที่เราได้รับ

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

และถ้าเราได้รับอนุญาตให้สลับสองปริพันธ์แรก ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

นี่แสดงให้เห็นว่าโดเมนนั้นเป็นฉนวนจากภายนอก โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราได้รับการอนุรักษ์\$S=0$$\phi$