เพราะเหตุใดจุดที่เว้นระยะห่างจึงมีพฤติกรรมไม่ดี

24

คำอธิบายการทดลอง:

ในการแก้ไขลากรองจ์สมการที่แน่นอนจะถูกสุ่มตัวอย่างที่จุด (ลำดับพหุนาม ) และถูกแก้ไขที่ 101 จุด ที่นี่จะแตกต่างกันตั้งแต่ 2 ถึง 64 ในแต่ละครั้งที่ ,และแปลงข้อผิดพลาดมีการจัดทำ จะเห็นได้ว่าเมื่อฟังก์ชั่นถูกสุ่มตัวอย่างที่จุด equi-spaced ข้อผิดพลาดจะลดลงในขั้นต้น (มันเกิดขึ้นจนถึงน้อยกว่าประมาณ 15 หรือมากกว่านั้น) จากนั้นข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้นในต่อไป $N$ $N - 1$ $N$ $L_1$ $L_2$ $L_\infty$ $N$ $N$

ในขณะที่ถ้าการสุ่มตัวอย่างเริ่มต้นทำได้ที่จุด Legendre-Gauss (LG) (รากของคำพหุนาม Legendre) หรือ Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) คะแนน (รากของ Lobatto polynomials) ข้อผิดพลาดจะลดลงถึงระดับเครื่องและไม่เกิดขึ้น เพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้นอีก $N$

คำถามของฉันคือ

เกิดอะไรขึ้นในกรณีของจุดที่เว้นระยะเท่ากัน

ทำไมการเพิ่มลำดับพหุนามทำให้เกิดข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นหลังจากจุดหนึ่ง

นี่ก็หมายความว่าถ้าฉันใช้จุดที่มีระยะห่างเท่ากันสำหรับการสร้าง WENO / ENO ใหม่ (โดยใช้ชื่อพหุนาม Lagrange) จากนั้นในพื้นที่ราบเรียบฉันจะได้รับข้อผิดพลาดหรือไม่ (ดี, นี่เป็นเพียงคำถามสมมุติ (สำหรับความเข้าใจของฉัน), มันไม่สมเหตุสมผลที่จะสร้างพหุนามของลำดับ 15 หรือสูงกว่าสำหรับโครงการ WENO)

รายละเอียดเพิ่มเติม:

ฟังก์ชั่นประมาณ:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ แบ่งออกเป็นจุด (และ LG ภายหลัง) ฟังก์ชั่นการแก้ไขที่ 101 คะแนนในแต่ละครั้ง $N$

ผล:

a) จุดที่เว้นระยะเท่ากัน (การแก้ไขสำหรับ ): $N = 65$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

b) จุดที่เว้นช่องว่าง (พล็อตข้อผิดพลาดระดับบันทึก):

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

a) คะแนน LG (การแก้ไขสำหรับ ): $N = 65$
b) คะแนน LG (พล็อตข้อผิดพลาดระดับบันทึก):

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— อดฮ์
แหล่งที่มา

26

ปัญหาของจุดที่มีค่าเท่ากันคือพหุนามการแก้ไขข้อผิดพลาด

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

ทำงานแตกต่างกันสำหรับชุดที่แตกต่างของโหนดx_iในกรณีที่มีจุดเท่ากันพหุนามนี้จะระเบิดขึ้นที่ขอบ $x_i$

หากคุณใช้คะแนน Gauss-Legendre ข้อผิดพลาดพหุนามมีพฤติกรรมที่ดีขึ้นอย่างมีนัยสำคัญนั่นคือไม่ได้ระเบิดที่ขอบ หากคุณใช้โหนด Chebyshevพหุนาม equioscillates นี้และข้อผิดพลาดการแก้ไขจะน้อยที่สุด

— เปโดร
แหล่งที่มา

6

มีคำอธิบายรายละเอียดค่อนข้างมากในหนังสือของ John P. Boyd Chebyshev และ Fourier Spectral Methods ซึ่งมีการอธิบายพหุนามของพหุนามการแก้ไขข้อผิดพลาดของ Pedro ด้วย (ตอนที่ 4.2 หน้า 85)

— Bort

ขอขอบคุณ. นอกจากนี้ค่าคงที่ Lebesgue สำหรับตัวเลือกที่กล่าวถึงข้างต้นจะทำงานแตกต่าง สำหรับจุดที่เว้นระยะเท่ากันค่าคงที่ Lebesgue จะเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียลในขณะที่สำหรับ LG, LGL, Chebyshev มันจะอิ่มตัวด้วยการเพิ่ม n en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdfแต่คำถามเกี่ยวกับการใช้ตัวเลขยังคงอยู่ ...

— Subodh

ขออภัยฉันไม่รู้จัก ENO / WENO มากนัก แต่ฉันไม่คาดหวังว่าปัญหาจะเกิดขึ้นในพื้นที่ราบเรียบสำหรับการแก้ไขที่มีลำดับต่ำแม้ว่าโหนดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็นตัวเลือกที่ดีกว่าสำหรับเหตุผลที่ชัดเจน

— Bort

22

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจและมีคำอธิบายที่เป็นไปได้มากมาย หากเรากำลังพยายามใช้การประมาณค่าพหุนามแล้วสังเกตว่าพหุนามตอบสนองความไม่เท่าเทียมที่น่ารำคาญดังต่อไปนี้

รับพหุนามองศาไม่เกินเรามี $P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

สำหรับทุก(-1,1) สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อความไม่เท่าเทียมของเบิร์นสไตน์บันทึกความแปลกประหลาดในความไม่เท่าเทียมนี้ สิ่งนี้สามารถล้อมรอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

และโปรดทราบว่านี่เป็นความคมชัดในแง่ที่ว่าชื่อพหุนาม Chebysehv ทำให้สมการนี้ ดังนั้นในคำอื่น ๆ เรามีการรวมกันดังต่อไปนี้

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

หมายความว่าอะไร: การไล่ระดับสีของพหุนามมีลักษณะเป็นเส้นตรงตามลำดับทุกที่ยกเว้นในย่านเล็ก ๆ ของขอบเขตช่วงเวลา ในขอบเขตที่พวกเขาเติบโตขึ้นเช่น 2 ไม่มีอุบัติเหตุที่โหนดการแก้ไขที่เสถียรทั้งหมดมีการรวมกลุ่มใกล้กับขอบเขต การจัดกลุ่มเป็นสิ่งที่จำเป็นในการควบคุมการไล่ระดับสีของพื้นฐานในขณะที่อยู่ใกล้จุดกึ่งกลางหนึ่งสามารถผ่อนคลายมากขึ้น $N^2$ $1/{N^2}$

ปรากฎว่านี่ไม่ใช่ปรากฏการณ์พหุนามผมแนะนำบทความต่อไปนี้:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

มันบอกว่าหลวม: หากคุณมีอำนาจการประมาณเดียวกันของพื้นฐานพหุนามแล้วคุณไม่สามารถใช้จุดที่เว้นระยะเท่ากันในทางที่มั่นคง

— Reid.Atcheson
แหล่งที่มา

1

ไม่ใช่จุดที่เว้นระยะเท่ากันซึ่งเป็นปัญหา มันคือการสนับสนุนระดับโลกของฟังก์ชั่นพื้นฐานพร้อมกับจุดที่มีระยะห่างเท่ากันนั่นคือปัญหา Interpolant ที่มีการปรับสภาพอย่างดีโดยใช้จุดที่เท่ากันนั้นได้อธิบายไว้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของ Kress โดยใช้ฟังก์ชั่นพื้นฐานลูกบาศก์ลูกบาศก์ b ของการรองรับขนาดกะทัดรัด

— user14717
แหล่งที่มา

แน่นอน แต่ interpolant ของคุณจะไม่ราบรื่นทั่วโลก (เฉพาะสำหรับตัวอย่างของคุณ)

C^{2}

$C^2$

— GoHokies

@ GoHokies: เส้นโค้งที่ได้รับการสนับสนุนขนาดกะทัดรัดสามารถทำได้อย่างราบรื่นตามที่ต้องการโดยการวนซ้ำแบบวนซ้ำ กรณีการใช้งานสำหรับการแก้ไขคืออะไร?

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— user14717

จุดยุติธรรม ("ตำแหน่ง - ความเร็ว - การเร่งความเร็ว") เพียงพอสำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ คุณอาจต้องการสำหรับปัญหาค่าขอบเขต แต่ไม่สามารถนึกถึงกรณีการใช้งานทั่วไปข้างต้นได้

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies

1

เกิดอะไรขึ้นในกรณีของจุดที่เว้นระยะเท่ากัน

ทำไมการเพิ่มลำดับพหุนามทำให้เกิดข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นหลังจากจุดหนึ่ง

สิ่งนี้คล้ายกับปรากฏการณ์ของ Rungeที่ซึ่งมีโหนดที่มีระยะห่างเท่ากันข้อผิดพลาดการแก้ไขจะไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อมีการเพิ่มขึ้นของระดับพหุนามเช่นจำนวนคะแนน

หนึ่งในรากของปัญหานี้สามารถพบได้ในค่าคงที่ของ Lebesgueตามที่ระบุไว้โดยความคิดเห็นของ @ Subodh ต่อ @Pedro คำตอบ ค่าคงที่นี้เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าด้วยการประมาณที่ดีที่สุด

สัญลักษณ์บางอย่าง

เรามีฟังก์ชั่นที่จะสอดแทรกไปที่จุดx_kในการแก้ไขลากรองจ์มีการกำหนดชื่อพหุนาม Lagrange : $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

ด้วยสิ่งนี้มีการกำหนดการแก้ไขพหุนามเหนือคู่รักสำหรับสัญกรณ์แสง $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

ตอนนี้พิจารณาก่อกวนมากกว่าข้อมูลที่นี้อาจเป็นตัวอย่างสำหรับการปัดเศษเพื่อให้เราได้มี\ด้วยเหตุนี้พหุนามใหม่คือ: $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

การประมาณการข้อผิดพลาดคือ:

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าคงที่ของ Lebesgue เป็น: $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

ด้วยวิธีนี้การประมาณการขั้นสุดท้ายคือ:

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

(หมายเหตุเล็กน้อยเรามองแค่ norm เพราะเราอยู่เหนือช่องว่างของขอบเขต จำกัด ดังนั้น ) $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

จากการคำนวณข้างต้นเราได้รับคือ: $\Lambda_n$

เป็นอิสระจากวันที่:
ขึ้นอยู่กับการกระจายโหนดเท่านั้น
ตัวบ่งชี้เสถียรภาพ (ยิ่งมีขนาดเล็กก็จะดีกว่า)

นอกจากนี้ยังเป็นบรรทัดฐานของผู้ดำเนินการแก้ไขที่เคารพ บรรทัดฐานปกติ $|| \cdot||_\infty$

ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้เราได้มีการประมาณค่าของการแก้ไขข้อผิดพลาดกับค่าคงที่ของ Lebesgue:

ให้และเหมือนข้างบนเรามี โดยที่ เป็นข้อผิดพลาดของพหุนามแบบประมาณที่ดีที่สุด $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

คือถ้ามีขนาดเล็กข้อผิดพลาดของการแก้ไขอยู่ไม่ไกลจากข้อผิดพลาดของการประมาณค่าเครื่องแบบที่ดีที่สุดและทฤษฎีเปรียบเทียบการแก้ไขข้อผิดพลาดกับข้อผิดพลาดที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นข้อผิดพลาดของการประมาณค่าเครื่องแบบที่ดีที่สุด $\Lambda_n$

สำหรับเรื่องนี้พฤติกรรมของการแก้ไขขึ้นอยู่กับการกระจายโหนด มีขอบเขตที่ลดลงเกี่ยวกับว่าได้รับการกระจายโหนดที่มีอยู่อย่างต่อเนื่องดังกล่าวว่า: ดังนั้นคงเติบโต แต่วิธีการที่จะเติบโตเป็น importan $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

สำหรับโหนดที่เว้นระยะเท่ากัน ฉันไม่เห็นรายละเอียดบางอย่าง แต่เราเห็นว่าการเติบโตนั้นเพิ่มขึ้นอย่างมาก

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

สำหรับ โหนด Chebyshev นอกจากนี้ที่นี่ฉันละเว้นรายละเอียดบางอย่างมีความแม่นยำและซับซ้อนกว่าการประมาณการ ดูรายละเอียดเพิ่มเติม [1] โปรดทราบว่าโหนดของตระกูล Chebyshev มีการเติบโตแบบลอการิทึมและจากการประมาณการก่อนหน้านี้อยู่ใกล้ที่ดีที่สุดที่คุณจะได้รับ

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

สำหรับโหนดอื่น ๆ กระจายดูตัวอย่างตารางที่ 1 ของบทความนี้

มีการอ้างอิงจำนวนมากในหนังสือเกี่ยวกับการแก้ไข ออนไลน์ภาพนิ่งเหล่านี้เป็นเรื่องที่ดีเช่นเดียวกับประวัติย่อ

รวมถึงบทความที่เปิดอยู่นี้ ([1])

การเปรียบเทียบการแก้ไขตัวเลขเจ็ดกริดสำหรับพหุนามบนช่วงเวลา สำหรับการเปรียบเทียบต่างๆ

— Mauro Vanzetto
แหล่งที่มา

1

มันเป็นเรื่องดีที่จะตระหนักถึงinterpolants หลักลอย-Hormannเมื่อคุณมี (หรือต้องการ) ทำงานร่วมกับคะแนนเท่ากันn} $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

ได้รับจำนวนเต็มกับให้เป็น interpolant พหุนาม\} ดังนั้น Interpolant FH ของฟังก์ชันที่มีรูปแบบ $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

ด้วย "ฟังก์ชั่นการผสม"

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

คุณสมบัติบางอย่างของ interpolants เหล่านี้:

พวกเขาจะมีเหตุผล interpolants Barycentric ไม่มีเสาจริง ;
บรรลุผลตามคำสั่งโดยประมาณสำหรับโดยไม่คำนึงถึงการแจกแจงของคะแนน; ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
ค่อนข้างคล้ายกับ splines ซึ่งพวกมันผสมผสาน (ท้องถิ่น) polynomial interpolantsกับที่ทำหน้าที่ผสม; $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
พวกเขาสร้างพหุนามหลายระดับมากที่สุด (หรือถ้าเป็นเลขคี่); $d$ $d+1$ $n-d$
สามารถเขียนในรูปแบบ barycentric (ดูหมวดที่ 4 ของกระดาษ Floater และ Hormann)

Caveat emptor : ตามที่คาดไว้ (ดูกระดาษที่อ้างอิงโดย @ Reid.Atcheson) การเพิ่มจะลดขั้นตอนการปรับสภาพกระบวนการประมาณโดยเร็ว $d$

มีงานที่ค่อนข้างทำล่าสุดโดยไคลน์เพื่อบรรเทาปัญหานี้ เขาปรับเปลี่ยนวิธีการ Floater-Hormann ดั้งเดิมโดยเพิ่มค่าข้อมูลใหม่ที่สอดคล้องกับจุดนอกช่วงเวลาการแก้ไขดั้งเดิมสร้างขึ้นจากการขยายอย่างราบรื่นของนอกโดยใช้เฉพาะข้อมูลที่กำหนดf_n นี้ "ทั่วโลก" ชุดข้อมูลจะถูกหยันแล้วโดย FH ใหม่ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลและประเมินผลเฉพาะภายในb] $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

โดยมีรายละเอียดถูกวางอย่างออกมาในกระดาษของ Klein (เชื่อมโยงด้านล่าง) ซึ่งจะมีการแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้ขยาย interpolants เหตุผลมีค่าคงที่เกอที่เจริญเติบโตลอการิทึมกับและ (ในขณะที่สำหรับโครงการ FH เดิมกล่าวว่าการเจริญเติบโตที่ชี้แจงในดู Bos et al. ) $n$ $d$ $d$

ห้องสมุด Chebfun ใช้ interpolants FH เมื่อมีการสร้างchebfunsออกของข้อมูล equispaced ตามที่อธิบายไว้ที่นี่

อ้างอิง:

MS Floater และ K. Hormann การแก้ไขด้วยเหตุผลแบบบาริเซนทริกแบบไม่มีขั้วและอัตราการประมาณที่สูงNumerische Mathematik 107 (2007)

G. Klein, ส่วนขยายของครอบครัวโฟล - ฮอร์มันน์ของหน่วย Interpolants เหตุผล Barycentric, คณิตศาสตร์การคำนวณ , 82 (2011) - preprint

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann, และ G. Klein, ในค่าคงที่ Lebesgue ของการแก้ไขด้วยเหตุผล barycentric ที่โหนดที่มีระยะเท่ากัน, จำนวน คณิตศาสตร์. 121 (2012)

— GoHokies
แหล่งที่มา