ความแตกต่างแน่นอนบนโดเมนที่มีขอบเขตไม่สม่ำเสมอ

ใครช่วยฉันค้นหาหนังสือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข (วิธี จำกัด และวิธี Crank – Nicolson) ของ Poisson และสมการการแพร่รวมถึงตัวอย่างในเรขาคณิตที่ผิดปกติเช่นโดเมนที่ประกอบด้วยพื้นที่ระหว่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าและวงกลม (โดยเฉพาะหนังสือหรือลิงค์ ในตัวอย่างรหัส MATLAB ในกรณีนี้)

กุญแจสำคัญในการทำให้รูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอนทำงานในรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติคือการมีเมทริกซ์ 'รูปร่าง' ที่มีค่าที่แสดงถึงจุดนอกภายในและในขอบเขตของโดเมน สมมติว่าเรามีรูปร่างเช่นนี้:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

โดเมนที่แท้จริง (ซึ่งรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ทั้งหมด) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ชี้ลง 1 หมายถึงคะแนนในขอบเขตในขณะที่ 2 เป็นตัวแทนของจุดภายใน (ไม่ทราบโดยทั่วไป) เราสามารถกำหนดหมายเลขโหนดดังนี้:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 7 & 8 & 9 & 10 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 11 & 12 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

ที่นี่ -1 แสดงถึงตำแหน่งเขตแดน จากนั้นคุณสามารถเรียกใช้ชุดรูปแบบที่แตกต่างกัน จำกัด เหนือรายการทั้งหมดในเมทริกซ์ แต่ใช้คำสั่ง if เพื่อดำเนินการรูปแบบของคุณเฉพาะในโหนดภายใน (จาก 1 ถึง 12) วิธีนี้ไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการทำ แต่จะทำให้งานสำเร็จ ... ถ้าคุณสามารถซื้อหน่วยความจำได้อาจเป็นการดีที่จะเก็บรายการ (i, j) ของโหนดภายในทั้งหมดและเรียกใช้ สำหรับวนรอบบนโหนดเหล่านั้นเท่านั้น

ในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตโดยตรงคุณสามารถทำหนึ่งในสองสิ่งต่อไปนี้:
1. สร้างภาพขาวดำด้วยตนเองและนำเข้าสู่โปรแกรมของคุณ (นำไปใช้ง่ายที่สุด แต่ไม่สามารถปรับแต่งความละเอียดเชิงพื้นที่ dx หรือ dy) ได้
2. เขียนโค้ดที่จะสร้างการแสดงออกที่ไม่ต่อเนื่องของรูปร่างพื้นฐานที่คุณต้องการสำหรับการแก้ปัญหาเชิงพื้นที่ใด ๆ ที่คุณเลือก (ยากที่จะนำไปใช้ แต่จะมีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับแผนการ จำกัด ผลต่างทั่วไปของความละเอียดเชิงพื้นที่ dx หรือ dy)

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้คุณอาจต้องการพิจารณาดูวิดีโอเหล่านี้:
หลักสูตรกราฟิกคอมพิวเตอร์ NPTEL, วิดีโอ 2 (กราฟิกแรสเตอร์)
หลักสูตรกราฟิกคอมพิวเตอร์ NPTEL วิดีโอ 3 (กราฟิกแรสเตอร์ต่อ)
ลองดูและ แจ้งให้เราทราบหากสิ่งนี้ตอบคำถามของคุณ

ฉันคิดว่าหนังสือที่ดีในตอนแรกคือหนังสือโดย Hackbusch:

http://books.google.com/books/about/Elliptic_differential_equations.html?id=-ZPc_JYJFHgC&redir_esc=y

โดยเฉพาะ ch 4.8, "การแยกส่วนในโดเมน Arbitrary" อาจน่าสนใจสำหรับคุณ สามารถดาวน์โหลดหนังสือเวอร์ชันภาษาเยอรมันได้ฟรี (ถูกกฎหมาย) ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นเวอร์ชั่นภาษาอังกฤษหรือไม่

ฉันขอแนะนำเอกสารต่อไปนี้:

วิธีผลต่างอันตะ จำกัด ที่กริดไม่สม่ำเสมอและการประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์ประยุกต์ - Liszka Orkisz

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0045794980901492

เทคนิคผลต่างอันตะ จำกัด สำหรับกริดแปร - เซ่น

http://www.mendeley.com/research/finite-difference-techniques-variable-grids-7/

การแก้สมการพาราโบลิกและไฮเพอร์โบลิกโดยวิธีผลต่าง จำกัด ทั่วไป - เบนิโตอูเรนาเกเวต

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037704270600687X

โดยทั่วไปพวกเขาอธิบายถึงวิธีการสร้าง stencial ความแตกต่างแน่นอนสำหรับตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง / ผิดปกติ ฉันไม่รู้หนังสือเล่มใดที่ปฏิบัติตามหัวข้อเฉพาะนี้ แต่หนังสือของ Randall LeVeque อาจมีบางอย่างเกี่ยวกับมัน นี่คือลิงค์สำหรับหน้าเว็บของผู้เขียนซึ่งมีไฟล์ Matlab บางไฟล์สำหรับความแตกต่างแน่นอน

http://faculty.washington.edu/rjl/booksnotes.html

ฉันคิดว่าการสร้างตาข่ายให้พอดีกับขอบเขตและด้วยเหตุนี้การออกจากตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาตรฐานของ fdm อาจเป็นวิธีแก้ปัญหา แต่ก็มีผลกระทบที่ร้ายแรงเกี่ยวกับการใช้อัลกอริธึมลำดับสูง - ยากถ้าไม่เป็นไปไม่ได้ ฉันใช้วิธีการที่แตกต่างกันคือรักษาตารางสี่เหลี่ยมเหนือขอบเขตขอบเขตโค้งสร้างอัลกอริธึมลำดับสูงแทรกจากขอบเขตเพื่อตั้งค่า "นอก" เรขาคณิตและนั่นคือทั้งหมดที่มี เราได้ทำการวัดในรูปทรงศูนย์กลางการทดสอบทรงกลมของ ~ 1e-12 ด้วยวิธีนี้โดยใช้ลำดับอัลกอริธึม 8 ถ้าคุณจะ google "Edwards, fdm โค้งเขตแดน" คุณจะพบการอ้างอิงถึงงานของฉัน

เป็นไปได้ไหมที่คุณจะใช้การปรับแต่งตาข่ายแบบปรับตัว การค้นหาโดย Google อย่างรวดเร็วจะทำให้เกิดลิงก์จำนวนมาก ยกตัวอย่างเช่นใช้ AMR ในพลศาสตร์ของไหลเพื่อจำลองการไหลผ่านรูปทรงที่ซับซ้อน รวมถึงแอปพลิเคชั่นอื่น ๆ อีกมากมาย นี่คือตัวอย่างของการแก้ระบบของกฎหมายอนุรักษ์ซึ่งเกินความจริงซึ่งเกิดขึ้นในการก่อตัวดาวฤกษ์ รูปทรงมีความซับซ้อนมาก ส่วนแรกของบทความเป็นแบบฝึกหัดที่ดี http://www.mpa-garching.mpg.de/lectures/ADSEM/SS05_Homann.pdf

คำถามนี้เปิดกระป๋องเวิร์มตามที่เห็นได้จากคำตอบที่หลากหลาย หลาย ๆ สิ่งเหล่านี้สร้างจุดที่มีประโยชน์ แต่คำตอบที่เป็นประโยชน์จริง ๆ จะคำนึงถึงการพิจารณาที่ยังไม่ได้รับ นอกเหนือจากการกำหนดลักษณะที่แน่นอนของรูปทรงเรขาคณิตแล้วมันจะมีค่าที่จะรู้ก) คุณต้องการความแม่นยำแบบใด? b) คุณต้องการที่จะอยู่กับตาข่ายสี่เหลี่ยมปกติหรือไม่? c) คุณยินดีที่จะลงทุนในการเรียนรู้เทคโนโลยีใหม่มากแค่ไหน?

ตาข่ายสี่เหลี่ยมทั่วไปทำให้ยากต่อการกำหนดขอบเขตอย่างแม่นยำเพื่อให้คนจำนวนมากเปลี่ยนไปใช้ตาข่ายที่สอดคล้องกัน การทำตาข่ายด้วยการเชื่อมต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยากในการปรับให้เข้ากับรูปร่างที่ผิดปกติดังนั้นผู้คนจำนวนมากจึงเลือกใช้ตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง (สามเหลี่ยม / เตตราเฮดา

สำหรับข้อมูลใด ๆ ที่ไม่มีโครงสร้างคาร์ทีเซียนปกติมันเป็นเรื่องยากที่จะประเมินอนุพันธ์ดังนั้นหลายคนจึงปรับโครงสร้างปัญหาของพวกเขาในรูปแบบอินทิกรัลซึ่งนำไปสู่วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ / จำกัด ปริมาณ มีวิธีการแบบไร้ตาข่าย มีวิธีการองค์ประกอบขอบเขต มีวิธีการแช่ขอบเขต มีวิธีการตัดเซลล์ บ่อยครั้งที่มีวิธีการที่ได้รับความนิยมในบางแอปพลิเคชั่น แต่ไม่ใช่ในวิธีอื่นด้วยเหตุผลส่วนใหญ่ที่ผ่านมา

ฉันขอให้คุณโชคดีในการนำทางเขาวงกตนี้ แต่คุณต้องตระหนักว่าไม่มีคำตอบสำหรับคำถามของคุณ