มีข้อได้เปรียบเชิงตัวเลขในการแก้เมทริกซ์สมมาตรเมื่อเปรียบเทียบกับเมทริกซ์ที่ไม่มีสมมาตรหรือไม่?

ฉันใช้วิธี จำกัด ผลต่างกับระบบของสมการ 3 คู่ สมการที่สองไม่ได้เป็นคู่อย่างไรก็ตามคู่ที่สามของสมการทั้งสองนั้น ฉันสังเกตว่าการเปลี่ยนลำดับของสมการพูดจาก$(x, y, z)$ ถึง $(x, z, y)$ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์กลายเป็นสมมาตร

มีข้อได้เปรียบในการทำเช่นนี้หรือไม่? ตัวอย่างเช่นในแง่ของความมั่นคงหรือประสิทธิภาพ / ความเร็วของการแก้ปัญหา เมทริกซ์นั้นกระจัดกระจายมากหากเป็นสิ่งสำคัญเงื่อนไขที่ไม่เป็นศูนย์จะอยู่ตามแนวเส้นทแยงมุมส่วนกลาง

แน่นอน!

ก่อนอื่นระบบพีชคณิตเชิงเส้นบางระบบฉลาดพอที่จะเก็บเมทริกซ์เพียงครึ่งเดียวซึ่งจะช่วยให้คุณประหยัดหน่วยความจำได้มาก แต่แม้ว่าจะไม่ใช่กรณีนี้อัลกอริธึมต่าง ๆ ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขจะใช้ประโยชน์จากความสมมาตรได้

ตัวอย่างเช่นเมื่อได้รับเมทริกซ์สมมาตรไอเกนซอลเวอร์ใด ๆ จะรู้ทันทีว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีคุณค่าจริงและวิธีการแก้ปัญหาอาจใช้ความจริงนั้น

สิ่งทั่วไปที่หลาย ๆ คนคิดว่าเป็นวิธีการ subspace ของ Krylov สำหรับการแก้ปัญหาของระบบสมการ $Ax=b$: หากปัญหาของคุณเป็นแบบสมมาตรคุณรู้ว่าคุณไม่ต้องการวิธีการสำหรับปัญหาแบบไม่สมมาตรเช่น GMRES และสามารถอาศัยอยู่กับหน่วยความจำน้อยเช่น MINRES หรือถ้าเมทริกซ์ของคุณเป็นบวกแน่นอน - CG พฤติกรรมการคอนเวอร์เจนซ์ของวิธี Krylov ไม่ได้รับอิทธิพลจากวิธีเรียงสับเปลี่ยนดังนั้นคุณสามารถใช้วิธีสมมาตรสำหรับระบบที่ไม่ได้รับการรบกวน

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์ของคุณ $A=LU$ ในส่วนล่างสามเหลี่ยม $L$ และส่วนบนเป็นรูปสามเหลี่ยม $U$. ถ้า$A$ มีความสมมาตรแล้ว $A=LL^T$และคุณต้องเก็บปัจจัยเพียงอย่างเดียว ( Cholesky สลายตัว )