หลักการสูงสุด / ต่ำสุดของสมการความร้อนได้รับการดูแลโดยการแยกส่วนของ Crank-Nicolson หรือไม่?

10

ฉันใช้ Crank-Nicolson ผลต่าง จำกัด เพื่อแก้สมการความร้อน 1D ฉันสงสัยว่าหลักการสูงสุด / ต่ำสุดของสมการความร้อน (เช่นว่าสูงสุด / ต่ำสุดเกิดขึ้นที่เงื่อนไขเริ่มต้นหรือในขอบเขต) ยังถือสำหรับสารละลาย discretized

นี่อาจเป็นนัยโดยข้อเท็จจริงที่ว่า Crank-Nicolson เป็นรูปแบบที่มั่นคงและเป็นคอนเวอร์เจนซ์ แต่ดูเหมือนว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงผ่านอาร์กิวเมนต์พีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจาก Crank-Nicolson stencil

ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์สำหรับวรรณกรรมเกี่ยวกับเรื่องนี้ ขอบคุณ

— foobarbaz
แหล่งที่มา

สวัสดี foobarbaz และยินดีต้อนรับเข้าสู่ Scicomp! ฉันคิดว่าปัญหาที่คุณแก้ไขไม่มีคำที่มาใช่ไหม?

— พอล

8

หลักการสูงสุดสำหรับการ Crank-Nicolson จะถือถ้า สำหรับ timestepและตารางระยะห่างชั่วโมงโดยทั่วไปเราสามารถพิจารณา-scheme ของแบบฟอร์ม

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

ที่เป็นเมทริกซ์ Laplacian มาตรฐานและ

1

ถ้า

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

จากนั้นโครงการมีเสถียรภาพ (สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายโดยเทคนิคฟูริเยร์) อย่างไรก็ตามเกณฑ์ที่แข็งแกร่งกว่านั้นคือ

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับหลักการสูงสุดที่จะถือโดยทั่วไป

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

เพื่อพิสูจน์ให้ดูเฉลยเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนโดย KW มอร์ตัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งดูที่ส่วน 2.10 และ 2.11 และทฤษฎีบท 2.2

นอกจากนี้ยังมีวิธีที่ดีที่จะเห็นว่าหลักการสูงสุดจะไม่ถือโดยทั่วไปสำหรับ Crank-Nicolson ได้ไม่ จำกัด บนμ $\mu$

พิจารณาสมการความร้อนในโดยมี discretization ที่มี 3 คะแนนรวมถึงขอบเขต Let หมายถึงไม่ต่อเนื่องที่ timestep และตารางจุดฉันสมมติขอบเขต Dirichlet เพื่อให้สำหรับทุกkจากนั้น Crank-Nicolson จะลดลงเหลือ $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ ซึ่งสามารถจะลดลงต่อไป

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

ถ้าเราพิจารณาถึงสภาวะเริ่มต้นของเราก็จะมี $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

เพื่อตอบสนองต่อคำขอของ foobarbaz ฉันได้เพิ่มภาพร่างหลักฐานไว้

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— เบน
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! คุณรู้จักการอ้างอิงอื่นนอกเหนือจาก Morton หรือไม่ ฉันไม่สามารถเข้าถึงส่วนเหล่านั้นหรือทฤษฎีบทในหน้าตัวอย่างหนังสือ Google ฉันต้องการที่จะเข้าใจหลักฐาน

— foobarbaz

@foobarbaz ฉันไม่มีการอ้างอิงอื่นที่มีประโยชน์ แต่ฉันได้เพิ่มเค้าร่างของการพิสูจน์ แจ้งให้เราทราบหากฉันสามารถทำให้ชัดเจนขึ้น

— Ben

0

ความเสถียรหมายความว่าการก่อกวนจะยังคงถูก จำกัด อยู่ในเวลา ไม่ได้หมายความว่าหลักการสูงสุดพึงพอใจในระดับที่ไม่ต่อเนื่องนั่นเป็นปัญหาที่แตกต่าง ความพึงพอใจต่อหลักการสูงสุดที่ไม่ต่อเนื่องนั้นเพียงพอ แต่ไม่จำเป็นสำหรับความมั่นคง

— คริส
แหล่งที่มา