สมการการพาความร้อนแบบแปรผันกับความเร็วสามารถลดลงได้ไหม?

ฉันพยายามที่จะเข้าใจสมการการพาความร้อนด้วยสัมประสิทธิ์ความเร็วตัวแปรที่ดีขึ้นเล็กน้อย โดยเฉพาะฉันไม่เข้าใจว่าสมการจะอนุรักษ์ได้อย่างไร

สมพา ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

เรามาตีความว่าเป็นความเข้มข้นของสปีชีส์ทางกายภาพบางชนิด ( ) หรือปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ ที่ไม่สามารถสร้างหรือทำลายได้ หากเรารวมกับโดเมนของเราเราก็ควรจะได้รับค่าคงที่ $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(นี่คือสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยการอนุรักษ์นิยม)

ถ้าเราปล่อยให้ความเร็วเป็นฟังก์ชันของอวกาศ (และเวลา), ดังนั้นกฎลูกโซ่จะต้องถูกนำมาใช้เพื่อให้ $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

คำสุดท้าย "ดูเหมือน" เหมือนคำต้นฉบับและนี่คือสิ่งที่ฉันสับสน มันจะเพิ่มหรือลดปริมาณขึ้นอยู่กับความแตกต่างของสนามความเร็ว $u$

ตามคำถามนี้ฉันเข้าใจวิธีกำหนดเงื่อนไขขอบเขตการอนุรักษ์ อย่างไรก็ตามสำหรับสมการความเร็วการแปรผันของตัวแปรฉันไม่เข้าใจว่าเงื่อนไขขอบเขตการอนุรักษ์สามารถเกิดขึ้นได้อย่างไรเนื่องจากคำว่า "แหล่งที่มา" เพิ่มเติมที่นำมาใช้โดยการใช้กฎลูกโซ่ สมการนี้สามารถอนุรักษ์ได้หรือไม่? ถ้าใช่จะแก้ไขเงื่อนไขขอบเขตได้อย่างไร?

advection conservation

— boyfarrell
แหล่งที่มา

$\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

$\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

โดยที่คำทางด้านขวาเป็นเพียงความแตกต่างของฟลักซ์ระหว่างขอบเขตด้านซ้ายและด้านขวา

$\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ชัดเจนจริงๆอีกครั้งเจด! ฉันคิดว่าฉันจะถามคำถามติดตามผลนี้ แต่ก่อนอื่นต้องลองใช้คำแนะนำของคุณ

— boyfarrell