ทำไมมันยากที่จะแก้ตัวเลขสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับอิเล็กตรอนหลายช่วงเวลา

ดูเหมือนว่าผู้คนมักจะใช้การประมาณค่าแบบแอคทีฟอิเล็คตรอนเดี่ยว (SAE) เพื่อจัดการกับระบบอิเลคตรอนแบบมัลติซึ่งเปลี่ยนปัญหาให้เป็นปัญหาอิเลคตรอนเดี่ยว ยกตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของฮีเลียมอะตอมมีปฏิสัมพันธ์กับสนามเลเซอร์ผู้คนมักจะประมาณรวมถึงผลกระทบของอิเล็กตรอนอิเล็กตรอนโดยการหลอกศักยภาพและโดยพื้นฐานแล้วแก้ปัญหาอิเล็กตรอนตัวเดียว เหตุใดจึงยากที่จะแก้สมการของSchrödingerหลายอิเล็กตรอนเชิงตัวเลข มันยากกว่าปัญหาตัว n คลาสสิกหรือไม่? ฉันเคยเห็นว่ามีปัญหาคลาสสิกคนจำนวนมากที่แก้ไขได้ในเชิงตัวเลขแม้ในเวลาจริงตัวอย่างเช่นที่นี่จำลองแบบเรียลไทม์การปะทะกันของกาแลคซีสองแห่งที่เกี่ยวข้องกับการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาค 280000$n$

ใช่มันเป็นมากขึ้นยากที่จะทำเช่นนั้น สำหรับการ$N$ ปัญหาของร่างกายสิ่งที่คุณต้องคำนวณก็คือวิถี $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ ซึ่งเป็นเพียง $N$ ฟังก์ชั่นของตัวแปรเดียว

ในทางกลับกันแม้สำหรับอิเล็กตรอนเดียวการแก้ปัญหาของสมการชโรดิงเงอร์ก็เป็นฟังก์ชั่น $\Psi(x,y,z,t)$คือฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัว สำหรับสองอิเล็กตรอนคุณกำลังมองหาฟังก์ชั่น$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$อธิบายการทำงานของคลื่นเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งของอิเล็กตรอนสองตัวบวกกับเวลา นั่นคือเจ็ดตัวแปร

ทีนี้ถ้าคุณจำวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญได้สมการของนิวตันสำหรับ $N$ ปัญหาร่างกายแล้วคุณต้องย้ายทุกสมการไปข้างหน้าตามเวลาก้าวจากเวลา $t$ ถึง $t+\Delta t$และคำนวณวิธีแก้ปัญหาที่นั่น ดังนั้นถ้าคุณแบ่งช่วงเวลาของคุณ$[0,T]$ เข้าไป $M$ ช่วงความยาว $\Delta t=T/M$ จากนั้นความพยายามสำหรับทุกขั้นตอนจะเป็น $N^2M$ ใช้การปฏิบัติที่ไร้เดียงสาของการโต้ตอบของ $N$ ร่างกาย (คุณสามารถใช้วิธีการเพื่อให้บรรลุ $N (\log N) M$ ความพยายาม แต่นั่นคือประเด็น)

ในทางกลับกันหากต้องการค้นหาฟังก์ชันของ 7 ตัวแปรให้ถือว่าคุณแบ่งช่วงเวลาออกเป็น $M$ช่วงย่อยดังกล่าวข้างต้น แต่คุณก็ทำเช่นเดียวกันสำหรับพิกัดเชิงพื้นที่ 6 ตำแหน่ง จากนั้นมีทั้งหมด$M^7$จุดกริดที่ต้องพิจารณา และโดยทั่วไปสำหรับ$N$ ระบบควอนตัมร่างกายคุณมี $M^{3N+1}$.

ตอนนี้มันง่ายต่อการตรวจสอบว่าแม้จะเป็นตัวเลขที่ค่อนข้างเล็ก $N,M$, ความพยายาม $M^{3N+1}$ มีขนาดใหญ่กว่าอันกว้างใหญ่ $N^2M$ซึ่งอธิบายว่าทำไมการคำนวณควอนตัมแบบหลายค่ามีราคาแพงกว่ามาก $N$ กลศาสตร์คลาสสิกของร่างกาย