ค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่ควรได้รับการปฏิบัติด้วยวิธีการ จำกัด ลำดับแรกของปริมาณลม

เริ่มต้นด้วยสมการการผกผันในรูปแบบการอนุรักษ์

$$u_t = (a(x)u)_x$$

ที่( x )คือความเร็วซึ่งขึ้นอยู่กับพื้นที่และยูเป็นความเข้มข้นของสายพันธุ์ที่เป็นป่าสงวน$a(x)$$u$

การแยกแยะฟลักซ์ (โดยที่ฟลักซ์$f=a(x)u$ถูกกำหนดที่ขอบของเซลล์ระหว่างจุดตาข่าย) ให้,

$$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$$

การใช้ลำดับแรกที่อยู่เหนือลมเราประมาณค่าฟลักซ์เป็น

$$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$$ ซึ่งให้, $$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$$

หากเป็นค่าคงที่สิ่งนี้จะลดลงในรูปแบบ upwind ที่คุ้นเคยเช่น u t = $a(x)$)$u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

คำถามของฉันคือเราจะปฏิบัติต่อ ที่ไม่คงที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการพาหรือไม่ ความเร็วถูกกำหนดไว้ที่ศูนย์เซลล์ดังนั้นวิธีการง่ายๆจะเป็นดังต่อไปนี้

$$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$$

นี่เป็นวิธีการที่ฉันชอบเพราะใช้ง่ายมาก

อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้ (ฉันคาดเดา) รูปแบบค่าเฉลี่ยเพื่อกำหนดความเร็วที่ขอบเซลล์

$$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\ $$

ในหนังสือของ LeVequeเขาพูดว่า

จนถึงขณะนี้เราได้มีการสันนิษฐานว่าความเร็วตัวแปร( x )ที่ระบุไว้โดยค่าคงที่Jภายในที่ j เซลล์ตาราง ในบางกรณีก็เป็นธรรมชาติมากขึ้นแทนที่จะคิดว่าความเร็วJ - 1$a(x)$$a_j$ถูกระบุในแต่ละอินเตอร์เฟสของเซลล์$a_{j−{\frac{1}{2}}}$

แต่เขาไม่ได้ทำอย่างละเอียดมากเกินไปหลังจากนั้น แนวทางทั่วไปคืออะไร?

ฉันกำลังแก้ไขปัญหาการอนุรักษ์ (ฉันใช้สมการการพาแบบเป็นสมการความต่อเนื่อง) ดังนั้นฉันจึงต้องการให้แน่ใจว่าหลังจากใช้การแยกวิเคราะห์ว่าสมบัติการอนุรักษ์ได้รับการอนุรักษ์แล้ว ฉันต้องการหลีกเลี่ยงความประหลาดใจที่ซ่อนอยู่เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ตัวแปรเหล่านี้! ใครบ้างมีความคิดเห็นและคำแนะนำทั่วไปบ้างไหม?

---

อัปเดตมีคำตอบที่ดีจริงๆสองข้อด้านล่างและฉันสามารถเลือกได้เพียงหนึ่ง :(

ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับชนิดของระบบที่คุณกำลังมองหาที่มันอาจจะสะดวกกว่าที่จะต้องพิจารณาความเร็วเป็นค่คงที่ในแต่ละมือถือหรือว่ามันกำหนดไว้ที่การเชื่อมต่อมือถือ ยกตัวอย่างเช่นในอุตุนิยมวิทยากริดเซเป็นเรื่องธรรมดาที่อาจมีการกำหนดความกดดันภายในเซลล์และความเร็วที่เซลล์อินเตอร์เฟส คุณสามารถคิดถึงความเร็วตามที่นิยามไว้ในเซลล์ได้อย่างง่ายดาย ทุกคนบอกว่า: ตัวเลือกของการเป็นตัวแทนไม่ควรส่งผลต่อการรวมกันของวิธีการของคุณ * หากการแยกย่อยของคุณมั่นคงและสอดคล้องกัน$a$

สิ่งที่สำคัญที่สุด (และคุณได้สัมผัสกับสิ่งนี้ในคำถามของคุณ) คือระบบที่แยกส่วนนั้นยังคงอนุรักษ์นิยมอยู่ โดยมีเงื่อนไขว่ารูปแบบของคุณสามารถเขียนในแบบฟอร์ม

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

แล้วมันก็ควรจะอนุรักษ์ตั้งแต่

x$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

วิธีการง่าย ๆ ของคุณควรทำงานได้ดีเช่นเดียวกับที่จะเฉลี่ยความเร็วระหว่างเซลล์เพื่อกำหนดในส่วนต่อประสานเซลล์หากความเร็วเป็นบวกอยู่เสมอ ยิ่งกว่านั้นฉันไม่คิดว่าการหาค่าเฉลี่ยจะทำให้คุณมีความแม่นยำสูงขึ้นดังนั้นคุณมีสิทธิ์ที่จะเลือกวิธีง่ายๆ

หากคุณกำลังแก้หาความเร็วและคุณมีระบบสมการคุณอาจต้องระวังให้มากขึ้น ในทำนองเดียวกันหากคุณกำลังแก้ปัญหาไฮเพอร์โบลิกแบบไม่เชิงเส้นและใช้ตัว จำกัด ฟลักซ์คุณต้องระวังให้มากขึ้น

* อย่างไรก็ตามสำหรับระบบ PDE แบบไฮเปอร์โบลิคการใช้กริดแบบเซสามารถทำให้การกระจาย / การแพร่กระจายของเทียมดีขึ้นอย่างมาก หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมให้ดูที่ Arakawa C-grids หรือดูบทที่ 4 ของหนังสือเล่มนี้

$a(x)$

สิ่งที่ฉันหมายถึงโดยความสอดคล้องกันคือเงื่อนไขเดียวที่การแก้ไขต้องได้รับคือ

$$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งตราบใดที่วิธีการแก้ไขของคุณต่อเนื่องข้ามขอบเขตของเซลล์การแยกส่วนของคุณรับประกันได้ว่าจะยังคงอนุรักษ์

สิ่งนี้อาจไม่ดูเหมือนเป็นปัญหาใหญ่ที่นี่ใน 1D (และไม่ควร) แต่อาจทำให้เกิดปัญหาที่ส่วนต่อประสานที่ปรับหยาบใน AMR หลายระดับ

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

เพื่อดูว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้นให้พิจารณาว่าความหมายเชิงอนุรักษ์นิยมคือ

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$$

$D$

หาก discretization ของเราเป็นของแบบฟอร์ม

$$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$$

ที่ไหน $x_1,\ldots, x_n$ คือจุดกริดของเรา $D = [c,d]$และ $c = x_{\frac{1}{2}}$, $d = x_{n+\frac{1}{2}}$ดังนั้นคำแถลงการอนุรักษ์ที่ไม่ต่อเนื่องที่เทียบเท่ากันก็คือ

$$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$$

และสิ่งนี้สามารถสังเกตได้ง่าย ๆ โดยการขยายผลรวมทางด้านซ้ายมือ โปรดทราบว่าในกรณีของคุณที่มีการย้อนกลับ$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ และ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$แม้ว่ามันควรจะสังเกตว่าโครงการนี้เป็นเพียงรูปแบบ upwind ที่เหมาะสมหาก $a(x)u$ เป็นบวกเสมอ

สำหรับวิธีการสั่งซื้อที่สูงกว่าโดยมีเงื่อนไขว่า $a(x)$ เรียบเราสามารถใส่พหุนามกับจุดได้ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$และประเมินพหุนามที่ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$.