อะไรคือหลักการพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังการสร้างตาข่ายแบบเคลื่อนที่?

ฉันสนใจที่จะใช้ตาข่ายแบบเคลื่อนไหวสำหรับปัญหาการแพร่กระจาย วิธีการเคลื่อนย้ายแบบ Adaptive Moving Meshเป็นตัวอย่างที่ดีของวิธีการนี้สำหรับสมการของเบอร์เกอร์ใน 1D โดยใช้ผลต่างอัน จำกัด ใครบ้างที่จะสามารถนำเสนอตัวอย่างที่ใช้งานได้เกี่ยวกับการแก้สมการการแพร่กระจายแบบ 1D โดยใช้ความแตกต่างอัน จำกัด กับตาข่ายที่กำลังเคลื่อนที่

ตัวอย่างเช่นในรูปแบบอนุรักษ์นิยมสมการคือ

โดยที่คือความเร็ว (ฟังก์ชันของอวกาศ) เงื่อนไขเริ่มต้นสามารถระบุ (ตัวอย่าง) สปีชีส์การไหลย้ายจากซ้ายไปขวา (เช่นตามแนวท่อ) ที่ซึ่งเงื่อนไขเริ่มต้นมีการไล่ระดับสีที่คมชัดu ( 0 , x $a(x)$$u(0,x)$

ปัญหาการกระจายตัวของตาข่ายแบบเคลื่อนไหวควรจะแก้ไขได้อย่างไร (อาจเป็นไปได้กับอัลกอริทึมของ De Boor หรือวิธีการอื่น) ฉันต้องการนำไปใช้ใน Python ดังนั้นหากคำตอบของคุณสามารถแปลเป็นรหัสได้อย่างดียิ่งขึ้น!

คำถามเก่าก่อนที่จะโปรดปราน

1. อะไรคือวิธีการพื้นฐานสำหรับการสร้างตาข่ายแบบปรับตัวตามคุณสมบัติของระบบ? ฉันควรใช้ฟลักซ์เป็นตัวชี้ว่าการไล่ระดับสีใหญ่หรือไม่?
2. เพราะฉันหาวิธีแก้ปัญหาซ้ำ (กวาดเวลา) ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่จะสอดแทรกจากกริดเก่าไปยังกริดใหม่แนวทางปกติคืออะไร?
3. ฉันสนใจที่จะเห็นตัวอย่างการทำงานสำหรับปัญหาง่าย ๆ (เช่นสมการการพา)

พื้นหลังเล็กน้อยเกี่ยวกับข้อมูลเฉพาะของปัญหา ฉันกำลังจำลองระบบสมการ 1D

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

ชุดของสมการอธิบายปัญหาการแพร่กระจายของสปีชีส์สองชนิดโดยคู่สมการที่สามมีคู่กัน โซลูชันเปลี่ยนไปอย่างรวดเร็วใกล้กับกึ่งกลางของกริดของฉันดูด้านล่าง (นี่คือภาพประกอบไม่ใช่การคำนวณ)

ขอให้สังเกตว่าขนาดบันทึกบนกราฟด้านล่างการแก้ปัญหาสำหรับและแตกต่างกันไปตามลำดับความสำคัญ บนกราฟด้านบน ( ) มีความไม่ต่อเนื่องตรงกลาง ฉันกำลังแก้ระบบดังกล่าวข้างต้นที่มีการปรับตัวทวนลมที่ไม่ต่อเนื่องสามารถปรับตัวจากศูนย์กลางในการทวนลมครอบงำขึ้นอยู่กับมูลค่าของท้องถิ่นจำนวนPéclet ฉันกำลังแก้ไขระบบโดยปริยายด้วยการรวมรูปสี่เหลี่ยมคางหมูในเวลา ("Crank-Nicolson")v $u$$v$$w$

ฉันสนใจที่จะใช้ตารางปรับตัวกับปัญหานี้ ฉันคิดว่ามันสำคัญเพราะไม่เช่นนั้นรายละเอียดของพารามิเตอร์รูปร่างสูงสุด ( ) อาจหายไป แตกต่างจากคำถามนี้ฉันต้องการสมัครเป็นอัลกอริทึมสำหรับการสร้างตาข่าย$w$

เนื่องจากนี่เป็นปัญหาการแพร่กระจายแบบ advection เราจึงสามารถจินตนาการถึงโครงร่างแบบตาข่ายที่ปรับได้ตามฟลักซ์ของและที่ขอบเขตของเซลล์ เช่นนี้จะบ่งชี้ว่าค่ามีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว จุดสูงสุดของยังสอดคล้องกับตำแหน่งที่ฟลักซ์ใหญ่ที่สุดv $u$$v$$w$

กริดแบบปรับตัวเป็นเครือข่ายกริดที่จัดกลุ่มจุดกริดโดยอัตโนมัติในภูมิภาคของการไล่ระดับสีสนามสูง มันใช้การแก้ปัญหาของคุณสมบัติเขตข้อมูลการไหลเพื่อค้นหาจุดกริดในระนาบทางกายภาพ กริดแบบปรับตัวนั้นวิวัฒนาการในขั้นตอนเวลาร่วมกับการแก้ปัญหาแบบขึ้นอยู่กับเวลาของสมการสนามการไหลที่ควบคุมซึ่งคำนวณตัวแปรฟิลด์ฟิลด์การไหลในขั้นตอนของเวลา ในระหว่างการแก้ปัญหาจุดกริดในระนาบทางกายภาพจะเป็นแบบ 'ปรับ' สำหรับภูมิภาคที่มีการไล่ระดับสีขนาดใหญ่ ดังนั้นจุดกริดที่เกิดขึ้นจริงในระนาบกายภาพนั้นจะเคลื่อนที่ตลอดเวลาในระหว่างการแก้ปัญหาของสนามไหลและกลายเป็นนิ่งเมื่อทางออกไหลเข้าสู่สถานะคงที่

การปรับกริดใช้สำหรับปัญหาที่มีความมั่นคงและไม่มั่นคง ในกรณีที่ตารางปัญหาการไหลคงที่ถูกปรับหลังจากจำนวนการทำซ้ำที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและการปรับตารางจะหยุดที่จุดเมื่อมีการแก้ปัญหา ในกรณีของการแก้ปัญหาเวลาที่แม่นยำการเคลื่อนไหวของจุดกริดและการปรับแต่งจะดำเนินการร่วมกับการแก้ปัญหาเวลาที่แม่นยำของปัญหาทางกายภาพ สิ่งนี้ต้องการการมีเพศสัมพันธ์ที่ถูกต้องของเวลาของปัญหาทางกายภาพและการอธิบายการเคลื่อนไหวของกริดหรือการปรับตัวของกริด

สำหรับการคำนวณการกำหนดค่าที่ใหม่กว่านั้นขึ้นอยู่กับแนวทางปฏิบัติที่ดีที่สุดสำหรับการสร้างตาข่ายและประสบการณ์ก่อนหน้านี้ทำให้ประตูเปิดสู่ข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขจำนวนมาก วิธีการปรับแบบกริดสามารถสร้างการปรับปรุงที่สำคัญในด้านคุณภาพการแก้ปัญหาและให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าเพราะไม่มีข้อ จำกัด ที่กำหนดขีด จำกัด ของความละเอียดกริดที่สามารถทำได้

มีเทคนิคการปรับกริดพื้นฐานสามประเภท ได้แก่ -method, -method และ -method มีวิธีการผสมบางประเภทที่เราสามารถหาได้เช่น -adaptation หรือ -adaptation ออกจากนี้และประเภทของการปรับตารางเทคนิคที่นิยมมากขึ้นในปริมาณที่ จำกัด และรูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอน$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$ประเภท : -

วิธีการที่เกี่ยวข้องกับการปรับแต่งอัตโนมัติหรืออนุภาคของตาข่ายอวกาศอยู่บนพื้นฐานของการประมาณการผิดพลาด posteriori หรือตัวชี้วัดข้อผิดพลาด$h$

$r$ประเภท : -

แทนที่จะทำการเปลี่ยนแปลงทอพอโลยีแบบโลคอลไปที่ตาข่ายและการเชื่อมต่อวิธีการแบบอาร์เอฟทีฟจะทำการเปลี่ยนแปลงในระดับความละเอียดโดยการย้ายตำแหน่งของจุดรวมจำนวนคงที่ทั้งหมด

$p$ประเภท : -

วิธีการปรับกริดที่ได้รับความนิยมอย่างมากในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แทนการใช้ปริมาตร จำกัด หรือวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ มันช่วยลดข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาโดยการเพิ่มค่าพหุนามของฟังก์ชั่นการแก้ไขด้วยลำดับองค์ประกอบทางเรขาคณิตที่เหมือนกันไม่มีตาข่ายใหม่รูปทรงเรขาคณิตที่จะคำนวณและข้อดีอีกประการของวิธีนี้คือมันสามารถประมาณขอบเขตผิดปกติหรือโค้ง อัตราส่วนกว้างยาวและเอียง ด้วยเหตุนี้มันมีชื่อเสียงมากในการใช้งานโครงสร้าง

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ คุณสมบัติที่อิงกับวิธีการปรับตัวแบบกริดส่วนใหญ่ใช้คุณลักษณะของโซลูชันเป็นแรงผลักดันในการปรับกริด สิ่งเหล่านี้มักจะใช้คุณสมบัติของโซลูชันเช่นการไล่ระดับสีของโซลูชันและความโค้งของโซลูชัน ขอบเขตการไหลที่มีการไล่ระดับสีของโซลูชันขนาดใหญ่จะได้รับการแก้ไขด้วยจุดและภูมิภาคที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด สิ่งนี้นำไปสู่การปรับแต่งของภูมิภาคซึ่งมีลักษณะเฉพาะทางกายภาพเช่นขอบเขตชั้น, แรงกระแทก, เส้นแยก, จุดความเมื่อยล้าเป็นต้นในบางกรณีการปรับแต่งที่ใช้การไล่ระดับสีสามารถเพิ่มข้อผิดพลาดการแก้ปัญหาได้จริง ความทนทานและอื่น ๆ

$2.Truncation-error-based-adaption$ ข้อผิดพลาด Truncation คือความแตกต่างระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและสมการที่แยกส่วน ข้อผิดพลาดการตัดปลายเป็นวิธีการที่เหมาะสมกว่าในการค้นหาว่าการปรับตัวควรเกิดขึ้นที่ไหน แนวคิดทั่วไปที่อยู่เบื้องหลังการปรับใช้ข้อผิดพลาดการตัดทอนคือการจัดสรรข้อผิดพลาดเหนือโดเมนของการจำลองเพื่อลดข้อผิดพลาด discretization ทั้งหมด สำหรับการประเมินสมการอย่างง่ายของข้อผิดพลาดการตัดทอนเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่สำหรับโครงร่างที่ซับซ้อนวิธีการที่ยากจึงจำเป็นต้องใช้วิธีที่แตกต่างกันสำหรับจุดประสงค์นั้น สำหรับโครงร่างการแยกย่อยง่าย ๆ ข้อผิดพลาดการตัดสามารถคำนวณได้โดยตรง สำหรับแผนการที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งการประเมินโดยตรงของการตัดทอนเป็นเรื่องยากวิธีการสำหรับการประเมินข้อผิดพลาดการตัดทอนเป็นสิ่งจำเป็น

$3.Adjoint-based-adaptation$ แนวทางถัดไปที่มีแนวโน้มคือแนวทาง adjoint มันดีมากในการประเมินการมีส่วนร่วมในท้องถิ่นของแต่ละเซลล์หรือองค์ประกอบเพื่อข้อผิดพลาด discretization ในฟังก์ชั่นการแก้ปัญหาใด ๆ ที่น่าสนใจเช่นการยกลากและช่วงเวลา ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการปรับกริดเป้าหมายตามความต้องการของโซลูชันดังนั้นจึงเรียกว่าเป็นการปรับเป้าหมาย

ดีที่สุด!

$References:-$

[1] Fidkowski Krzysztof J. และ Darmofal David L. การทบทวนข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเอาท์พุตตามเอาท์พุตและการปรับตัวแบบตาข่ายในการคำนวณพลวัต AIAA Journal, 49: 673–694, 2011

[2] John Tannehill Richard Pletcher และ Dale Anderson กลศาสตร์การคำนวณและการถ่ายเทความร้อน Taylor & Francis, 1997

[3] JD Jr. Anderson การคำนวณ dyanamics: ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับแอปพลิเคชัน MCGraw Hill Inc. , 1995

[4] Roy Christopher J. กลยุทธ์สำหรับการขับเคลื่อนการปรับตัวแบบตาข่ายใน CFD ในการประชุม AIAA Aerospace Science ครั้งที่ 47 ซึ่งรวมถึง New Horizons Forum และ Ex-position, 2009

[5] McRae Scott D. อัลกอริทึมการปรับตารางและปัญหาใหม่ วิธีการคำนวณในกลศาสตร์ประยุกต์และวิศวกรรมประยุกต์, 189: 1161–1182, 2000

[6] Ivanenko Sergey A. Azarenok Boris N. และ Tang Tao วิธีการแจกจ่ายตาข่ายแบบ Adapative โดยยึดตามรูปแบบ godunovs Comm คณิตศาสตร์ วิทย์, 1: 152–179

[7] Ahmadi Majid และ Ghaly Wahid S. การจำลองของ inviscid fl ow ในน้ำตกโดยใช้วิธี volume nite volume ที่มีการปรับแก้ปัญหา ในงาน Symi Aerodynamics ของ CASI ครั้งที่ 6, 1997

[8] Jasak H. และ Gosman AD การควบคุมความละเอียดอัตโนมัติสำหรับ fi nite-volum e ethod ส่วนที่ 1: การประมาณข้อผิดพลาด a-posteriori การถ่ายเทความร้อนเชิงตัวเลขเทย์เลอร์และฟรานซิส, 38: 237–256, 2000

[9] Jasak H. และ Gosman AD การควบคุมความละเอียดอัตโนมัติสำหรับ fi nite-volum em ethod ตอนที่ 2: การปรับตัวของตาข่ายและการทำให้หยาบ การถ่ายเทความร้อนเชิงตัวเลขเทย์เลอร์และฟรานซิส, 38: 257–271, 2000

[10] Thompson David S. Soni Bharat K. , Koomullil Roy และ Thornburg Hugh โซลูชันกริดแบบปรับตัวได้ตามการกระจายจุด วิธีการคำนวณในกลศาสตร์ประยุกต์และวิศวกรรมประยุกต์, 189: 1183–1204, 2000

[11] Venditti David A. and Darmofal David L. Adjoint การประมาณข้อผิดพลาดและการปรับตารางสำหรับเอาต์พุตที่ใช้งานได้: การประยุกต์ใช้กับมิติเสมือนหนึ่งมิติ วารสารฟิสิกส์เชิงคำนวณ, 164: 204–227, 2000

[12] Balasubramanian R. และ Newman JC การเปรียบเทียบการปรับกริดแบบ adjoint และแบบคุณลักษณะสำหรับเอาต์พุตเชิงหน้าที่ สมุดรายวันระหว่างประเทศสำหรับวิธีการเชิงตัวเลขใน fl uids, 53: 1541–1569, 2007

[13] ฮาร์ทมันน์ราล์ฟ การประมาณข้อผิดพลาดและการปรับแบบปรับตามหลักอากาศพลศาสตร์ ในการประชุมยุโรปเรื่องการคำนวณพลศาสตร์ของไหลปี 2549

ฉันยังคงกำลังมองหาคำตอบที่ดีสำหรับสิ่งนี้ ฉันทำงานกับกริดแบบปรับได้หลายระดับซึ่งฉันใช้เกณฑ์บางประเภทในการปรับแต่ง คนที่เพลิดเพลินกับ FEM ค่อนข้างถูก (คำนวณ) ข้อผิดพลาดที่เข้มงวดประเมินว่าพวกเขาใช้เป็นเกณฑ์การปรับ สำหรับพวกเราที่ทำ FDM / FVM ฉันยังไม่มีโชคในการหาค่าประมาณดังกล่าว

ในบริบทนี้ถ้าคุณต้องการที่จะเข้มงวดเกี่ยวกับการปรับแต่งเช่นสินค้าขึ้นอยู่กับบางส่วนประมาณค่าของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจริง (เกือบ) ทางเลือกเดียวของคุณคือริชาร์ดคาดการณ์ ยกตัวอย่างเช่นนี่คือสิ่งที่เคยถูกใช้โดยBerger และ Oliger (1984)สำหรับตัวบล็อกโครงสร้างของพวกเขา AMR ซึ่งเกินความจริงผ่อนชำระ วิธีการทั่วไปในแง่ที่ว่าคุณสามารถใช้การคาดการณ์ของริชาร์ดสันสำหรับปัญหาใด ๆ ปัญหาเดียวของมันคือมันมีราคาแพงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาชั่วคราว

นอกเหนือจากการคาดการณ์ของริชาร์ดสันเกณฑ์อื่น ๆ ทั้งหมด (ตามความเห็นของฉัน) เป็นเพียงแค่เฉพาะกิจ ใช่คุณสามารถกำหนดเกณฑ์ที่แน่นอนใน "ปริมาณความสนใจ" และปรับแต่งตามนั้น คุณสามารถใช้ฟลักซ์หรืออนุพันธ์ของปริมาณเพื่อแจ้งเตือนการไล่ระดับสีขนาดใหญ่และใช้สิ่งนั้น หรือถ้าคุณกำลังติดตามอินเทอร์เฟซคุณสามารถปรับแต่งตามความใกล้คุณอินเทอร์เฟซ ทั้งหมดเหล่านี้มีราคาถูกมากแน่นอน แต่ไม่มีอะไรที่เข้มงวดเกี่ยวกับพวกเขา

สำหรับการแก้ไขระหว่างกริดโดยทั่วไปคุณต้องการบางสิ่งที่อย่างน้อยก็แม่นยำเท่าที่คุณแก้ไข บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะสร้างการแก้ไขที่ตอบสนองคุณสมบัติบางอย่างเช่นการอนุรักษ์มวลหรือนูนดังนั้นจึงไม่แนะนำ extrema ใหม่ ฉันสังเกตเห็นว่าคุณสมบัติสุดท้ายนี้บางครั้งมีความสำคัญต่อเสถียรภาพของโครงการโดยรวม

หากเป็น 1D แน่นอนคุณอาจไม่ต้องการตาข่ายแบบปรับได้ที่นี่สำหรับปัญหาง่ายๆที่คุณสามารถแก้ไขสิ่งที่คุณต้องการด้วยสแตติกกริดพร้อมพลังการคำนวณของเวิร์กสเตชันที่ทันสมัย แต่มันเป็นกลยุทธ์ที่เหมาะสมอย่างสมบูรณ์ในกระบวนการของการรวมเวลาเพื่อระบุพื้นที่เป็นระยะที่เน้นการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขให้เพิ่มจุดกริดที่นั่น (และลบจุดกริดออกจากพื้นที่ที่มีการแก้ไขมากเกินไป) และแทรกเข้าไปในกริดใหม่ แต่สิ่งนี้ไม่ควรทำบ่อยเกินไปเนื่องจากการแก้ไขอาจมีค่าใช้จ่ายสูงและจะเพิ่มข้อผิดพลาดที่เป็นตัวเลขในการคำนวณโดยรวม