อะไรคือความแตกต่างระหว่าง Parareal, PITA และ PFASST

อัลกอริทึม Parareal, PITA และ PFASST นั้นเป็นเทคนิคข้ามโดเมนสำหรับการแก้ปัญหาแบบพึ่งพาเวลาในแบบคู่ขนาน

1. หลักการชี้นำที่อยู่เบื้องหลังวิธีการเหล่านี้คืออะไร?

2. อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างพวกเขา

3. ฉันสามารถพูดได้หรือไม่ว่าอันนั้นอิงจากอีกอันหนึ่ง? อย่างไร?

4. แล้วแอพพลิเคชั่นของพวกเขาคืออะไร?

ฉันรู้ว่าจะไม่มีคำตอบสำหรับคำถาม "ซึ่งดีกว่า?" แต่ความเข้าใจที่ดีของพื้นที่การสมัครและเงื่อนไขการตรวจสอบของพวกเขาเป็นประโยชน์กับฉัน

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

วิธี PITA นั้นคล้ายกับ Parareal มาก แต่มันจะคอยติดตามการอัพเดทก่อนหน้านี้และอัพเดทเฉพาะเงื่อนไขเริ่มต้นของโปรเซสเซอร์แต่ละตัวในลักษณะที่ทำให้ระลึกถึงวิธีการย่อย Krylov สิ่งนี้ทำให้ PITA สามารถแก้สมการลำดับที่สองเชิงเส้นซึ่ง Parareal ไม่สามารถทำได้

วิธีการ PFASST นั้นแตกต่างจากวิธี Parareal และ PITA ในสองวิธีพื้นฐาน: อันดับแรกมันอาศัยการทำซ้ำตามเวลาที่กำหนด (SDC) ซ้ำแล้วซ้ำอีกและในความเป็นจริง PFASST ได้รวมเอาการแก้ไขแบบเต็มรูปแบบเข้ากับการเผยแพร่แบบหยาบ สามารถใช้ลำดับชั้นของผู้เผยแพร่โฆษณา (แทนที่จะเป็นเพียงสองคน) การใช้ SDC ช่วยให้การทำซ้ำขนานเวลาและการทำซ้ำ SDC เป็นแบบผสมซึ่งช่วยลดข้อ จำกัด ด้านประสิทธิภาพของ Parareal และ PITA การใช้การแก้ไข FAS ช่วยให้มีความยืดหยุ่นมากเมื่อสร้างตัวกระจายสัญญาณแบบหยาบของ PFASST (ทำให้ตัวกระจายสัญญาณแบบหยาบมีราคาถูกที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพแบบขนาน) กลยุทธ์การจับกลุ่มรวมถึง: การแบ่งเวลาให้น้อยลง (โหนด SDC ที่น้อยลง), การเว้นวรรคที่หยาบ (สำหรับ PDE ที่ใช้แบบกริด), การแบ่งกลุ่มผู้ปฏิบัติงานและฟิสิกส์ที่ลดลง

ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะแสดงพื้นฐานความแตกต่างและความคล้ายคลึงกันระหว่างอัลกอริทึม โปรดดูการอ้างอิงในโพสต์นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

เกี่ยวกับการใช้งานวิธีการที่ถูกนำไปใช้กับสมการที่หลากหลาย (วงโคจรของดาวเคราะห์, Navier-Stokes, ระบบอนุภาค, ระบบวุ่นวายระบบพลวัตของโครงสร้างการไหลของบรรยากาศ ฯลฯ ) เมื่อใช้การขนานเวลากับปัญหาที่ระบุคุณควรตรวจสอบความถูกต้องของวิธีการในลักษณะที่เหมาะสมสำหรับปัญหาที่กำลังแก้ไข