อะไรคือความแตกต่างทางแนวคิดระหว่างองค์ประกอบ จำกัด และวิธีปริมาณ จำกัด

มีความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างผลต่างอันตะ จำกัด และวิธีปริมาตร จำกัด (การเคลื่อนย้ายจากการกำหนดจุดของสมการไปยังค่าเฉลี่ยที่สำคัญเหนือเซลล์) แต่ฉันพบว่า FEM และ FVM ใกล้เคียงกันมาก พวกเขาทั้งสองใช้รูปแบบอินทิกรัลและค่าเฉลี่ยเหนือเซลล์

วิธีการ FEM ทำอะไรที่ FVM ไม่ใช่ ฉันได้อ่านพื้นหลังเล็ก ๆ บน FEM ที่ฉันเข้าใจว่าสมการเขียนในรูปแบบที่อ่อนแอซึ่งทำให้วิธีการระบุจุดแตกต่างกันเล็กน้อยกว่า FVM อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจในระดับแนวคิดว่าความแตกต่างคืออะไร FEM ทำสมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับความไม่รู้จักที่แตกต่างกันภายในเซลล์สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ด้วย FVM หรือไม่?

ฉันมาจากมุมมอง 1D เป็นส่วนใหญ่ดังนั้นบางที FEM อาจมีข้อดีมากกว่าหนึ่งมิติ

ฉันไม่พบข้อมูลมากมายในหัวข้อนี้ในเน็ต วิกิพีเดียมีส่วนที่เกี่ยวกับวิธี FEM จะแตกต่างจากวิธีการที่แตกต่างกันแน่นอน แต่ที่เป็นเรื่องเกี่ยวกับมันhttp://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method

ไฟไนต์อิลิเมนต์: ปริพันธ์เชิงปริมาตรคำสั่งพหุนามภายใน

วิธีไฟไนต์คลาสสิกองค์ประกอบสันนิษฐานว่าช่องว่างการประมาณต่อเนื่องหรือต่อเนื่องอย่างอ่อนและขอให้อินทิกรัลเชิงปริมาตรของฟอร์มที่อ่อนแอเพื่อให้เป็นที่พอใจ ลำดับความถูกต้องเพิ่มขึ้นโดยการเพิ่มลำดับการประมาณภายในองค์ประกอบ วิธีการนั้นไม่อนุรักษ์นิยมอย่างแน่นอนดังนั้นมักจะต่อสู้กับความมั่นคงสำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง

ปริมาณ จำกัด : ปริพันธ์พื้นผิว, ฟลักซ์จากข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง, คำสั่งการสร้างใหม่

ระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุมใช้การประมาณค่าคงที่ทีละชิ้นและขอให้อินทิกรัลเทียบกับฟังก์ชันการทดสอบค่าคงที่ทีละชิ้น ๆ นี่เป็นข้อความที่แสดงถึงการอนุรักษ์ที่แน่นอน ปริมาตรอินทิกรัลถูกแปลงเป็นอินทิกรัลผิวและฟิสิกส์ทั้งหมดถูกระบุในรูปของฟลักซ์ในอินทิกรัผิว สำหรับปัญหาไฮเพอร์โบลิกอันดับแรกนี่คือการแก้ของรีมันน์ ลำดับที่สอง / รูปไข่ฟลักซ์นั้นละเอียดกว่ามาก คำสั่งของความแม่นยำจะเพิ่มขึ้นโดยใช้ประเทศเพื่อนบ้านเพื่อ (อนุรักษ์นิยม) เพื่อสร้างตัวแทนลำดับที่สูงขึ้นของรัฐภายในองค์ประกอบ กระบวนการสร้างมักจะไม่เป็นเชิงเส้นเพื่อควบคุมการแกว่งรอบคุณสมบัติไม่ต่อเนื่องของการแก้ปัญหา ดูการเปลี่ยนแปลงที่ลดลงทั้งหมด (TVD) และวิธีการที่ไม่ใช่การแกว่ง (ENO / WENO) discretization แบบไม่เชิงเส้นเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้ได้ทั้งความแม่นยำสูงกว่าคำสั่งแรกในพื้นที่ราบเรียบทฤษฎีบท Godunov ของ

ความคิดเห็น

ทั้ง FE และ FV นั้นง่ายต่อการกำหนดความแม่นยำในการสั่งซื้อสูงสุดที่สองในกริดที่ไม่มีโครงสร้าง FE ง่ายกว่าขั้นตอนที่สองในกริดที่ไม่มีโครงสร้าง FV จัดการกับตาข่ายที่ไม่สอดคล้องกันได้ง่ายและมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น

การรวม FE และ FV

วิธีการสามารถแต่งงานได้หลายวิธี วิธีการไม่ต่อเนื่อง Galerkin เป็นวิธีการองค์ประกอบ จำกัด ที่ใช้ฟังก์ชั่นพื้นฐานที่ไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงได้รับการแก้ Riemann และความทนทานมากขึ้นสำหรับกระบวนการไม่ต่อเนื่อง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งเกินความจริง) วิธีการ DG สามารถใช้กับตัว จำกัด แบบไม่เชิงเส้น (โดยปกติจะมีการลดความแม่นยำ) แต่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของเอนโทรปีของเซลล์โดยไม่ จำกัด และสามารถใช้โดยไม่ จำกัด สำหรับปัญหาบางอย่างที่แผนการอื่น ๆ ต้องการขีด จำกัด (สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการปรับให้เหมาะสมแบบ adjoint เนื่องจากทำให้ adjoint แยกกันมากขึ้นของสมการ adjoint แบบต่อเนื่อง) วิธีผสม FE สำหรับปัญหารูปไข่ใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่ไม่ต่อเนื่องและหลังจากตัวเลือกของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ดูคำตอบนี้$P_N P_M$

ความแตกต่างทางแนวคิดของ FEM และ FVM นั้นบอบบางพอ ๆ กับความแตกต่างระหว่างต้นไม้กับต้นสน

หากคุณเปรียบเทียบรูปแบบ FEM บางอย่างกับการแยกส่วน FVM ที่นำไปใช้กับปัญหาเฉพาะคุณสามารถพูดถึงความแตกต่างพื้นฐานที่เห็นได้ชัดในแนวทางการใช้งานที่แตกต่างกันและคุณสมบัติการประมาณที่แตกต่างกัน (ตาม @Jed Brown

แต่โดยทั่วไปฉันจะบอกว่า FVM เป็นกรณีพิเศษของ FEM โดยใช้กริดของเซลล์และฟังก์ชันการทดสอบค่าคงที่ทีละน้อย ความสัมพันธ์นี้ยังใช้สำหรับการวิเคราะห์การลู่เข้าของ FVM ซึ่งสามารถพบได้ในหนังสือโดย Grossmann, Roos & Stynes: การรักษาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ความแตกต่างพื้นฐานเป็นเพียงความหมายที่แนบมากับผลลัพธ์ FDM ทำนายค่าจุดของทุกแง่มุมของการแก้ปัญหา การแก้ไขระหว่างค่าเหล่านี้มักถูกปล่อยให้จินตนาการของผู้ใช้ FVM ทำนายค่าเฉลี่ยของตัวแปรอนุรักษ์ภายในโวลุ่มควบคุมเฉพาะ ดังนั้นจึงคาดการณ์ตัวแปรอนุรักษ์แบบบูรณาการและสามารถแสดงให้มาบรรจบกับโซลูชั่นที่อ่อนแอ (ไม่ต่อเนื่อง) FEM ให้ชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งสามารถแก้ปัญหาโดยประมาณได้อย่างไม่น่าสงสัยทุกที่โดยเรียกใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน โดยปกติแล้ว แต่ไม่จำเป็นว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องจะเป็นแบบอนุรักษ์นิยม เป็นไปได้ที่จะมีวิธีการที่แตกต่างกัน จำกัด ที่มีความระมัดระวังในบางแง่มุมตามกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยเฉพาะ

เหล่านี้เป็นเรื่องของความหมาย มีวิธีการมากมายทั้งสามวิธี ไม่ใช่ทุกวิธีที่จะสะอาดหมดจดในประเภทเดียวและรายละเอียดจะแตกต่างกันไปตามพื้นที่แอพพลิเคชัน นักวิจัยคิดค้นวิธีการใหม่ใช้เครื่องมือที่จะช่วยให้คุณสมบัติที่พวกเขากำลังมองหา มันเป็นเรื่องที่คุณพบว่ามันยากที่จะหาบทสนทนาที่น่าเชื่อถือและมันยากสำหรับฉันที่จะให้คำตอบ คำแนะนำที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถให้คือการอ่านต่อโดยไม่คาดหวังคำตอบที่ชัดเจนทั้งหมด แต่ให้ความเชื่อมั่นกับสิ่งที่เหมาะสมกับคุณ