การใช้เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet กับสมการปัวซองด้วยวิธีไฟไนต์วอลุม

ฉันต้องการทราบว่าเงื่อนไข Dirichlet ถูกนำไปใช้โดยทั่วไปอย่างไรเมื่อใช้วิธีไฟไนต์วอลลุ่มบนกริดที่ไม่สม่ำเสมอของเซลล์

การนำไปใช้ในปัจจุบันของฉันกำหนดเงื่อนไขขอบเขตของฉันเพียงแก้ไขค่าของเซลล์แรก

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

โดยที่คือตัวแปรโซลูชันและคือค่าเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่ lhs ของโดเมน ( NB ) อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ไม่ถูกต้องเพราะเงื่อนไขขอบเขตควรจะแก้ไขค่าของเซลล์ที่ใบหน้าไม่ได้ค่าของมือถือตัวเอง สิ่งที่ฉันควรนำไปใช้จริงๆคือกรัมD ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

ตัวอย่างเช่นลองแก้สมการปัวซอง

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขต

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(โดยที่เป็นเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann ทางด้านขวามือ)$g_N(x_R)$

โปรดสังเกตว่าวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขได้แก้ไขค่าของตัวแปรเซลล์ให้เป็นค่าเงื่อนไขขอบเขต ( ) ที่ด้านซ้ายมือ สิ่งนี้มีผลต่อการขยับโซลูชันทั้งหมดขึ้นไป ผลสามารถลดลงได้โดยใช้จุดตาข่ายจำนวนมาก แต่นั่นไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่ดี$g_D(x_L)=0$

คำถาม

เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ใช้ในทางใดบ้างเมื่อใช้วิธีไฟไนต์วอลลุ่ม? ผมถือว่าผมต้องแก้ไขค่าของโดย interpolating หรือคะเนโดยใช้ (จุดผี) หรือดังกล่าวว่าเส้นตรงจะผ่านจุดเหล่านี้มีค่าที่ต้องการที่x_Lคุณสามารถให้คำแนะนำใด ๆ หรือตัวอย่างของวิธีการนี้สำหรับตาข่ายที่ไม่สม่ำเสมอของเซลล์ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

ปรับปรุง

นี่คือความพยายามของฉันที่จะใช้วิธีเซลล์ผีที่คุณแนะนำมันดูสมเหตุสมผลหรือไม่?

สมการสำหรับเซลล์คือ (โดยที่หมายถึงการไหลของ )F$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

เราจำเป็นต้องเขียนในแง่ของขอบเขตเงื่อนไขการใช้มือถือผี , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

แต่ท้ายที่สุดเราต้องกำจัดเทอมจากสมการ การทำเช่นนี้เราเขียนสมการที่สองซึ่งเป็นเชิงเส้นจากใจกลางของเซลล์ไปยังศูนย์กลางของเซลล์\เส้นนี้ผ่านไปได้อย่างสะดวกสบายดังนั้นนี่คือวิธีที่เงื่อนไข Dirichlet เข้าสู่ discretistaion (เนื่องจากค่า ณ จุดนี้เป็นเพียง )Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

สมการรวม 1 และ 2 เราสามารถขจัดและหาการแสดงออกสำหรับในแง่ของและ ,F L ϕ 1 g D ( x L$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

สมมติว่าเรามีอิสระที่จะเลือกระดับเสียงของเซลล์ผีเราสามารถตั้งค่าให้$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นอีกเพราะถ้าเซลล์และเป็นปริมาตรเดียวกันเราสามารถตั้งค่าให้ได้Ω 1 ชั่วโมง- → h $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

อย่างไรก็ตามวิธีนี้ได้กู้คืนคำจำกัดความที่ไม่เสถียรดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการต่อไปอย่างไร ฉันตีความคำแนะนำของคุณไม่ถูกต้อง (@Jan) หรือไม่ สิ่งที่แปลกคือดูเหมือนว่าจะทำงานดูด้านล่าง

ดูด้านล่างใช้งานได้

ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของการแยกย่อยของ FVM สำหรับปัญหารูปไข่กับ Dirichlet BC ข้อสมมติฐานหลักคือเซลล์ภายในที่คุณระบุ PDE ไม่มีจุดตัดกับขอบเขตนั่นคือ ถ้าถูกมองว่าเป็นเซตในถ้าโดเมนของคุณ , cf. เช่นหนังสือโดย [ Grossmann & Roos , p. 92]R n - 1โอห์ม⊂ R

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

ดังนั้นหากในการตั้งค่าของคุณวิธีการ ไม่เสถียรซึ่งไม่ขัดแย้งกับผลลัพธ์ความเสถียรที่ทราบ แก้ไข : การใช้เซลล์ผีและการแทรกสอดแบบเชิงเส้นเข้าไปเพื่อให้ได้ปริมาตรและระยะทางที่เลือกโดยเฉพาะหนึ่งอันจะได้รับเป็นฟลักซ์ ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบที่มั่นคง( ∗ ∗ ) ( ∗ ∗

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

เสถียรภาพและการบรรจบกัน (ลำดับแรกใน max-norm แบบแยก) สำหรับปัญหาปัวซองได้รับการพิสูจน์โดย Grossmann & Roos สำหรับกริดด้วยเซลล์ขอบเขตที่แตกต่างกับ "ศูนย์" ของพวกเขาในขอบเขตจริงตามที่แสดงในภาพวาดของฉันสำหรับกรณี 1D

ในที่นี้ค่าความฉลาดทางดิฟเฟอเรนเชียลของอินเทอร์เฟซนั้นใกล้เคียงกัน

ฉันจะบอกว่าเซลล์ผีเป็นวิธีการทั่วไปเพราะสองเหตุผล

• พวกเขาเลียนแบบสถานการณ์ที่มีเสถียรภาพซึ่งอธิบายไว้ในรูปวาดของฉัน แต่มีเงื่อนไขขอบเขตที่ถูกแก้ไข
• พวกเขาจะแนบไปกับขอบเขตทางกายภาพ ดังนั้นเราสามารถใช้สมการของโดเมนซึ่งเป็นประโยชน์เช่นกันเนื่องจากมักจะมี BC ตามธรรมชาติที่กำหนดโดยตรงบนอินเทอร์เฟซ [ Grossmann & Roos , p. 101]

ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณใช้เซลล์ผีสำหรับขอบเขต Dirichlet ในตัวอย่างของคุณสิ่งนี้จะเป็นการเพิ่มให้กับระบบของคุณและเงื่อนไขที่ interpolant ระหว่าง ,และบางทีคนอื่นอาจเท่ากับที่ขอบเขตϕ 0 ϕ 1 g $\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

สิ่งที่คุณกำลังหาที่นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมปริมาณ จำกัด จึงไม่ถูกใช้บ่อยสำหรับสมการรูปไข่ซึ่งเงื่อนไขหนึ่งของ Dirichlet พวกเขาจะใช้สำหรับกฎหมายการอนุรักษ์ที่ระบุเงื่อนไขที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นในแง่ของฟลักซ์

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

แน่นอนสิ่งหนึ่งที่ต้องตรวจสอบก็คือความเสถียรของการแยกย่อยของคุณด้วยการประมาณลำดับที่สองที่ขอบเขต จากด้านบนของหัวของฉันฉันไม่รู้ว่ามันจะมีเสถียรภาพหรือไม่รวมกับการประมาณลำดับที่สองที่เป็นศูนย์กลางในการตกแต่งภายใน การวิเคราะห์เสถียรภาพของเมทริกซ์จะบอกคุณอย่างแน่นอน (ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าการประมาณคำสั่งแรกที่ขอบเขตจะมีเสถียรภาพ)

คุณพูดถึงความเป็นไปได้ของการใช้คะแนนผี สิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาที่คุณต้องคาดการณ์จากการตกแต่งภายในสู่จุดผีและใช้ bc ในกระบวนการ ฉันสงสัย แต่ยังไม่ได้ "พิสูจน์" ว่าอย่างน้อยการรักษาจุดผีนั้นเทียบเท่ากับการใช้วิธีการที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น

หวังว่านี่จะช่วยได้เล็กน้อย