ข้อผิดพลาดที่แปลกประหลาดเมื่อแก้ไขสมการปัวซองบนตาข่ายที่ไม่สม่ำเสมอ (1D เท่านั้น) วิธีปริมาตร จำกัด

ฉันพยายามแก้ไขข้อผิดพลาดนี้เมื่อไม่กี่วันที่ผ่านมาฉันสงสัยว่าใครมีคำแนะนำในการดำเนินการต่อ

ฉันกำลังแก้สมการปัวซองสำหรับการกระจายประจุแบบขั้นตอน (ปัญหาทั่วไปใน electrostatics / เซมิคอนดักเตอร์ฟิสิกส์) บนตาข่ายปริมาณ จำกัด แบบไม่สม่ำเสมอที่ไม่ทราบค่าจะถูกกำหนดบนศูนย์เซลล์และฟลักซ์บนใบหน้าเซลล์

โปรไฟล์การเรียกเก็บเงิน (คำที่มา) ได้รับจาก

และเงื่อนไขขอบเขตคือ

และโดเมนคือ $[-10,10]$.

ฉันใช้รหัสที่พัฒนาขึ้นเพื่อแก้สมการการแพร่ - ปฏิกิริยาการแพร่ (ฉันได้เขียนตัวเองดูบันทึกของฉันที่นี่http://danieljfarrell.github.io/FVM ) สมการปฏิกิริยาการแพร่ - การแพร่กระจายเป็นกรณีทั่วไปของสมการปัวซอง อันที่จริงสมการของปัวซองนั้นสามารถกู้คืนได้โดยการตั้งค่าความเร็วการไหลเวียนให้เป็นศูนย์และลบเทอมชั่วคราว

รหัสได้รับการทดสอบกับหลาย ๆ สถานการณ์สำหรับกริดสม่ำเสมอสม่ำเสมอและสุ่มและสร้างวิธีแก้ปัญหาที่สมเหตุสมผลเสมอ ( http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html ) สำหรับสมการการแพร่ - ปฏิกิริยาการแพร่กระจาย

เมื่อต้องการแสดงตำแหน่งที่รหัสหยุดฉันได้ทำตัวอย่างต่อไปนี้ การตั้งค่าฉันเครื่องแบบตาข่าย 20 เซลล์แล้วทำให้มันไม่สม่ำเสมอโดยการเอาเซลล์เดียว ในรูปซ้ายฉันได้ลบเซลล์$\Omega_8$ และในด้านขวา $\Omega_9$ถูกลบแล้ว เซลล์ที่ 9 ครอบคลุมภูมิภาคที่มีการเปลี่ยนแปลงคำที่มา (เช่นค่าธรรมเนียม) ข้อผิดพลาดจะปรากฏขึ้นเมื่อกริดเป็น nonuniform ในภูมิภาคท ตามที่คุณเห็นด้านล่าง

ความคิดเห็นใดที่อาจเป็นสาเหตุของปัญหานี้ แจ้งให้เราทราบหากข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกออกจะเป็นประโยชน์ (ฉันไม่ต้องการบรรจุรายละเอียดมากเกินไปในคำถามนี้)

เช่นเดียวกับเอกสาร GitHub ของคุณที่ยอดเยี่ยม

นี่เป็นเพียงการเดาจากวิธีการของ DG ซึ่งอาจมีปัญหาที่คล้ายกันหากไม่ได้เลือกฟลักซ์เชิงตัวเลขอย่างระมัดระวัง (ฉันคิดว่าวิธี FV เป็นส่วนย่อยของวิธีการแบบ DG) หากคุณกำลังใช้การแก้ไขจากศูนย์เซลล์เพื่อกำหนดฟลักซ์ของคุณนี่ควรเทียบเท่ากับการใช้ค่าเฉลี่ยเป็นฟลักซ์ตัวเลขใน DG และใช้ค่าคงที่แบบทีละชิ้น สำหรับวิธีการมาตรฐาน DG สำหรับปัวซองสิ่งนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันเชิงตัวเลข - คุณสามารถรับพื้นที่ว่างที่ไม่สำคัญสำหรับผู้ประกอบการที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งฉันคิดว่าเป็นสาเหตุของปัญหาของคุณในตัวอย่างที่ 2 ดูกระดาษ DG นี้สำหรับทฤษฎีของพวกเขาจากด้าน DG

ฉันจะพยายามจำลองตัวอย่างสำหรับ FV ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

แก้ไข: ดังนั้นนี่เป็นตัวอย่างเล็ก ๆ ของสิ่งที่เกิดขึ้น พิจารณาเซลล์ที่ 1-9 และ 11-20$\rho(x) = 0$. จากด้านขวา (11-20) เรามี$f(x_{20}) = 0$ เนื่องจากสภาพนอยมันน์ซึ่งบอกเราจากการอนุรักษ์เซลล์นั้น $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$. เนื่องจากฟลักซ์เป็นค่าเฉลี่ยของเซลล์จึงบอกเราว่า$\phi(x)$ มีค่าคงที่ตลอดเซลล์เหล่านี้

จากด้านซ้าย (1-9) เรามี $f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$. ถ้า$f(-10) = 0$ และเราใช้เซลล์ผีแล้ว $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$. การอนุรักษ์ในอีกไม่กี่เซลล์ต่อไปจะช่วยให้$f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$(เช่นความชันคงที่) อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่านี่อาจเป็นความชันใด ๆ เพียงคงที่

ปัญหาเกิดขึ้นในเซลล์ตรงกลาง เช่นเดียวกับ Jan ที่กล่าวถึงคุณขีดเส้นใต้บังคับในตาข่ายที่สอง สิ่งนี้จะทำให้สมการสมดุล ณ จุดนั้นทำให้คุณมีข้อผิดพลาด$f(10)$ซึ่งแพร่กระจายไปข้างหลังและทำให้ความลาดเอียงทั้งสองด้านในครึ่งซ้ายของโดเมนรวมถึงค่าของ $\phi(9.5)$.

ความไวต่อข้อผิดพลาดในการบังคับใช้นี้เป็นสิ่งที่เป็นปัญหา - ซึ่งแตกต่างจากวิธี FEM หรือ FD ซึ่งบังคับใช้เงื่อนไข Dirchlet อย่างชัดเจนที่ $x=-10$, FV บังคับให้มันอ่อนลงโดยใช้โหนดผี โดยสัญชาตญาณการสร้างความอ่อนแอของโหนดผีก็เหมือนกับการตั้งเงื่อนไขของ Neumann ที่ขอบเขตซ้ายของคุณเช่นกัน หากคุณมีสองเงื่อนไขของนอยมันน์สำหรับปัญหาการแพร่กระจายปัญหาของคุณจะไม่ดีและมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (คุณสามารถเพิ่มค่าคงที่ให้กับปัญหานั้นและยังมีวิธีแก้ไข) คุณไม่ค่อยได้รับสิ่งนั้นในระดับที่ไม่ต่อเนื่องที่นี่ แต่คุณจะได้รับพฤติกรรมที่ละเอียดอ่อนและขึ้นอยู่กับตาข่ายอย่างที่คุณเห็นในการทดลองของคุณ

สิ่งแรกที่ต้องสังเกตคือเงื่อนไขขอบเขตของคุณ เนื่องจากคุณสามารถเปลี่ยนความชันและค่าได้คุณจึงไม่มีเงื่อนไขของดีริชเลต์และนูแมนแมน

จากนั้นเส้นตรงทุกเส้นจะเป็นคำตอบที่ด้านขวามือเป็นศูนย์ คุณได้ส่วนนั้น

ฟลักซ์ของคุณอาจขึ้นอยู่กับ $h$. คุณใช้ถูกต้องหรือไม่$h$ คุณกำจัดเซลล์ที่ไหน?