กลศาสตร์ที่เป็นของแข็งที่มีความแตกต่างแน่นอน: วิธีการจัดการ "โหนดมุม"?

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขตการเข้ารหัสสำหรับกลไกที่เป็นของแข็ง (ความยืดหยุ่นเชิงเส้น) ในกรณีพิเศษฉันต้องใช้ความแตกต่างอัน จำกัด (3D) ฉันใหม่มากในหัวข้อนี้ดังนั้นบางทีคำถามต่อไปนี้อาจเป็นพื้นฐาน

เพื่อนำไปสู่ปัญหาเฉพาะของฉันก่อนอื่นฉันต้องการแสดงสิ่งที่ฉันดำเนินการแล้ว (เพื่อให้ชัดเจนฉันจะใช้ 2D เท่านั้น)

1. ) ผมมีความต่อเนื่องต่อไปนี้$div(\sigma) = 0$แสดงองค์ประกอบแรกของความแตกต่าง$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

ฉันใช้กริดที่ไม่มีการส่ายดังนั้น Ux และ Uy จึงถูกกำหนดไว้ในที่เดียวกัน

2. ) ขั้นตอนต่อไปคือการรักษาขอบเขตที่ฉันใช้ "โหนดผี" ตามที่$\sigma \bullet n = t^*$โดยที่$t^*$คือความเครียดในขอบเขต

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3. ) ผมคิดว่าจนถึงขณะนี้ทุกขั้นตอนของฉันดูเหมือนจะเป็นตรรกะถ้าไม่โปรดให้ฉันที่ถูกต้อง แต่ตอนนี้มี "มุมโหนด" ที่ฉันไม่มีเงื่อนงำวิธีจัดการพวกเขา

$div(\sigma) = 0$

ดังนั้นคำถามของฉันคือวิธีที่ถูกต้องในการจัดการ "โหนดมุม" เหล่านี้คืออะไร? ฉันมีความสุขสำหรับทุกความคิด

ฉันมีปัญหาที่คล้ายกันกับเงื่อนไขขอบเขตของมุมโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาแผ่นโครงสร้างที่มีความดันตามขวางที่นำมาใช้อย่างสม่ำเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากพยายามโหลดแรงเฉือนที่ขอบ (รวมถึงมุม) แรงเฉือนเป็นฟังก์ชันของ∂ ^ 3 w / w ^ 2 x∂y การใช้ชุดรูปแบบความแตกต่างส่วนกลางทำให้หนึ่งต้องการโหนด "โกสต์" ที่เป็นแนวทแยงกับโหนดมุมเพื่อกำหนดอนุพันธ์นี้ ฉันไม่เชื่อว่าการหาค่าเฉลี่ยตามโหนดที่อยู่ติดกันนั้นเหมาะสม สิ่งที่ฉันทำคือการใช้ช่วงเวลาบิด Mxy ที่ฉันคำนวณที่โหนดมุมและบรรจุให้กับ "โมเลกุล" ที่แตกต่างกันแน่นอนสำหรับช่วงเวลาบิดเป็นหน้าที่ของการกระจัด เนื่องจากฉันรู้แล้วว่าการกำจัดของโหนดอื่น ๆ ที่อยู่ติดกันทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขขอบเขตตามขอบของแผ่น) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาสำหรับโหนดมุม "หากิน" นี้ ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้

คุณอาจพยายามแก้ปัญหาระบบสมการที่ไม่มีคำตอบเฉพาะ ลองนึกภาพว่าคุณมีหลายโหนดเชื่อมต่อกันด้วยน้ำพุลอยอยู่ในอวกาศและคุณต้องการค้นหาตำแหน่งสมดุลของแต่ละโหนด หากระบบไม่ได้ยึดกับสิ่งที่คงที่ (หรือไม่มีการบังคับใช้) แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้มากมาย โซลูชันใดโซลูชันหนึ่งสามารถแปลหรือหมุนได้เสมอและยังคงเป็นโซลูชัน คุณลองแก้ไขการกระจัดที่โหนดมุมหนึ่งเพื่อกำจัดการแปลและแก้ไขการกระจัดหนึ่งที่มุมอื่นเพื่อกำจัดการหมุนหรือไม่

ฉันเคยลองใช้วิธีนี้ในการแก้ไขบางโหนดและปรับกำลังปกติที่คนอื่น ๆ แต่ดูเหมือนว่ามันจะเน้นไปที่แรงจำนวนมากที่โหนดขอบเขตแต่ละจุดทำให้เกิดความไม่มั่นคง สิ่งที่ทำให้การทำงานสิ้นสุดลงก็คือไม่พยายามยึดเหนี่ยวโหนดเพียงไม่กี่จุด แต่เพื่อยึดเหนี่ยวโหนดทั้งหมดที่สัมพันธ์กับสายพันธุ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน โดยพื้นฐานแล้วคุณจะทำให้ระบบทั้งหมดเป็นเนื้อเดียวกัน แต่จากนั้นรวมส่วนประกอบที่เป็นเนื้อเดียวกันในคำจำกัดความของความเค้นในแต่ละโหนดดังนั้นมันจึงไม่ได้มีส่วนช่วยให้เกิดพลังงานที่ยืดหยุ่นเพิ่มเติม คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความนี้และอ้างอ้างอิง: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u

ปัญหาความไม่แน่นอนนี้อาจเป็นเหตุผลที่ดีในการเลือกองค์ประกอบที่ จำกัด สำหรับปัญหาด้านกลไกเมื่อเป็นไปได้