การคำนวณซีรีย์ oscillatory เล็กน้อยเพื่อความแม่นยำสูง?

สมมติว่าฉันมีฟังก์ชั่นที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: มันมีคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์บางอย่างเช่นอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องไม่เป็นที่หลายเหตุผลของπฉันสงสัยว่าไม่มีรูปแบบปิดอยู่

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

ฉันสามารถคำนวณได้โดยการคำนวณผลรวมบางส่วนและใช้การคาดการณ์ของ Richardson แต่ปัญหาคือมันช้าเกินไปที่จะคำนวณฟังก์ชันให้เป็นจำนวนทศนิยมที่ดี (เช่น 100 น่าจะดี)

มีวิธีที่สามารถจัดการกับฟังก์ชั่นนี้ได้ดีขึ้นหรือไม่?

นี่คือพล็อตของมีบางสิ่งประดิษฐ์: $f'(\pi x)$

$อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— คิริลล์
แหล่งที่มา

บางทีคุณอาจใช้ความจริงที่ว่า

โดยที่

เป็นพหุนาม Chebyshev จากนั้นผลรวมจะเริ่มดูเหมือนชุดชื่อพหุนามที่มีเหตุผล จากนั้นถ้าคุณสามารถเปลี่ยนซีรีส์ให้เป็นพหุนามที่มีเหตุผลในพื้นฐานของเชบีสเชฟมันจะช่วยให้วิธีที่มีประสิทธิภาพมากในการสรุปมัน หากคุณไม่คุ้นเคยกับชื่อพหุนามและพื้นฐานของ Chebyshev สูตรอาหารเชิงตัวเลขใน C มีไพรเมอร์ที่ดีเช่นนี้: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

เอ่อควรจะบอกว่า

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@ JayLemmon ขอบคุณสำหรับลิงก์ ฉันจะดูและดูว่ามันช่วยได้ไหม

— คิริลล์

ฉันเข้าร่วมปาร์ตี้นี้ช้าไปหน่อย แต่คุณลองใช้Padé approximants หรือไม่นั่นคือ

-Algorithm แทนที่จะเป็น Richardson extrapolation

ε

$\varepsilon$

— เปโดร

โดยการเปรียบเทียบกับกรณีของอินทิกรัลที่มีความผันผวนสูงฉันไม่คิดว่าคุณจะสามารถทำงานได้ดีโดยปราศจากความรู้เรื่องการแยกระหว่างออสซิลเลเตอร์และชิ้นส่วนที่ไม่มีการแกว่ง หากคุณมีการแยกคำตอบแบบอนุกรมฟูริเยร์จะให้การลู่เข้าแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ง่าย

— Geoffrey Irving

คำตอบ:

หากไม่อนุญาตให้ใช้เทคนิคการวิเคราะห์ แต่รู้จักโครงสร้างของธาตุเป็นระยะนี่เป็นวิธีการหนึ่ง ให้

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ ค่าและอนุพันธ์สำหรับซีรีย์

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ. ปัญหาคือฉันเลือกฟังก์ชั่นนี้เป็นแบบจำลองสำหรับฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนกว่าที่ฉันต้องการประเมินโดยมีคุณสมบัติที่คล้ายกัน แต่ไม่เหมือนกัน ฉันตระหนักถึงรูปแบบปิดจากคำถามนี้ใน MSE ฉันหมายถึงสิ่งนี้เป็นคำถามเกี่ยวกับการรวมลำดับอนันต์ตัวเลขโดยไม่มีรูปแบบปิด

— คิริลล์

บางทีคำตอบอื่น ๆ ของฉันดีกว่าแล้ว?

— Geoffrey Irving

แล้วเลวินจะเปลี่ยนรูปอย่างไร? นอกเหนือไปจากรหัส Fortan มีหลายรุ่นในGSL : `gsl_sum_levin_u *' MuPADและMapleของ Matlab ใช้รูปแบบนี้

— horchler
แหล่งที่มา

ฉันลองแล้ว แต่ฉันพบว่าการคาดการณ์ของริชาร์ดสันนั้นแม่นยำกว่า

— คิริลล์