วิธีเปลี่ยนสัญญาณเป็นวงกลมด้วยเศษส่วนของตัวอย่าง?

ทฤษฎีบทกะกล่าวว่า :

การคูณโดยเฟสเชิงเส้นสำหรับจำนวนเต็มmบางตัวที่สอดคล้องกับการเลื่อนแบบวงกลมของเอาต์พุต :จะถูกแทนที่ด้วยที่การห้อยถูกตีความ โมดูโลN (เช่นเป็นระยะ ๆ )e 2 π $x_n$ xkXkXk k-$e^{\frac{2\pi i}{N}n m}$$X_k$$X_k$$X_{k-m}$

ตกลงนั่นใช้ได้ดี:

plot a

N = 9
k = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
plot ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3*k/N))

มันเลื่อนไป 3 ตัวอย่างอย่างที่ฉันคาดไว้

ฉันคิดว่าคุณสามารถทำเช่นนี้เพื่อเลื่อนตัวอย่างเศษส่วนแต่เมื่อฉันลองมันสัญญาณของฉันจะกลายเป็นจินตภาพและไม่เหมือนเดิมเลย:

plot real(ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3.5*k/N)))
plot imag(ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3.5*k/N))), 'b--'

ฉันไม่ได้คาดหวังสิ่งนี้เลย นี่ไม่ใช่สิ่งที่เทียบเท่ากับการโน้มน้าวใจด้วยแรงกระตุ้นที่แท้จริงซึ่งถูกยกตัวอย่าง 3.5 หรือไม่? ดังนั้นแรงกระตุ้นยังคงเป็นจริงและผลที่ได้ควรเป็นจริง? และควรมีรูปร่างเหมือนกันมากกว่าหรือน้อยกว่าเดิม

ถ้าคุณต้องการให้เอาท์พุทที่ถูกเลื่อนของ IFFT ให้เป็นจริงการบิดเฟส / การหมุนในโดเมนความถี่จะต้องมีความสมมาตรร่วมกันเช่นเดียวกับข้อมูล ซึ่งสามารถทำได้โดยการเพิ่มออฟเซ็ตที่เหมาะสมให้กับ exponent เชิงซ้อนของคุณ () สำหรับความชันเฟสที่กำหนดเพื่อให้เฟสของครึ่งบน (หรือลบ), โมดูโล 2 Pi สะท้อนครึ่งล่างของรูรับแสง FFT . ฟังก์ชันการเลื่อนแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลแบบซับซ้อนสามารถทำให้สมมาตรสังยุคด้วยการทำดัชนีจาก -N / 2 ถึง N / 2 โดยมีเฟสศูนย์ที่ดัชนี 0

มันเกิดขึ้นที่การชดเชยที่เหมาะสมสำหรับการบิดเฟสหรือเกลียวซึ่งทำให้จำนวนเต็มทวีคูณที่แน่นอนของการหมุน 2 Pi ในรูรับแสงเพื่อให้สมมาตรในรูรับแสงเป็นศูนย์

ด้วยเวกเตอร์บิดเฟสสมมาตรคอนจูเกตผลลัพธ์ก็ควรจะจบลงด้วยการแก้ไขแบบวงกลมของ Sinc สำหรับการเลื่อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ทำอย่างประณีตโดย OP:

ตัวเลือก k = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] กำลังสร้างเลขชี้กำลังเชิงซ้อนแบบอสมมาตร:

หากคุณใช้ k = [0, 1, 2, 3, 4, -4, -3, -2, -1] แทนคุณจะได้เลขชี้กำลังเชิงซ้อนของเฮอร์ไมต์ - สมมาตร:

plot(fftshift(exp(-1j * 2*pi * 0.5/N * k)))

และเมื่อคุณใช้สูตรเลขชี้กำลังเดียวกันเพื่อเลื่อนตัวอย่าง 0.5 หรือ 3.5 คุณจะได้รับผลลัพธ์จริง:

plot ifft(fft(a)*exp(-1j * 2 * pi * 0.5/N *k))
plot ifft(fft(a)*exp(-1j * 2 * pi * 3.5/N *k))