มีวิธีรับการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของระบบที่ไม่ต่อเนื่องโดยเพียงแค่รู้ว่ามันตอบสนองต่อฟังก์ชันขั้นตอนของหน่วยแยก

10

ในเวลาต่อเนื่องมันเป็นไปได้;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

เช่นเดียวกันกับระบบเวลาที่ไม่ต่อเนื่องเช่น

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

มีวิธีที่จะได้รับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบที่ไม่ต่อเนื่องโดยเพียงแค่รู้การตอบสนองของขั้นตอนของหน่วยที่ไม่ต่อเนื่องหรือไม่?

discrete-signals linear-systems

— pyler
แหล่งที่มา

1

คำถามยอดเยี่ยม! ยินดีต้อนรับสู่ DSP.SE ติดอยู่และมีส่วนร่วม!

— Phonon

7

คำตอบแบบง่าย ๆ ของ Phonon มีดังต่อไปนี้

สมมติว่าหมายถึงการตอบสนองของระบบไปยังฟังก์ชันขั้นตอนของหน่วย จากนั้นตามที่กล่าวไว้ในคำตอบนี้ , ทั่วไป,คือผลรวมของการปรับขนาดและสำเนาของกระตุ้นการตอบสนองเวลาล่าช้าและในกรณีนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่จำเป็นต้องมีการปรับ; เวลาล่าช้าเท่านั้น ดังนั้น โดยที่ละ คอลัมน์ทางด้านขวาคือการตอบสนองแบบอิมพัลส์แบบหน่วงเวลา ดังนั้นเราจะได้รับ $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ ด้วยการกล่าวถึงฟิลเตอร์, การรุกราน, การโน้มน้าว, การรวม, ผู้ประกอบการและสิ่งที่คล้ายกันเพียงแค่ผลที่ตามมาอย่างง่ายของการนิยามของระบบเชิงเส้นเวลาคงที่

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

คุณทำสิ่งนี้อย่างชัดเจนมานานกว่าที่ฉันมี =)

— Phonon

6

ใช่นี่เป็นความจริงเท่าเทียมกันในกรณีที่ระบบไม่ต่อเนื่อง การดำเนินการสร้างความแตกต่างในกรณีนี้จะถูกแทนที่ด้วยผลต่างการสั่งซื้อครั้งแรก มันไม่คิดว่ามันมีสัญลักษณ์สากล แต่ขอเรียกว่าcdot) การดำเนินการนี้จะเทียบเท่ากับการกรองสัญญาณของคุณกับ[n-1] ขอเรียกตัวกรองนี้[N] ฉันจะแสดงถึงการโน้มน้าวใจว่าสัญลักษณ์ $D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

ตอนนี้ลองใช้สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับการโน้มน้าวผู้ประกอบการนี้ เรารู้ว่าเราได้รับ กับผลรวมการทำงาน (บูรณาการต่อเนื่อง) บน[N] อันที่จริงแล้วระบบที่แสดงโดยเองนั้นกลับกลายเป็น นอกจากนี้ยังทราบว่าทั้งสองเป็นผู้ประกอบการแปรผกผันกันของแต่ละอื่น ๆ และที่เฉพาะ[N] $u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าการบิดคือการสับเปลี่ยนนั่นคือ

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

และเชื่อมโยงนั่นคือ

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

ดังนั้น

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

ดังนั้นคุณจะเห็นได้ว่าคุณสามารถกู้คืนจากโดยใช้ความแตกต่างของคำสั่งแรกเหมือนในกรณีต่อเนื่อง $x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— phonon
แหล่งที่มา

2

สมมติฐาน:

โดเมนเวลาต่อเนื่อง : ให้ - การตอบสนองแบบอิมพัลส์และ - การตอบสนองขั้นตอน $h(t)$ $s(t)$
โดเมนเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง : ให้ - การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของหน่วยและ - การตอบสนองตามขั้นตอนของหน่วย $h[n]$ $s[n]$

การพูดอย่างหยั่งรู้การบูรณาการในโดเมนเวลาต่อเนื่องเทียบเท่ากับการสรุปในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์ในโดเมนเวลาต่อเนื่องเทียบเท่ากับผลต่างที่แน่นอนในโดเมนไม่ต่อเนื่อง

ด้วยความเข้าใจที่เข้าใจง่ายนี้ให้พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างและ (ด้านซ้ายของสมการที่สองในโพสต์ของคุณ): $u$ $\delta$

โดเมนเวลาต่อเนื่อง: $u(t) = \int \delta(t)$
โดเมนเวลาไม่ต่อเนื่อง: $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

ในทำนองเดียวกันให้พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างและ (ด้านขวาของสมการที่สองในบทความของคุณ): $s$ $h$

โดเมนเวลาต่อเนื่อง: $s(t) = \int h(t)$
โดเมนเวลาไม่ต่อเนื่อง: $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

ทีนี้ถ้าคุณดูสมการสุดท้ายอย่างระมัดระวัง:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

ตอนนี้สามารถพบได้จากสมการนี้โดยใช้ผลต่างอันตะของกับรุ่นล่าช้าของตัวเองเช่นกับ : $h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
แหล่งที่มา