เลขยกกำลังที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันเฉพาะของระบบ LTI หรือไม่

12

มีตัวอย่างของ eigenfunction ของระบบ linear time invariant (LTI) ที่ไม่ใช่เลขชี้กำลังเชิงซ้อนหรือไม่? Eigenfunctions ของ LTI Systems ของ Justin Romberg กล่าวว่า eigenfuctions นั้นมีอยู่จริง แต่ฉันไม่สามารถหามันได้

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
แหล่งที่มา

9

ฟังก์ชัน eigen ทั้งหมดของระบบ LTI สามารถอธิบายได้ในรูปของ exponentials ที่ซับซ้อนและ exponentials ที่ซับซ้อนนั้นเป็นพื้นฐานที่สมบูรณ์ของพื้นที่สัญญาณ อย่างไรก็ตามถ้าคุณมีระบบที่แย่ลงหมายความว่าคุณมีไอเก็นสเปซของมิติ> 1 จากนั้นค่า eigenvector ของค่าลักษณะที่สอดคล้องกันคือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์จากพื้นที่ย่อย และการรวมกันเชิงเส้นของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ซับซ้อนของความถี่ที่แตกต่างกันนั้นไม่ใช่เลขยกกำลังเชิงซ้อนอีกต่อไป

ตัวอย่างที่ง่ายมาก: ตัวดำเนินการเอกลักษณ์ 1 เป็นระบบ LTI มีพื้นที่สัญญาณทั้งหมดเป็น eigensubspace ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ 1 นั่นหมายถึงฟังก์ชั่นทั้งหมดเป็นฟังก์ชั่น eigen

— Jazzmaniac
แหล่งที่มา

1

ยกเว้นฟังก์ชั่น null แน่นอน :) เพียงล้อเล่น

— Laurent Duval

1

สำหรับระบบ LTI ใด ๆ ก็ได้เลขชี้กำลังเชิงซ้อนก็คือเลข Eigensignal ที่รู้จักเท่านั้นที่ดีที่สุดของความรู้ของฉัน ในอีกทางหนึ่งให้พิจารณา LPF ในอุดมคติ ที่ฟังก์ชัน: สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเป็นสัญญาณไอเกน สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงการมีอยู่ของระบบ LTI (เช่น LPF ในอุดมคติ) ที่มีสัญญาณอื่นนอกเหนือจากเอกซ์โพเนนเชียลที่ซับซ้อนเช่นสัญญาณไอเกน (ในกรณีนี้) $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— ความรับผิดชอบต่อสังคม
แหล่งที่มา

2

มันค่อนข้างตรงกันข้าม: กฎคือระบบ LTI มี eigensubspaces ที่เสื่อมโทรมและดังนั้น eigenvector ที่ไม่ได้อธิบายอย่างซับซ้อน พิจารณาระบบที่มีเอาต์พุตจริง จากนั้นซึ่งหมายความว่าถ้าเป็นจริงและคุณมี eigensubspace สองมิติอยู่แล้วและไซน์จริงเป็น eigenvector นั่นหมายถึงระบบ LTI ใด ๆ ที่มีการตอบสนองเฟสที่กลายเป็นหลายสำหรับมีคุณสมบัติ นั่นคือกฎแทนที่จะเป็นข้อยกเว้น

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

จริง ๆ แล้วการยกกำลังบริสุทธิ์ใด ๆคือ eigenfunction กับระบบ LTI หากคุณไม่สนใจที่จะจัดการกับปริมาณที่กำลังเข้ามาอย่างรวดเร็วแล้วก็ไม่มีข้อกำหนดทางทฤษฎีสำหรับเลขชี้กำลังจะซับซ้อนหรือจริง

\infty

$\infty$

— เบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน

1

ฉันรู้ว่าฉันแก้ไขคำตอบของคุณ (เพื่อให้ชัดเจนและถูกต้องมากขึ้นกับความหมาย) แต่คำตอบของคุณผิดพลาด คือไม่ eigenfunction ทั่วไปกับระบบ LTI ทั่วไป มันเป็น eigenfunction สำหรับเฉพาะ LTIs ที่มีแต่ไม่ได้สำหรับคนอื่น ๆ

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— เบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน

1

เห็นได้ชัดว่า"ถ้าคุณไม่สนใจเกี่ยวกับปริมาณที่กำลังจะมาถึงอย่างรวดเร็ว∞"ไม่เหมือนกับ"พื้นที่สัญญาณที่โดยปกติแล้วจะถือว่า ... พื้นที่ฮิลแบร์ตที่มีหัวต่อของฟังก์ชั่นแบบผสมผสานได้" ทั้งหมดที่ฉันพูดคือถ้าหากเป็นอินพุตของคุณดังนั้นคือเอาต์พุตของคุณ (โดยที่คือ Laplace การแปลงการตอบสนองแรงกระตุ้น LTI ) ดูเหมือน eigenfunction สำหรับฉัน แต่คุณถูกต้องเกี่ยวกับข้อกำหนดของ CSR

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— เบิร์ตบริสโตจอห์นสัน

1

@ Fat32 การเรียกใช้พื้นที่ฟังก์ชั่นที่ประพฤติดีนั้นไม่ได้เกี่ยวกับความมั่นคงและอยู่ไกลจากที่ไม่จำเป็นหรือโดยพลการ ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ส่วนใหญ่ในทฤษฎีการประมวลสัญญาณขึ้นอยู่กับพื้นที่สัญญาณที่มีพฤติกรรมดี มีประโยชน์อย่างยิ่งคือทฤษฎีบทสเปกตรัม ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ) และทฤษฎีบทนี้ต้องการพื้นที่ฟังก์ชันบางอย่างซึ่งเป็นตัวเลือกที่เป็นไปได้ หากคุณต้องการใช้กรอบทางคณิตศาสตร์นี้ (และเชื่อใจฉันคุณต้องการ) จากนั้นคุณไม่สามารถรับสัญญาณที่คุณเสนอให้เป็นสัญญาณหลัก

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

0

ฉันคิดว่าฉันได้ตอบคำถามของฉันอย่างชัดเจน --- ไม่ใช่ :-) คำถามเดิมคือ "มี eigensignals นอกเหนือจากเลขชี้กำลังเชิงซ้อนสำหรับระบบ LTI หรือไม่" คำตอบคือถ้ามีใครให้ความจริงที่ว่าระบบเป็น LTI แต่ไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักจากนั้น eignensignal ที่ได้รับการยืนยันเพียงอย่างเดียวคือเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ในบางกรณีระบบอาจมี eigensignals เพิ่มเติมเช่นกัน ตัวอย่างที่ฉันมอบให้คือ LPF ในอุดมคติโดยที่ sinc เป็นแบบ eigensignal โปรดทราบว่าฟังก์ชั่น sinc ไม่ใช่สัญญาณที่เป็นเอกสิทธิ์ของระบบ LTI โดยพลการ ฉันให้ LPF และ sinc เป็นตัวอย่างเพื่อชี้กรณีที่ไม่สำคัญ --- x (t) = y (t) จะตอบสนองนักคณิตศาสตร์ แต่ไม่ใช่วิศวกร: -> ฉันแน่ใจว่าสามารถเกิดขึ้นกับตัวอย่างที่ไม่สำคัญอื่น ๆ ที่มีสัญญาณอื่น ๆ เป็น eigensignals นอกเหนือจากเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

โดยทั่วไปแล้วความบาปและความบาปนั้นไม่ได้เป็นสัญญาณสำคัญ หากใช้ cos (wt) และเอาต์พุตคือ A cos (wt + theta) ดังนั้นเอาต์พุตนี้ไม่สามารถแสดงเป็นค่าคงที่คูณอินพุต (ยกเว้นเมื่อ theta คือ 0 หรือ pi หรือ A = 0) ซึ่งเป็นเงื่อนไข จำเป็นสำหรับสัญญาณที่จะ eigensignal อาจมีเงื่อนไขภายใต้ cos และ sin ที่เป็น eigensignals แต่เป็นกรณีพิเศษและไม่ใช่เรื่องทั่วไป

ความรับผิดชอบต่อสังคม

— ความรับผิดชอบต่อสังคม
แหล่งที่มา

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าคุณเข้าใจความคิดเห็นของฉันต่อคำตอบอื่น ๆ ของคุณ? ประเด็นก็คือสำหรับระบบ LTI จริงนั้นคาดว่าจะมีไซน์จริงเหมือน eigensignal นั่นไม่ได้หมายความว่าไซน์ของความถี่ทั้งหมดนั้นเป็นสัญญาณ eigensignals ฉันได้ให้เงื่อนไขที่แม่นยำสำหรับพวกเขาโดยเฉพาะและอธิบายว่าเหตุใดจึงเป็นไปตามเงื่อนไขโดยระบบ LTI ส่วนใหญ่

— Jazzmaniac

นอกจากนี้อย่าลืมว่าคุณได้แก้ไขคำตอบเพื่อเปลี่ยนความหมายสักเล็กน้อย ขั้นตอนจาก "สำหรับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่มีเหตุผลไม่มี eigensignals อื่น ๆ " ถึง "สำหรับระบบที่กำหนดเองไม่มีสัญญาณไอจีอีทั่วไปนอกจากนี้ .. " ค่อนข้างใหญ่ ดังนั้นการวางไว้เหมือนคนไม่เข้าใจคำตอบของคุณถูกต้องเป็นเรื่องเล็กน้อย

— Jazzmaniac

0

อาจเป็นวัตถุหลายมิติที่แปรปรวนเชิงพื้นที่เช่นเลนส์ที่มีสมมาตรแบบวงกลม มันเรียกว่าการขยายตัวของฟูริเยร์เบสเซิล ไม่มี T สำหรับเวลา แต่ความสัมพันธ์ของโดเมนความถี่ของสังวัตนาถือ