การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลา

13

ฉันเป็นนักเรียนมัธยมต้นที่มีความหลงใหลในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์การเขียนโปรแกรมและสิ่งที่ชอบ เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับการประมวลผลสัญญาณ

น่าเสียดายที่ฉันยังไม่ได้ทำแคลคูลัสมาก (ยกโทษให้ฉัน) ดังนั้นฉันจึงสับสนเล็กน้อยในเรื่องต่างๆ

หากคุณต้องคำนวณ DTFT ของสัญญาณอะไรคือความแตกต่างระหว่างการเป็นตัวแทนหรือของสัญญาณนั้น $\sin$ $\cos$
ด้วย DTFT ฉันเข้าใจว่าสัญญาณที่คุณป้อนเข้ามานั้นไม่ต่อเนื่อง แต่ในโลกนี้คุณสามารถรับสัญญาณต่อเนื่องในโดเมนความถี่ได้อย่างไร
สิ่งนี้นำไปสู่คำถามที่สองของฉันซึ่งคือ: DTFT มีประโยชน์อย่างไร แอปพลิเคชั่นส่วนใหญ่มีการใช้งานที่ไหนและทำไม?

ฉันอยากจะขอบคุณความช่วยเหลือใด ๆ.

fourier-transform

— ElectroNerd
แหล่งที่มา

สำหรับคำถามแรกของฉันฉันจะเดาว่ามันเป็นเพียง 90 °ออกจากระยะ อย่างไรก็ตามฉันได้สร้างกราฟบางตัวที่ระบุเป็นอย่างอื่น: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/ … i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/ ......

— ElectroNerd

คำถามที่ยอดเยี่ยม ฉันสร้างคำตอบให้กับปัญหาเหล่านั้นโดยเฉพาะเมื่อพวกเขาเกี่ยวข้องกับวิธีการนำ DSP มาสู่จิตใจของคนหนุ่มสาว (นี่เป็นเรื่องจริงในระดับมหาวิทยาลัย) ยิงอีเมลถึงฉันและฉันสามารถแสดงเนื้อหาบางส่วนให้คุณ (เกี่ยวข้องกับการโพสต์ที่นี่)

— Spacey

@ Mohammad: สวัสดีคุณสามารถแบ่งปันวัสดุเหล่านั้นกับฉันได้ที่ abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

7

เป็นเรื่องที่ดีมากที่คุณสนใจการประมวลผลสัญญาณในระยะเริ่มต้นของเส้นทางการศึกษาของคุณ

เส้นทางที่ดีที่สุดในการไปที่นั่นคืออ่านหนังสือแนะนำตัวในหัวข้อ มีแหล่งข้อมูลออนไลน์ที่ดีและฟรีมากมายให้คุณเริ่มต้นใช้งาน [หมายเหตุถึงบรรณาธิการที่ได้รับความนิยม: หนังสือแนะนำที่ดีอาจเป็นหัวข้อที่ดีสำหรับ "เหนียว"] บางครั้งฉันก็ใช้

หนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่คุณจะต้องใช้คือ "ตัวเลข" ที่ซับซ้อน เห็นได้ชัดว่าเป็นการเรียกชื่อผิดเนื่องจากมันไม่ซับซ้อนและชัดเจนทำให้คณิตศาสตร์วิศวกรรมเกือบทั้งหมดง่ายกว่ามาก แหล่งข้อมูลฟรีที่ยอดเยี่ยมสำหรับทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์คือhttp://www.khanacademy.orgและในกรณีนี้โดยเฉพาะ http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

กลับไปที่คำถามแรกของคุณ: จริง ๆ แล้วมีสี่รสชาติที่แตกต่างกันของการแปลงฟูริเยร์: ซีรีส์ฟูริเยร์ (น่าจะปรากฏในโรงเรียนมัธยม), การแปลงฟูริเยร์, การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง พวกเขาทั้งหมดใช้การรวมกันของทั้งไซน์และโคไซน์ (หรือเลขชี้กำลังเชิงซ้อนซึ่งก็คือสิ่งเดียวกัน) คุณจะต้องทั้ง

สมมติว่าคุณคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ไซน์และโคไซน์ฟูริเยร์ของคลื่นไซน์ที่ป้อนเข้า (ภายใต้เงื่อนไขบางประการ) คุณจะพบว่าค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ทั้งหมดจะเป็นศูนย์ยกเว้นหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์โคไซน์และหนึ่งค่า อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับขั้นตอนของคลื่นไซน์อินพุทที่คุณสองคนนี้จะเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ คุณอาจได้รับ [0.707 0.707] หรือ [1 0] หรือ [0 -1] หรือ [-0.866 0.5] เป็นต้นคุณจะเห็นว่าผลรวมของกำลังสองของตัวเลขสองตัวนั้นจะเป็น 1 เสมอ แต่ค่าจริง ค่าขึ้นอยู่กับเฟสของคลื่นไซน์อินพุท

หากคุณต้องการดำน้ำลึกลองสิ่งนี้: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
แหล่งที่มา

สวัสดี Hilmar ขอบคุณสำหรับการตอบกลับ! ฉันได้ทำตัวเลขค่อนข้างซับซ้อนและต้องยอมรับ: มันค่อนข้างง่าย ดีใจที่ได้ยินแบบนั้น. หลังจากพูดคุยกันอีกเล็กน้อยฉันคำนวณขนาดของสัญญาณบาปและสัญญาณเข้า cos ไปยัง DTFT และพบว่าแอมพลิจูดนั้นเหมือนกันสำหรับทั้งบาปและจักรวาล ขอบคุณอย่างยิ่งสำหรับหนังสืออ้างอิงฉันจะไม่ว่างในขณะนี้

— ElectroNerd

2

คุณอาจต้องการดูวัสดุที่มีให้ผ่าน

โครงการ INFINITY: ขยายการศึกษาด้านวิศวกรรมการประมวลผลสัญญาณไปยังห้องเรียนชั้นมัธยม

มีให้ที่นี่

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

มันดูน่าสนใจมาก ฉันอาจลองและแนะนำกับโรงเรียนของฉัน

— ElectroNerd

1

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง DTFT ใช้สัญญาณไม่สิ้นสุดแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจากอินพุตและเอาต์พุตในโดเมนความถี่นั้นต่อเนื่องและมีช่วงเวลา 2 * pi ในการใช้งานมันในประสบการณ์ของฉัน DFT (การแปลงฟูริเยร์แบบแยก) เป็นสิ่งที่ถูกนำมาใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ ภายใต้เงื่อนไขบางอย่างมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า DFT ของสัญญาณที่ไม่เป็นระยะ จำกัด นั้นไม่มีอะไรนอกจากตัวอย่างของ DTFT ที่มีระยะห่างเท่ากัน โดยทั่วไปถ้าเรา zero pad ลำดับโดเมนในเวลา (หรือช่องว่าง) เราจะได้รับตัวอย่างของ DTFT มากขึ้นเรื่อย ๆ

บรรทัดล่างคือ DFT มีประโยชน์มากและสามารถเห็น DFT เป็นตัวอย่างที่เว้นระยะเท่ากันของ DTFT เพื่อให้ได้ตัวอย่างมากขึ้นของ DTFT โดยทำแผ่นสัญญาณเป็นศูนย์

— pv
แหล่งที่มา

มันสมเหตุสมผลแล้ว: มีคนบอกฉันว่ายิ่งคุณเก็บตัวอย่างในโดเมนเวลานานเท่าไรความละเอียดที่ละเอียดยิ่งขึ้นก็จะอยู่ในโดเมนความถี่เมื่อคุณคำนวณ DTFT ฉันได้กราฟนี้โดยใช้ Python และ matplotlib ( Sine + zero padding , DTFT ของการเติม padding นั่นเป็นกลอุบายที่ต้องทำ

— ElectroNerd

ฉันต้องบอกว่าคุณต้องระวังที่นี่ ความเข้าใจผิดอย่างใหญ่หลวงคือการเพิ่มสัญญาณของคุณเป็นศูนย์จะเพิ่มความละเอียดความถี่ของคุณ วิธีเดียวที่จะเพิ่มความละเอียดความถี่ของคุณอย่างแท้จริงคือการมีข้อมูลมากขึ้น - ตัวอย่างโดเมนเวลามากขึ้น ขณะนี้มีการกล่าวว่าการเติมเต็มศูนย์จะช่วยถ้าคุณต้องการดูสเปกตรัมความถี่ของคุณด้วยจุดแทรกระหว่างสิ่งที่คุณคำนวณอย่างแท้จริง

— Spacey

1

ก่อนอื่นจะช่วยให้คำศัพท์ถูกแยกออก:

ฟังก์ชั่นในโดเมนเวลาเรียกได้ว่าเป็นสัญญาณ
ฟังก์ชั่นในโดเมนความถี่เป็นที่รู้จักกันเป็นคลื่นความถี่

ดังที่ฮิลมาร์กล่าวว่า "ฟูริเยร์" มีรสชาติที่แตกต่างกันสี่แบบซึ่งแปลงสัญญาณเป็นคลื่นความถี่ ซีรี่ส์ฟูริเยร์เป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่จะเริ่มต้นด้วยการเข้าใจโดเมนความถี่อย่างแท้จริง หลักฐานขั้นพื้นฐานคือ: สัญญาณเป็นระยะใด ๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของไซน์และโคไซน์ไม่สิ้นสุด ในสมการนี้ s (x) เป็นสัญญาณ :

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

ในสมการนี้_nและ b _nเป็นส่วนจริงและจินตภาพของสเปกตรัมไม่ต่อเนื่องตามลำดับ ดังนั้นอย่างที่คุณเห็นการแปลงฟูริเยร์ของโคไซน์จะเป็นจำนวนจริงและสำหรับไซน์ก็จะเป็นจำนวนจินตภาพ Tบนวิธีหนึ่งที่เรามีการบูรณาการในช่วงเวลาที่เต็มรูปแบบของสัญญาณ ส่วนใหญ่จะใช้ในสิ่งที่เรียกว่าการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกซึ่งส่วนใหญ่ฉันใช้ในการวิเคราะห์วงจรอะนาล็อกกับสัญญาณที่ไม่ใช่ไซน์ (คลื่นสี่เหลี่ยมคลื่นสามเหลี่ยม ฯลฯ ) แต่ถ้าสัญญาณไม่เป็นระยะ? สิ่งนี้ไม่ได้ผลและเราต้องหันไปใช้การแปลงฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์แปลงสัญญาณต่อเนื่องเป็นสเปกตรัมต่อเนื่อง ต่างจากซีรี่ส์ฟูริเยร์การแปลงฟูริเยร์ทำให้ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่ช่วงเวลาถูกแปลงเป็นสเปกตรัม ฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นงวดจะส่งผลให้เกิดสเปกตรัมต่อเนื่องเสมอ

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ แต่ทำงานกับสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง (ดิจิทัล) แทนที่จะเป็นสัญญาณต่อเนื่อง (อะนาล็อก) DTFT สามารถสร้างคลื่นความถี่ต่อเนื่องเพราะเมื่อก่อนสัญญาณที่ไม่เป็นระยะจะสร้างสเปกตรัมต่อเนื่องเสมอ - แม้ว่าสัญญาณเองจะไม่ต่อเนื่อง จำนวนอนันต์ของความถี่จะยังคงอยู่ในสัญญาณแม้ว่าจะไม่ต่อเนื่อง

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของคุณ DTFT นั้นมีประโยชน์มากที่สุดเพราะทำงานกับสัญญาณดิจิตอลและทำให้เราสามารถออกแบบตัวกรองดิจิทัลได้ ตัวกรองดิจิตอลอยู่ไกลมีประสิทธิภาพมากกว่าอะนาล็อก พวกมันถูกกว่ามากเชื่อถือได้มากกว่าและออกแบบได้ง่ายกว่ามาก DTFT ถูกใช้ในหลายแอปพลิเคชัน ปิดส่วนบนของหัวของฉัน: ซินธิไซเซอร์, การ์ดเสียง, อุปกรณ์บันทึก, โปรแกรมจดจำเสียงและคำพูด, อุปกรณ์ชีวการแพทย์และอื่น ๆ อีกมากมาย DTFT ในรูปแบบบริสุทธิ์นั้นส่วนใหญ่จะใช้สำหรับการวิเคราะห์ แต่ DFT ซึ่งรับสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องและให้สเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องถูกตั้งโปรแกรมไว้ในแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ข้างต้นและเป็นส่วนหนึ่งของการประมวลผลสัญญาณในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ การใช้ DFT ที่ใช้กันมากที่สุดคือการแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว มันเป็นขั้นตอนวิธี recursive ง่ายซึ่งสามารถพบได้ที่นี่ ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้! แสดงความคิดเห็นหากคุณมีคำถามใด ๆ

— Zetta Suro
แหล่งที่มา

0

ในฐานะที่เป็น pv กล่าวว่า DFT นั้นได้มาจากการสุ่มตัวอย่าง DTFT ใน "Frequency Domain" ดังที่คุณอาจทราบว่าได้รับสัญญาณไม่ต่อเนื่องโดยสุ่มตัวอย่างสัญญาณต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามในการสร้างสัญญาณเวลาต่อเนื่องได้อย่างสมบูรณ์แบบจากสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องแบบสุ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างต้องมากกว่าอัตรา Nyquist ในการทำให้สิ่งนี้เกิดขึ้นสัญญาณเวลาต่อเนื่องจะต้องถูก จำกัด ความถี่

สำหรับ DTFT และ DFT เรื่องราวนั้นตรงกันข้าม คุณมี DTFT ที่ต่อเนื่องในโดเมน "ความถี่" โดยทั่วไปคุณไม่สามารถจัดเก็บสัญญาณต่อเนื่องและประมวลผลในคอมพิวเตอร์ ทางออกคือการสุ่มตัวอย่าง! ดังนั้นคุณสุ่มตัวอย่างจาก DTFT และโทรหาผลลัพธ์ DFT อย่างไรก็ตามตามทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างเพื่อสร้าง DTFT ใหม่อย่างสมบูรณ์แบบจาก DFT คู่ของโดเมนเวลาของ DTFT ต้องเป็น "เวลา" ไม่ จำกัด จำนวน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้หน้าต่างก่อนที่จะทำการ DFT

— Sina
แหล่งที่มา