เมื่อไหร่เราจะเขียนหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กเป็นความเท่าเทียม

เรารู้ว่าไฮเซนเบิร์กไม่แน่นอนหลักการระบุว่า

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

แต่ (ในหลายกรณีสำหรับ Morlet wavelet) ฉันได้เห็นว่าพวกเขาเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมเป็นความเท่าเทียมกัน ตอนนี้คำถามของฉันคือเมื่อเราได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเพื่อความเสมอภาค:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Electricman
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าน่าสนใจมาก

— dato datuashvili

ที่ฉันรู้ว่ามันมีค่าเท่ากับถ้าเสียนกระจายเป็นรูปทรงที่เหมาะสมโปรดดูหนังสือเล่มนี้ภาพแปลงเวฟเล็ต Handbook: ทฤษฎีเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาศาสตร์วิศวกรรมการแพทย์และการเงิน

— Dato datuashvili

ลิงค์เสียเพื่อนคุณจะส่งอีเมลหนังสือหรือส่งลิงค์อื่นได้ไหม อีเมลของฉัน: <electricaltranslation@gmail.com> thank @datodatuashvili

— ช่างไฟฟ้า

คำตอบ:

มันเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องกำหนดความกว้างของเวลาและความถี่และของสัญญาณก่อนที่จะพูดถึงรูปแบบพิเศษของหลักการความไม่แน่นอน ไม่มีความหมายเฉพาะของปริมาณเหล่านี้ ด้วยคำจำกัดความที่เหมาะสมจะสามารถแสดงให้เห็นว่ามีเพียงสัญญาณ Gaussian ที่ตรงตามหลักการความไม่แน่นอนกับความเท่าเทียมกัน $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

พิจารณาสัญญาณด้วยการแปลงฟูริเยร์พอใจ $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

ไม่มีเงื่อนไขใด ๆ ที่จริง ๆ แล้วเป็นข้อ จำกัด พวกเขาทุกคนสามารถพึงพอใจ (สำหรับสัญญาณที่มีพลังงาน จำกัด ) โดยการปรับการแปลและการปรับที่เหมาะสม

หากเรากำหนดความกว้างของเวลาและความถี่ดังต่อไปนี้

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

จากนั้นหลักการความไม่แน่นอนระบุว่า

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(ถ้าหายไปเร็วกว่าสำหรับ ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

เมื่อความไม่เสมอภาคพอใจกับความเสมอภาคสำหรับสัญญาณเสียน

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

หมายเลขสมการข้างต้นสอดคล้องกับหลักฐานด้านล่างซึ่งมาจากการเข้ารหัสเวฟเล็ตและซับแบนด์โดย Vetterli และ Kovacevic (p.80):

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคณิตศาสตร์ฉันจะพยายามเข้าใจ @ matt-l

— ช่างไฟฟ้า

@ มัด L: ทำไมคุณถึงกำหนดเวลาและความกว้างของความถี่ด้วยอุปกรณ์ลดน้ำหนักกำลังสอง? ฉันเห็นในโรงเรียนว่า andt และ ∆w ความแปรปรวนเป็น ความแตกต่างของการกระจายอยู่กับน้ำหนักบรรทุกเชิงเส้น? นี่คืออะไร? นั่นหมายความว่าหลักการความไม่แน่นอนนี้ไม่ได้พูดถึงความแปรปรวนของฟังก์ชันและความแปรปรวนของสเปกตรัม แต่อย่างอื่น

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux: นี่เป็นเพียงวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการกำหนดความกว้างของสัญญาณ เมื่อนำไปใช้ฟังก์ชั่นเวลาก็มักจะเรียกว่าระยะเวลา RMSและมันก็เป็นช่วงเวลาที่สองของ 2

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Matt L.

มันเป็นไปได้ที่จะระบุหลักการทางคณิตศาสตร์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาที่สองของ ? ฉันสามารถเข้าใจได้ว่าไฮเซนเบิร์กใช้เพราะนั่นคือความน่าจะเป็นของฟังก์ชั่นคลื่นวิทยุ แต่ฉันต้องการทราบหลักการของไฮเซนเบิร์กในบริบทของการประมวลผลสัญญาณ

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux: นี่คือหลักการความไม่แน่นอนในบริบทของการประมวลผลสัญญาณ วินาทีที่สองของไม่มีการตีความตามระยะเวลาเนื่องจากสามารถบวกและลบได้ ลองนึกภาพสัญญาณแปลก ๆ(t) ช่วงเวลาที่สองของมันอยู่เสมอศูนย์ (ถ้าอินทิกรัลรวม)

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Matt L.

ฉันไม่สามารถให้ทฤษฏีทั้งหมดที่อยู่เบื้องหลังเรื่องนี้ (ตามที่เติมหนังสือ) แต่ปรากฎว่าไฮเซนเบิร์กกลายเป็นความเท่าเทียมที่แน่นอนสำหรับสัญญาณครอบครัวนี้:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

โดยที่พารามิเตอร์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริง ครอบครัวนี้ถูกสร้างขึ้นโดยสมการกำลังสองในเวลา - ความถี่จากอะตอม Gabor เดียว symplectomorphisms เหล่านี้รักษาความสัมพันธ์ที่ไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

แก้ไข: ให้ฉันทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นและในความเป็นจริงถูกต้องมากขึ้น สัญญาณที่ฉันให้ไว้ข้างต้นลดพื้นที่ความถี่เวลา แต่ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์ความไม่แน่นอนความถี่เวลา ถ้าคุณต้องการที่น้อยที่สุดแล้วจากต้องหายไปดังกล่าวข้างต้น $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

อย่างไรก็ตามความคิดของพื้นที่ความถี่เวลาสามารถวางนัยเพื่อวัดพื้นที่ของรูปร่างที่ไม่สอดคล้องกับแกนเวลาและความถี่ นั่นหมายถึงแทนที่จะเป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่แน่นอนระหว่าง F และ T เราวัดผลิตภัณฑ์ความไม่แน่นอนน้อยที่สุดของตัวแปรคอนจูเกตสองตัวที่ทอดโดย F และ T ฉันจะสำรองรายละเอียดไว้ให้คุณ แต่สำหรับคำจำกัดความของพื้นที่ความถี่เวลานี้ คุณน้อยที่สุด

— Jazzmaniac
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่ Gabuor fijlter fuonctiuons ใช่หรือไม่ `

— Jean-Yves

เหตุผลหนึ่งที่ทำให้ "เติมหนังสือ" คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเท่าเทียมกันนั้นมีการกำหนดและ จำกัด อย่างแม่นยำ (มักจะมีประโยชน์ในบริบทอื่น ๆ เช่นโลกแห่งความเป็นจริง)

— hotpaw2

บริบทดั้งเดิมของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กคือฟิสิกส์โดยเฉพาะกลศาสตร์ควอนตัมโดยที่ตัวแปรผันในคำถามเป็นตำแหน่งและโมเมนตัม ไม่ได้ จำกัด อยู่ที่การวิเคราะห์เวลา / ความถี่

— 2718

@BZ คุณกำลังเทศนาถึงคณะนักร้องประสานเสียงที่นี่ ฉันเป็นนักฟิสิกส์ควอนตัมเชิงคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นความคิดเห็นของคุณที่นี่หรือคำตอบของคุณเอง

— Jazzmaniac

หลักการความไม่แน่นอนตั้งค่าขอบเขตทางทฤษฎีสำหรับการแก้ปัญหาดังนั้นจึงไม่เคยเขียนเป็นความเท่าเทียมกัน

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันที่คุณพบนั้นใช้สำหรับบริบทการวิเคราะห์และการดำเนินการวิเคราะห์ที่เฉพาะเจาะจง ในกรณีนี้บริบทคือการวิเคราะห์สัญญาณดังนั้นเวลา / ความถี่เป็นตัวแปรผันที่น่าสนใจและการนำไปใช้เป็นเวฟเล็ตเฉพาะที่ใช้งานอยู่

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนั้นเป็นวิธีการเปรียบเทียบความละเอียดของการใช้งานการวิเคราะห์ที่ต่างกัน ต้องใช้ความระมัดระวังเมื่อตีความความสัมพันธ์เหล่านี้เพราะคำจำกัดความของการแก้ปัญหาไม่ควร แต่อาจแตกต่างกันไป

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนั้นเหมาะสมเมื่อคุณกำหนดสองสิ่ง: 1) ความหมายทางคณิตศาสตร์ของการแก้ไข 2) วิธีการวิเคราะห์ (ในกรณีนี้การเลือกเวฟเล็ต)

— user2718
แหล่งที่มา

หากคุณขุดลึกลงไปกว่านี้หลักการของไฮเซนเบิร์กจะกลายเป็นมากกว่าแถลงการณ์เกี่ยวกับการแก้ปัญหา มันเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับเรขาคณิตความถี่เวลาในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเรขาคณิตแบบไม่เปลี่ยนสมมาตร มันให้การวัดทางทฤษฎีข้อมูลสำหรับข้อมูลความถี่เวลาและกลายเป็นปริมาณเชิงบูรณาการได้อย่างแม่นยำ คุณสามารถใช้มันเพื่อจัดทำทฤษฎีบทของแชนนอนเพื่อสร้างพื้นที่ TF ขึ้นใหม่โดยพลการ

— Jazzmaniac

ในกลศาสตร์ควอนตัมหลักการความไม่แน่นอนคือความไม่เท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายซึ่ง จำกัด ขอบเขตความแม่นยำพื้นฐานซึ่งคุณสมบัติทางกายภาพบางอย่างของอนุภาคที่รู้จักกันในชื่อตัวแปรเสริมเช่นตำแหน่ง x และโมเมนตัม p สามารถรู้ได้พร้อมกัน ยกตัวอย่างเช่นในปี 1927 เวอร์เนอร์ไฮเซนเบิร์กระบุว่ายิ่งมีการกำหนดตำแหน่งของอนุภาคบางอย่างแม่นยำมากเท่าใดโมเมนตัมของมันก็จะน้อยลงและในทางกลับกัน [Wikipedia - แต่ฉันได้เรียนรู้สิ่งนี้ในสาขาฟิสิกส์และเยี่ยมชมอีกครั้งในชั้นเรียนการวิเคราะห์]

— 2718