ความแตกต่างระหว่างการแปลงฟูริเยร์เวลาแบบไม่ต่อเนื่องและการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

ฉันได้อ่านบทความมากมายเกี่ยวกับ DTFT และ DFT แต่ฉันไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างทั้งสองยกเว้นสิ่งที่มองเห็นได้สองสามอย่างเช่น DTFT ไปจนถึงอินฟินิตี้ในขณะที่ DFT เป็นเพียงจนถึง N-1 ใครช่วยอธิบายความแตกต่างได้บ้างและควรใช้อะไรเมื่อไหร่? Wiki พูดว่า

DFT นั้นแตกต่างจากการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ซึ่งลำดับของอินพุตและเอาต์พุตนั้นมี จำกัด ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าเป็นการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชัน จำกัด ขอบเขต (หรือคาบ) ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

มันเป็นความแตกต่างเท่านั้น?

แก้ไข: นี้บทความอย่างอธิบายความแตกต่าง

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT) เป็นการแปลงฟูริเยร์แบบ (ธรรมดา) ของสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง มันส่งออกอย่างต่อเนื่องในความถี่และเป็นระยะ ตัวอย่าง: เพื่อค้นหาสเปกตรัมของรุ่นตัวอย่างของสัญญาณเวลาต่อเนื่องx ( t )สามารถใช้ DTFT ได้$x(kT)$$x(t)$

การแปลงฟูริเยร์แบบแยกส่วน (DFT) สามารถมองได้ว่าเป็นเวอร์ชั่นตัวอย่าง (ในโดเมนความถี่) ของเอาท์พุท DTFT มันใช้ในการคำนวณสเปกตรัมความถี่ของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องกับคอมพิวเตอร์เพราะคอมพิวเตอร์สามารถจัดการกับค่าจำนวน จำกัด เท่านั้น ฉันจะโต้แย้งกับผลลัพธ์ DFT ที่ถูก จำกัด มันเป็นระยะเช่นกันและสามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่สิ้นสุด

หากต้องการสรุป:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของ DFT คือทั้งเข้าและส่งออกของมันเป็นระยะที่มีความยาว DFT Nนั่นคือแม้ว่าเวกเตอร์อินพุตไปยัง DFT นั้นมีขอบเขต จำกัด ในทางปฏิบัติมันถูกต้องเพียงเพื่อบอกว่า DFT เป็นสเปกตรัมตัวอย่างถ้าอินพุต DFT นั้นคิดว่าเป็นระยะ$N$

เอาล่ะฉันจะตอบคำถามนี้ด้วยการโต้แย้งว่า "ฝ่ายตรงข้าม" ไปยังตำแหน่งที่เหมือนกับนาซีที่แข็งกระด้างเกี่ยวกับ DFT

อย่างแรกเลยตำแหน่งแข็งเหมือนนาซีของฉัน : DFT และ Discrete Fourier Series นั้นเหมือนกันหมด DFT แมปลำดับอนันต์และคาบหนึ่ง, $x[n]$กับจุด$N$ในโดเมน "เวลา" กับลำดับอนันต์และคาบอื่น, $X[k]$ , อีกครั้งด้วยจุด$N$ในโดเมน "ความถี่" และ iDFT จับคู่กลับ และพวกเขากำลัง "ฉีด" หรือ "ย้อนกลับ" หรือ "หนึ่งต่อหนึ่ง"

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

นั่นคือสิ่งที่ DFT เป็นพื้นฐานที่สุด มันเป็นเรื่องปกติหรือเป็นวงกลม

แต่ผู้ปฏิเสธความเป็นระยะก็ชอบพูดเรื่องนี้เกี่ยวกับ DFT มันเป็นความจริงมันแค่ไม่เปลี่ยนสิ่งใด ๆ ข้างต้น

ดังนั้นสมมติว่าคุณมีลำดับความยาวแน่นอน$x[n]$ของความยาว$N$และแทนที่จะขยายออกเป็นระยะ (ซึ่งเป็นสิ่งที่ DFT ทำโดยเนื้อแท้) คุณผนวกลำดับความยาวที่ จำกัด นี้ด้วยศูนย์ทั้งซ้ายและขวา ดังนั้น

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

ตอนนี้ลำดับอนันต์ที่ไม่เกิดซ้ำนี้มี DTFT:

DTFT: X ( อีเจω ) = + ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] อี- เจω n

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

เนื่องจากเอาต์พุต DTFT นั้นต่อเนื่องจึงไม่สามารถประมวลผลด้วยคอมพิวเตอร์ ดังนั้นเราต้องแปลงสัญญาณต่อเนื่องนี้เป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่อง มันไม่มีอะไรนอกจาก DFT ซึ่งเป็นความก้าวหน้าต่อไปของ FFT เพื่อลดการคำนวณ

ถ้าฉันถูกต้องแม้ว่าอินพุต DFT จะเป็นงวดแม้ว่าจำนวนตัวอย่างจะมี จำกัด แต่คณิตศาสตร์ที่อยู่ด้านหลังนั้นถือว่าเป็นลำดับอนันต์ซึ่งจะเริ่มNตัวอย่างเป็นระยะหลังจากสิ้นสุด โปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$