อะไรคือ

9

อะไรคือ $\mathcal Z$ - การเปลี่ยนแปลงของลำดับ $J_0(\alpha n)$ สำหรับ $n \in \mathbb{Z}$ ?

การแปลงฟูริเยร์ของศูนย์ $^{\rm th}$ สั่งฟังก์ชั่นเบสเซล $J_0(\alpha x)$ เป็นที่รู้กันว่า $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ สำหรับ $|\omega| < \alpha$ . นี่มีเสาที่ $\omega = \alpha$ . สิ่งนี้แปลว่า $\mathcal Z$ - การเปลี่ยนแปลงจะมีขั้วบนวงกลมหน่วยหรือไม่

แก้ไข:

ปัญหาที่ฉันดูเกี่ยวข้องกับตัวอย่างที่แยกกันของฟังก์ชัน Bessel เช่น $J_0(n)$ . ฉันควรดำเนินการตรวจสอบอย่างไร $\mathcal Z$ -แปลง?

fourier-transform z-transform

— sauravrt
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่าแอปพลิเคชั่นนี้คืออะไร

— nibot

@nibot ฉันกำลังทำงานกับแบบจำลองเสียงรบกวนแบบ isotropic และสำหรับกรณี 2 มิติองค์ประกอบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของเสียงเป็นลำดับที่ zeroth เพื่อฟังก์ชั่น Bessel ชนิดแรก ค่าลักษณะเฉพาะของ cov เมทริกซ์ที่เกิดขึ้นเกี่ยวข้องกับการแปลง Z ของลำดับฟังก์ชัน Bessel

— sauravrt

2

การขยายตัวของเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรกและลำดับที่ 0 คือ

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(ดูhttp://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

โดยทั่วไปคุณสามารถประมาณนี่ได้ว่าการแปลง Z ของพหุนาม

— Hilmar
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถใช้คำจำกัดความของ $\mathcal Z$ - เปลี่ยนเป็นนิพจน์เทียบเท่าของฟังก์ชัน Bessel หรือเพื่อการประมาณ

เทียบเท่าฟังก์ชั่นสามารถ:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

อัปเดต :

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแสดงออกเทียบเท่าเป็นที่นี่

— Luis AndrésGarcía
แหล่งที่มา

1

การประมาณสำหรับ

J_{0} (x)

$J_0(x)$ ไม่มีเครื่องหมายสำคัญในขั้นตอนแรก ฉันไม่สามารถเห็นคุณได้โดยประมาณการแปลง Z ฉันมีความคิดอื่นโดยใช้การประมาณ

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$ . ฉันลองใช้วิธีนี้และจบลงด้วยการแปลง Z ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน PolyLogarithmic Mathematica ใช้แล้ว.

— sauravrt

ฉันเชื่อว่าการประมาณที่เขาพูดถึงเป็นการประมาณสำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่ได้รับการแก้ไขในชนิดแรก

I_{0} (z)

$I_0(z)$ (ถ้าหน่วยความจำทำหน้าที่ฉัน)

z

$z$ เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไม่ใช่

z

$z$ เช่นเดียวกับใน

z

$z$ -แปลง. เขาชี้ให้เห็นว่าแทนที่จะประเมิน

z

$z$ - เปลี่ยนรูปแบบผลรวมโดยตรงคุณสามารถใช้รูปแบบอื่นที่เทียบเท่าหรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันที่น่าสนใจซึ่งอาจเปลี่ยนได้ง่ายกว่า

— Jason R

ความชื่นชมของคุณเกี่ยวกับการประมาณนั้นเป็นจริง ฉันได้แก้ไขคำตอบของฉัน

— Luis AndrésGarcía