การแก้ปัญหาสังวัตนาของสัญญาณ 1D

ฉันพบปัญหาในการพยายามแก้ไขแบบฝึกหัดนี้ ฉันต้องคำนวณการบิดของสัญญาณนี้:

Y (เสื้อ) = {อี}^{- k เสื้อ} ยู (เสื้อ) \frac{บาป (\frac{π เสื้อ}{10})}{(π เสื้อ)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

ที่ไหน $u(t)$ คือฟังก์ชั่น Heavyside

ผมใช้สูตรที่บอกว่าสังวัตนาของสัญญาณทั้งสองนี้เท่ากับ

Y (ฉ) = X (ฉ) \cdot W (ฉ)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

ที่ไหน $X(f)$ คือการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณแรกและ $W(f)$ คือการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณที่สอง

การแปลงฟูริเยร์ของ $e^{-kt}u(t)$ คือ

X (ฉ) = \frac{1}{k + J 2 π ฉ}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

ฉันต้องทำให้สัญญาณที่สองเท่ากับให้มากที่สุด $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

ดังนั้นฉันจะดำเนินการนี้:

\frac{บาป (\frac{π เสื้อ}{10})}{(\frac{π เสื้อ}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ นี่เท่ากับ

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{เสื้อ}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

ใช่มั้ย

— Mazzy
แหล่งที่มา

ดูเหมือนถูกต้องสำหรับฉัน หนึ่งคำเตือน - คำจำกัดความบางอย่างของ sinc รวมถึง pi ในพารามิเตอร์ตามที่คุณทำและบางคนคิดว่ามัน (เช่นพวกเขาจะได้เขียน sinc (t / 10)) อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นเรื่องปกติตราบใดที่คุณเข้าใจที่คุณกำลังทำ

— Jim Clay

ยังทราบว่าการแปลงฟูริเยร์ผกผันของ

Y (f)

$Y(f)$ เป็นผลลัพธ์ที่คุณต้องการค้นหา การใช้ความเป็นคู่ระหว่างการแปลงในโดเมนเวลาและการคูณในโดเมนความถี่ไม่จำเป็นต้องช่วยให้คุณวิเคราะห์ผลลัพธ์ของการสนทนาได้หากการแปลงผกผันเป็นสิ่งที่ทำได้ยาก

— Jason R

แม้ว่าฉันจะรู้ว่านี่เป็นการตอบรับที่ช้ามาก แต่ฉันก็จะพยายามตอบคำถามนี้เพราะฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องที่ให้คำแนะนำและเพราะจำนวนผู้โหวตเพิ่มแสดงให้เห็นว่าคำถามนี้เป็นที่สนใจโดยทั่วไปของชุมชน

ตามที่แนะนำแล้วในคำถามเราจะมากำหนดสัญญาณสองสัญญาณ $x(t)$ และ $w(t)$ เช่น

x (เสื้อ) = {อี}^{- k เสื้อ} ยู (เสื้อ), k > 0 W (เสื้อ) = \frac{บาป (π เสื้อ / 10)}{π เสื้อ}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

หนึ่งการตีความที่เป็นไปได้ของการโน้มน้าวใจ $(x*w)(t)$ คือสัญญาณที่มีการลดลงอย่างทวีคูณ $x(t)$ ถูกกรองโดยตัวกรอง lowpass ในอุดมคติพร้อมการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น $w(t)$ . ในคำถามมันก็ชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องว่าการโน้มน้าวใจในโดเมนเวลาสอดคล้องกับการคูณในโดเมนความถี่ อินทิกรัลของฟูริเยร์ $x(t)$ สามารถคำนวณได้ง่าย:

X (J ω) = \int_{0}^{\infty} {อี}^{- k เสื้อ} {อี}^{- J ω เสื้อ} d เสื้อ = \frac{1}{k + J ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

การแปลงฟูริเยร์ของ $w(t)$ ควรจะคุ้นเคยเพราะมันเป็นตัวกรอง lowpass ที่เหมาะ ในคำถามมีความสับสนเกี่ยวกับคำจำกัดความของฟังก์ชัน Sinc ฉันขอแนะนำให้จำการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของตัวกรอง lowpass ที่เป็นเอกภาพซึ่งมีความถี่ตัดออก $\omega_0=2\pi f_0$ โดยไม่ต้องใช้คำจำกัดความใด ๆ ของฟังก์ชัน Sinc:

\begin{matrix} (1) & {ชั่วโมง}_{L P} (เสื้อ) = \frac{บาป ω_{0} เสื้อ}{π เสื้อ} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

เปรียบเทียบ (1) กับคำจำกัดความของ $w(t)$ เราเห็นว่า $w(t)$ เป็นเพียงตัวรับสัญญาณ lowpass ที่เป็นเอกภาพซึ่งมีความถี่ตัด $\omega_0=\pi/10$ :

W (J ω) = ยู (ω + ω_{0}) - ยู (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$ ที่ฉันใช้ฟังก์ชั่นขั้นตอน

u (ω)

$u(\omega)$ ในโดเมนความถี่

เพื่อที่จะหาฟังก์ชั่นเวลา $y(t)=(x*w)(t)$ ใครสามารถคำนวณการแปลงฟูริเยร์ผกผันของ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$ :

Y (เสื้อ) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (J ω) W (J ω) {อี}^{J ω เสื้อ} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + J ω} {อี}^{J ω เสื้อ} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

น่าเสียดายที่ไม่มีโซลูชันแบบปิดของอินทิกรัลนี้โดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน สามารถประเมินเป็นตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลอธิบาย $\text{Ei}(x)$ หรือหรืออินทิกรัลไซน์และโคไซน์ $\text{Si}(x)$ และ $\text{Ci}(x)$ . ดังนั้นฉันจึงไม่คิดว่าจุดประสงค์ของแบบฝึกหัดคือการคำนวณความจริง แต่จุดประสงค์ของมันอาจจะมาพร้อมกับคำอธิบายเชิงคุณภาพเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น (สัญญาณเลขชี้กำลังถูกกรองโดยตัวกรอง lowpass อุดมคติ)

อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามันจะเป็นคำแนะนำในการดูสัญญาณ $y(t)$ ดังนั้นฉันประเมินมันเป็นตัวเลขสำหรับพารามิเตอร์ $k=0.05$ และ $\omega_0=\pi/10$ . รูปต่อไปนี้แสดงผลลัพธ์: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เส้นโค้งสีเขียวคือสัญญาณอินพุต $x(t)$ และเส้นโค้งสีน้ำเงินคือสัญญาณที่ถูกกรอง $y(t)$ . หมายเหตุระลอก (ไม่ใช่สาเหตุ) ของ $y(t)$ สำหรับ $t<0$ เกิดจากตัวกรอง lowpass ในอุดมคติ (ไม่ใช่สาเหตุ) หากเราเพิ่มความถี่ตัดของตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำความเพี้ยนของสัญญาณอินพุตควรมีขนาดเล็กลง นี่แสดงให้เห็นในรูปถัดไปที่ฉันเพิ่มความถี่การตัดออกเป็น 10 เท่านั่นคือ $\omega_0=\pi$ (แทน $\pi/10$ ):

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

บางทีการตีความที่ดีกว่านี้อาจเป็นฟังก์ชันอินพุต sinc ที่ใช้กับตัวกรอง low-pass low-pass ลำดับแรกที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์

— Dilip Sarwate

แน่ใจว่าเป็นอีกการตีความที่ถูกต้อง แต่ทำไมถึงดีกว่า ตกลงระบบสามารถรับรู้ได้ แต่ไม่ใช่สัญญาณอินพุต ตัวกรอง lowpass ในอุดมคติเป็นระบบมาตรฐานที่มักจะวิเคราะห์และใช้เพื่อจุดประสงค์ในการสอนแม้ว่าจะไม่สามารถรู้ได้ อย่างไรก็ตามโชคดีที่ผลยังคง :) เดียวกัน

— แมตต์ลิตร