ทำไมการแปลงฟูริเยร์ของหวี Dirac เป็นหวี Dirac

16

นี้จะไม่ทำให้รู้สึกถึงฉันเพราะHeisenberg ความไม่เท่าเทียมกันระบุว่า $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1

ดังนั้นเมื่อคุณมีสิ่งที่แปลเป็นภาษาท้องถิ่นอย่างสมบูรณ์แบบในเวลาที่คุณได้รับสิ่งที่กระจายอย่างสมบูรณ์ในความถี่ ดังนั้นความสัมพันธ์ขั้นพื้นฐาน $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ โดยที่ $\mathfrak{F}$ คือตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์

แต่สำหรับหวี Diracการใช้การแปลงฟูริเยร์คุณจะได้หวี Dirac อีกตัว โดยสังหรณ์ใจคุณควรจะได้รับอีกบรรทัด

ทำไมสัญชาตญาณนี้จึงล้มเหลว

fourier-transform

— คาร์ลอส - พังพอน - อันตราย
แหล่งที่มา

13

ฉันเชื่อว่าการเข้าใจผิดคือการเชื่อว่าหวี Dirac ได้รับการแปลในเวลา มันไม่ได้เป็นเพราะมันเป็นฟังก์ชั่นเป็นคาบและมันสามารถมีส่วนประกอบความถี่ที่ทวีคูณของความถี่พื้นฐานเท่านั้นเช่นที่จุดความถี่ที่ไม่ต่อเนื่อง มันไม่สามารถมีสเปกตรัมอย่างต่อเนื่องไม่เช่นนั้นจะไม่เป็นระยะ เช่นเดียวกับฟังก์ชั่นอื่น ๆ ตามฤดูกาลหวี Dirac สามารถแทนด้วยอนุกรมฟูริเยร์ได้นั่นก็คือผลรวมเชิงเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุด เลขชี้กำลังเชิงซ้อนแต่ละอันสอดคล้องกับแรงกระตุ้น Dirac ในโดเมนความถี่ที่ความถี่ต่างกัน การสรุปแรงกระตุ้น Dirac เหล่านี้จะให้หวี Dirac ในโดเมนความถี่

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

ใช่หวีเป็นระยะไม่ได้แปลเป็นภาษาท้องถิ่นในตัวแปรอิสระที่เกี่ยวข้อง (เวลา / ความถี่)

— Peter K.

11

สัญชาตญาณของคุณล้มเหลวเพราะคุณเริ่มจากสมมติฐานที่ผิด ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กไม่ได้พูดในสิ่งที่คุณคิด ในขณะที่คุณพูดแล้วในคำถามของคุณมันเป็นความไม่เท่าเทียมกัน เพื่อความแม่นยำมันเป็น

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

ไม่มีเหตุผลใดที่ความไม่แน่นอนของผลิตภัณฑ์จะต้องใกล้เคียงกับขอบเขตล่างของสัญญาณทั้งหมด ในความเป็นจริงสัญญาณเดียวที่บรรลุขอบเขตที่ต่ำที่สุดนี้คืออะตอมของกาบอร์ สำหรับสัญญาณอื่น ๆ ทั้งหมดคาดว่าจะมีขนาดใหญ่ขึ้นและอาจไม่มีที่สิ้นสุด

— Jazzmaniac
แหล่งที่มา

1

ถูกต้อง แต่การเข้าใจผิดหลักคือการคิดว่าหวี Dirac มีการแปลในเวลา ไม่ใช่เพราะมันเป็นคาบ ทฤษฎีบทความไม่แน่นอนจึงไม่พูดสิ่งที่มีประโยชน์เกี่ยวกับหวี Dirac

— Matt L.

@ MattL. นั่นไม่ใช่วิธีที่ฉันเข้าใจคำถามเดิม ฉันคิดว่าเขาเถียงจริง ๆ ว่ารถไฟดีแรคนั้นแยกตัวเองอย่างสมบูรณ์ในโดเมนดั้งเดิมของมัน

— Jazzmaniac

1

ตกลงดูเหมือนว่ามีความเข้าใจผิดว่า OP หมายถึง 'บรรทัดอื่น' หรือไม่ ฉันคิดว่าสิ่งนี้หมายถึงสเปกตรัมแบนราบ (เช่นเดียวกับสเปกตรัมของแรงกระตุ้น Dirac ที่เขาอ้างถึงก่อนหน้านี้) แต่คุณคิดว่านี่หมายถึงเส้นสเปกตรัมนั่นคือความถี่เดียว อย่างน้อยตอนนี้ฉันเข้าใจว่าคำตอบของคุณสามารถตอบคำถามของ OP ได้อย่างไร

— Matt L.

1

@ MattL. จริง ๆ แล้วฉันคิดว่าเขาหมายถึงการแสดงกราฟิกปกติของการแจกแจง Dirac เมื่อเขาเขียน "บรรทัด" ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะต้องชี้แจงให้ชัดเจนเพราะคำถามสามารถอ่านได้อย่างน้อยสองวิธี

— Jazzmaniac

1

ดีนิยาม "มาตรฐาน" เป็นคำสั่งทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับโมเมนตัมและความไม่แน่นอนของตำแหน่ง (เฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) และมี

ในนั้น และในกรณีนี้คุณต้องกำหนดความหมายโดย "

" และ "

" ค่าคงที่นั้น (ซึ่งคุณระบุเป็น

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) ไม่ไกลจากความสามัคคี (ในระดับบันทึก) แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

ยกเว้นเนื่องจากคำจำกัดความเฉพาะสำหรับ "

" และ "

"

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson

6

วิศวกรไฟฟ้าเล่นอย่างรวดเร็วและหลวมด้วยฟังก์ชั่น Dirac delta ซึ่งนักคณิตศาสตร์ยืนยันว่าไม่ใช่ฟังก์ชั่น (หรืออย่างน้อยก็ไม่ใช่ฟังก์ชั่น "ปกติ" แต่เป็น "การกระจาย") ความจริงทางคณิตศาสตร์ก็คือว่าถ้า $f(t)=g(t)$ "เกือบทุกที่" (ซึ่งหมายความว่าทุกค่าของ $t$ ยกเว้นจำนวนค่าที่ไม่ต่อเนื่องนับ),

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ T

well the functions $f(t)=0$ and $g(t)=\delta(t)$ are equal everywhere except at $t=0$ , yet we electrical engineers insist that their integrals are different. but if you set aside this little (and, in my opinion, non-practical) difference, the answer to your question is:

${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ is a periodic function of period $T$ and therefore has a Fourier series: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
if you blast out the coefficients, $c_n$ , of the Fourier series you get:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

so the Fourier series for the Dirac comb is

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

which means you're just summing up a bunch of sinusoids of equal amplitude.

the Fourier Transform of a single complex sinusoid is:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

— robert bristow-johnson
แหล่งที่มา

1

@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

— robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

— Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

— robert bristow-johnson

@robertbristow-johnson "electrical engineers play a little fast and loose with the Dirac delta function." Paul Dirac was an electrical engineer. Claude Shannon was also an electrical engineer. I admonish you from making such general and inaccurate statements. You claim to be an electrical engineer and clearly understand distribution theory.

— Mark Viola

nearly every undergraduate electrical engineering textbook on Linear System Theory or Signals and Systems or some similar name, will introduce and treat the Dirac Delta as a limiting case of a "nascent delta". e.g. :

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

1

I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$ . To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
แหล่งที่มา