คุณคำนวณความเรียบของสเปกตรัมจาก FFT อย่างไร

17

ตกลงความเรียบของสเปกตรัม (หรือเรียกอีกอย่างว่า Wiener เอนโทรปี) ถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสเปกตรัมต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต

วิกิพีเดียและการอ้างอิงอื่น ๆ บอกว่าสเปกตรัมกำลัง นั่นคือจตุรัสของฟูริเยร์ใช่ไหม FFT สร้าง "สเปกตรัมแอมพลิจูด" แล้วคุณยกกำลังสองนั้นเพื่อให้ได้ "สเปกตรัมพลังงาน"?

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่ฉันอยากรู้คือถ้าspectrum = abs(fft(signal))สิ่งใดที่ถูกต้อง?

spectral_flatness = gmean(spectrum)/mean(spectrum)
spectral_flatness = gmean(spectrum^2)/mean(spectrum^2)

คำนิยามของ Wikipedia ดูเหมือนว่าจะใช้ขนาดโดยตรง:

$F ล. a เสื้อ n อี s s = \frac{\sqrt[ยังไม่มีข้อความ]{Π_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} x (n)}}{\frac{Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} x (n)}{ยังไม่มีข้อความ}} = \frac{ประสบการณ์ (\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} LN x (n))}{\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} x (n)}$ $\mathrm{Flatness} = \frac{\sqrt[N]{\prod_{n=0}^{N-1}x(n)}}{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}x(n)}{N}} = \frac{\exp\left(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \ln x(n)\right)}{\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x(n)}$ ที่ $x(n)$ หมายถึงขนาดของจำนวนถัง $n$ n

SciPy docsกำหนดสเปกตรัมพลังงานเป็น:

เมื่อป้อนข้อมูลที่เป็นสัญญาณโดเมนเวลาและA = fft(a), np.abs(A)เป็นคลื่นความถี่ที่กว้างและnp.abs(A)**2เป็นคลื่นไฟฟ้าของมัน

แหล่งที่มานี้เห็นด้วยเกี่ยวกับความหมายของ "สเปกตรัมพลังงาน" และเรียกมันว่า : $S_{f}(\omega)$

$F_{T}(\omega)$ $\displaystyle S_{f}(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}{\mid F_{T}(\omega)\mid}^2.$

แหล่งที่มานี้กำหนด Wiener เอนโทรปีในแง่ของ ) $S(f)$

แต่ฉันไม่เห็นการยกกำลังสองในสมการเช่นนี้ซึ่งดูเหมือนว่าจะขึ้นอยู่กับสเปกตรัมขนาด :

$S_{ฉ ล. a เสื้อ n อี s s} = \frac{ประสบการณ์ (\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} \underset{k}{Σ} เข้าสู่ระบบ (a_{k}))}{\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} \underset{k}{Σ} a_{k}}$ $S_{flatness} = \frac{\exp\left(\frac{1}{N} \sum_k \log (a_k)\right)}{\frac{1}{N} \sum_k a_k}$

ในทำนองเดียวกันแหล่งอื่นกำหนดความเรียบสเปกตรัมในแง่ของคลื่นไฟฟ้า แต่แล้วใช้ขนาดของถังขยะ FFT โดยตรงซึ่งก็ดูเหมือนจะขัดแย้งกับคำนิยามข้างต้นของ "พลังคลื่นความถี่"

"สเปกตรัมพลังงาน" หมายถึงสิ่งที่แตกต่างกับคนอื่นหรือไม่?

fft frequency-spectrum power-spectral-density

— endolith
แหล่งที่มา

ตามที่Wikipedia: ความเรียบของสเปกตรัมเอเคแสดงถึงขนาดของหมายเลขถังขยะ k

— Hamed Gholami

สวัสดี @endolith คุณได้รับคำตอบที่น่าพอใจว่าคุณยินดีที่จะยอมรับหรือไม่?

— jojek

@jojek ไม่, ยังไม่

— endolith

1

@endolith ฉันเชื่อว่าปีเตอร์เพิ่งตีเล็บในหัว;)

— jojek

@jojek ฉันพยายามต่อยเล็บผ่านกระดาน 😂

— ปีเตอร์เค

4

การอ้างอิงที่เชื่อถือได้มากที่สุดที่ฉันสามารถหาได้คือ Jayant & Noll, การเข้ารหัสแบบดิจิทัลของรูปคลื่น (c) Bell Telephone Laboratories, Incorporated 1984 เผยแพร่โดย Prentice-Hall, Inc.

บนหน้า 57 พวกเขากำหนดความเรียบของสเปกตรัม:

$S_{xx}$

ดังนั้นเวอร์ชัน FFT-squared จึงเป็นเวอร์ชั่นที่คุณต้องการ

ดูเหมือนว่าMakhoul & Wolf, การทำนายเชิงเส้นและการวิเคราะห์สเปกตรัมของ Speech , Bolt, Beranek และ Newman, Inc. รายงานทางเทคนิค, 1972 ก็มีให้เช่นกัน

และมันก็มีความหมายเดียวกัน:

— ปีเตอร์เค
แหล่งที่มา

7

หากคำจำกัดความของความเรียบบอกว่าคุณใช้สเปกตรัมพลังงานแล้วใช่คุณควรจัดให้มีขนาดเป็นสี่เหลี่ยมตามการอ้างอิงจากเอกสารของ SciPy ในสมการที่คุณอ้างถึงซึ่งคุณไม่ได้เห็นการยกกำลังสองฉันไม่คิดว่าคุณจะอ่านอะไรมากมาย มันบอกว่า

S_{ฉ ล. a เสื้อ n อี s s} = \frac{ประสบการณ์ (\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} \underset{k}{Σ} เข้าสู่ระบบ (a_{k}))}{\frac{1}{ยังไม่มีข้อความ} \underset{k}{Σ} a_{k}}

$S_{flatness} = \frac{\exp\left(\frac{1}{N} \sum_k \log (a_k)\right)}{\frac{1}{N} \sum_k a_k}$

$a_k$

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

ผมคิดว่านี้เป็นคำถามเกี่ยวกับสิ่งที่หมายจริงเป็นแล้ว

— endolith

a_{k}

$a_k$

@HamedGholami กรุณาอย่าใส่ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบอีกครั้ง ความคิดเห็นของคุณไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถาม แต่พยายามเป็นประโยชน์ที่นี่

— ปีเตอร์เค

@PeterK ฉันคิดว่าผู้ใช้ใหม่ไม่สามารถโพสต์ความคิดเห็น แต่สามารถโพสต์คำตอบ

— endolith

1

@ endolith เข้าใจ แต่หลังจาก jojek ได้ย้ายคำตอบแรกของเขาเพื่อเป็นความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม Hamed ได้ทำการ reposted ความคิดเห็นเดียวกันกับคำตอบ นั่นคือพฤติกรรมที่ฉันต้องการจะห้ามปราม: โพสต์อีกครั้งหลังจาก "ตอบ" ถูกย้าย

— Peter K.

4

คำจำกัดความแตกต่างกันไปใช่ไหม สิ่งแรกที่ต้องแก้ไขคือว่าเรายอมรับว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานเทียบเท่ากับสเปกตรัมพลังงานหรืออื่น ๆ กำหนดสิ่งที่เราหมายถึงโดยทั้งสอง ชื่อเรียกตามคุณสมบัติ Salehi ใช้พวกเขา synonymously ฉันคิดว่าความขัดแย้งนั้นเกิดจากคำจำกัดความที่แตกต่างกันสำหรับสัญญาณที่มีสเปกตรัมกำลังหนึ่ง คำจำกัดความปกติของนั่นคือขนาดกำลังสองของข้อมูลที่แปลงฟูริเยร์ ทฤษฎีบท Wiener-Khinchinให้เส้นทางอีกครั้งเพื่อให้คลื่นไฟฟ้าสำหรับสัญญาณ WSS ผ่านฟูเรียร์ของอัต ขึ้นอยู่กับว่าคุณกำหนดสเปกตรัมพลังงานด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่คุณจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสในความเรียบของสเปกตรัม

อื่น ๆใช้ขนาดของฟูริเยร์แปลง บางสายนี้ "พลังคลื่นความถี่" และขอสงวนชื่อ "พลังคลื่นความถี่หนาแน่น " สำหรับอนุพันธ์ของ "พลังคลื่นความถี่" ในขณะที่คนอื่น ๆ ขอสงวนคำว่า "คลื่นไฟฟ้า" สำหรับหนึ่งของฟูริเยร์แปลงของอัต (สิ่งที่คนอื่นโทร สเปกตรัมพลังงาน) อย่างที่คุณเห็นคำจำกัดความมากมาย รู้สึกอิสระที่จะประดิษฐ์คุณเป็นเจ้าของ :) หรือยึดติดกับมาตรฐาน Wiener-Khinchin

คำถามที่เกี่ยวข้อง : ความแตกต่างระหว่างความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานกำลังสเปกตรัมและอัตราส่วนกำลังหรือไม่

— เอ็ม
แหล่งที่มา

นั่นบอกว่า "สเปกตรัมพลังงาน" ด้วย

— endolith

1

ಠ_ಠ

— endolith

0

เป็นคำถามที่ดีที่ฉันสงสัยในตัวเองเช่นกัน ความเรียบของสเปคตรัม (หรือที่เรียกว่า Weiner Entropy) เป็นเพียงการวัดความ 'ยอด' ของเวกเตอร์

ดูเหมือนว่าแหล่งข้อมูลนี้จะระบุว่าเวกเตอร์ที่กำลังพิจารณาคือความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานซึ่งในกรณีนี้คุณต้องยกกำลังสอง หากคุณยกกำลังสองสเปกตรัมออกมาคุณจะเน้นจุดสูงสุดในกรณีที่คุณไม่ได้ยกกำลังสองอย่างชัดเจนและฉันคิดว่าสิ่งนี้จะช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น

— สเปซีย์
แหล่งที่มา