ความแตกต่างระหว่างการกรองและการถดถอยพหุนามเป็นไปอย่างราบรื่นหรือไม่

อะไรคือความแตกต่างระหว่างการกรอง low-pass แบบคลาสสิก (กับ IIR หรือ FIR) และ "การปรับให้เรียบ" โดยการถดถอยพหุนามระดับ Nth ในระดับท้องถิ่นและ / หรือการแก้ไข (ในกรณีของการสุ่มตัวอย่าง) โดยเฉพาะในกรณีที่ N มากกว่า 1 แต่น้อยกว่าจำนวนจุดที่ใช้ในการถดถอย

ทั้งการกรองผ่านความถี่ต่ำและการปรับให้เรียบการถดถอยแบบโพลิโนเมียลสามารถมองได้ว่าเป็นการประมาณฟังก์ชั่น อย่างไรก็ตามวิธีการทำเช่นนี้แตกต่างกัน คำถามสำคัญที่จะถามที่นี่คือ "คุณสามารถทำสิ่งหนึ่งในแง่ของคนอื่นได้หรือไม่" และคำตอบสั้น ๆ คือ "ไม่เสมอไป" ด้วยเหตุผลที่อธิบายไว้ด้านล่าง

เมื่อการปรับให้เรียบโดยการกรองการดำเนินงานที่สำคัญคือ convolution โดยที่ซึ่งในโดเมนความถี่แปลเป็นy = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) )โดยที่Fหมายถึง การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (และF - 1ค่าผกผัน) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (เช่นF ( x ) ) เสนอการประมาณของ$y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$$F(x)$$x$เป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เมื่อเป็นตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำส่วนประกอบของความถี่ต่ำที่น้อยลงจะถูกเก็บไว้และการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันของxจะราบรื่นขึ้น การตั้งค่าการกรองต่ำผ่านในบริบทของการประมาณฟังก์ชั่นโดยใช้ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชั่นพื้นฐานแต่มันก็คุ้มค่าที่จะทบทวนสูตรการสนทนาเพื่อทราบว่าเมื่อทำการกรอง y (n) (ผลลัพธ์ของตัวกรอง) ขึ้นอยู่กับx ( n )รวมถึงผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวอย่างที่ผ่านมาของx (น้ำหนักที่นี่กำหนดโดย "รูปร่าง" ของh ) (ข้อควรพิจารณาที่คล้ายกันมีไว้สำหรับตัวกรอง IIR แน่นอนด้วยการเพิ่มค่าที่ผ่านมาของy $h$$x$$x(n)$$x$$h$เช่นกัน)$y(n)$

เมื่อปรับให้เรียบโดยพหุนามแบบ n-degree บางส่วนผลลัพธ์ของหน่วยสอดแทรกขึ้นอยู่กับและส่วนผสมของฟังก์ชันพื้นฐาน (แตกต่างกัน) (หรือที่เรียกว่าmonomials ) ฟังก์ชันพื้นฐานที่แตกต่างกันเหล่านี้คืออะไร มันคงที่ ( a 0 x 0 ), a line ( a 1 x ), parabola ( a 2 x 2 ) และอื่น ๆ (โปรดอ้างถึงสิ่งนี้เพื่อภาพประกอบที่ดี) แม้ว่าโดยทั่วไปเมื่อต้องรับมือกับตัวอย่าง equi-distant ในเวลาและด้วยเหตุผลเกี่ยวกับความแม่นยำสิ่งที่ใช้คือรูปแบบพหุนามของนิวตัน$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. เหตุผลที่ฉันอ้างถึงนี้เป็นเพราะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อดำเนินการแก้ไขเชิงเส้นคุณสามารถสร้างตัวกรองเคอร์เนลที่ส่งกลับผลรวมถ่วงน้ำหนักเชิงเส้นตรงของตัวอย่างที่มีอยู่เช่นเดียวกับการแก้ไขพหุนามลำดับต่ำจะใช้ "เส้น" เพื่อแก้ไข ระหว่างสองตัวอย่าง แต่ที่ระดับสูงกว่าวิธีการประมาณสองวิธีจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน (เนื่องจากความแตกต่างในฟังก์ชั่นพื้นฐาน)

ตามที่ฉันเขียนไว้ข้างต้นไม่คำนึงถึงคุณค่าที่ผ่านมาของ$x(n)$นั้นไม่เข้มงวด นี่คือจุดที่ลึกซึ้ง เพราะโดยปกติเมื่อสร้างพหุนามค่านอกช่วงเวลาที่กำหนด ("อดีต" และ "อนาคต" ของสัญญาณ) จะไม่ถูกนำมาพิจารณา อย่างไรก็ตามมีความเป็นไปได้ที่จะรวมสิ่งเหล่านี้ด้วยการแก้ไขอนุพันธ์ที่ขอบของช่วงเวลา และหากทำเช่นนี้ซ้ำ ๆ (เช่นหน้าต่างเลื่อนที่ไม่ทับซ้อนกัน) อย่างมีประสิทธิภาพ "ตัวอย่างที่ผ่านมา" ของ x (n) จะถูกนำมาพิจารณา (นี่คือเคล็ดลับที่ splines ใช้และในความเป็นจริงมีการแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับการแก้ไข bicubicอย่างไรก็ตามโปรดทราบที่นี่ว่าการตีความของจะแตกต่างกันเมื่อพูดถึงsplines$x$ - ระบุจุดเกี่ยวกับการทำให้ปกติ -)

เหตุผลในการใช้การกรองเป็นการแก้ไขบางครั้งพูดเช่นในกรณีของ "การแก้ไข Sinc" เป็นเพราะมันทำให้รู้สึกจากมุมมองทางกายภาพ การเป็นตัวแทนในอุดมคติของระบบที่ จำกัด ย่านความถี่ (เช่นแอมพลิฟายเออร์ (เชิงเส้น) หรือเลนส์ในระบบสายตา ) ในโดเมนเวลาคือพัลส์ sinc การแสดงโดเมนความถี่ของพัลส์ sinc เป็น"พัลส์" สี่เหลี่ยมผืนผ้า. ดังนั้นด้วยสมมติฐานที่น้อยมากเราคาดหวังว่ามูลค่าที่หายไปจะมากหรือน้อยใกล้กับเพื่อนบ้าน (แน่นอนภายในขอบเขต) ถ้าสิ่งนี้ดำเนินการกับพหุนาม n-order (สำหรับ n สูงกว่า) ดังนั้นในวิธีที่เรา "แก้ไข" วิธีที่ค่าที่หายไปเกี่ยวข้องกับเพื่อนบ้านซึ่งอาจไม่เหมือนจริงเสมอไป (ทำไมค่าความดันเสียงของ คลื่นกระแทกด้านหน้าไมโครโฟนคงที่เพื่อให้มีรูปร่างของหรือไม่มันวางสมมุติฐานว่าแหล่งกำเนิดเสียงทำงานอย่างไรซึ่งอาจไม่เป็นจริงเสมอไปโปรดทราบว่าฉันไม่ได้บ่งบอกถึงความเหมาะสมของรูปแบบการแก้ไข จากมุมมองของpsychophysicsที่นี่ซึ่งเกี่ยวข้องกับการประมวลผลของสมอง (ดูresampling Lanczos$x^3$ตัวอย่างเช่น). ฉันกำลังพูดอย่างเคร่งครัดเกี่ยวกับข้อ จำกัด ที่กำหนดโดยการแก้ไขเมื่อใครพยายาม "เดา" ค่าที่หายไปอย่างไม่มีอคติ

ไม่มีวิธี "ที่ดีที่สุด" สากลมันสวยมากขึ้นอยู่กับปัญหาการแก้ไขที่คุณกำลังเผชิญอยู่

ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้.

ป.ล. (สิ่งประดิษฐ์ที่สร้างโดยวิธีการประมาณค่าทั้งสองวิธีนั้นแตกต่างกันเช่นกันดูตัวอย่างปรากฏการณ์ Gibbs Phenomenonและoverfittingแม้ว่า overfitting จะเป็น "ที่อีกด้านหนึ่ง" ของคำถามของคุณ)

คำถามที่ดีและคำตอบที่ enlightening ฉันต้องการแบ่งปันข้อมูลเชิงลึกบางอย่างดังนี้ มีฐานพหุนาม orthogonal อยู่เช่นฐานพหุนาม Legendre ของ (ในทางตรงกันข้ามกับฐาน monomial) ซึ่งมีเสถียรภาพมากขึ้นในพหุนามระดับสูงที่เหมาะสม ในฐานะที่เป็นฐานที่ใช้ในการแก้ไขสูตรของแชนนอนส์ (ซึ่งแน่นอนว่ายังสามารถเห็นได้ว่าเป็นการดำเนินการและการดำเนินการกรอง) เป็นฐาน orthogonal สำหรับ bandlimited พื้นที่ จำกัด ฮิลแบร์ต พื้นที่ร่วมกับการมีอำนาจ orthogonality กับพวกเขา

พหุนามกรอง (ไม่ใช่การแก้ไข) ก็มีอยู่ในวรรณคดีเคมีตั้งแต่ 2503 บันทึกการบรรยายที่ดีเกี่ยวกับการมาถึงหัวข้อนี้เขียนโดย R.Schafer บรรดาศักดิ์เป็น Savitzky - Golay กรองลิงค์: http: // www-inst eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf