มีสิ่งที่ผิดเพี้ยนแบบไม่ จำกัด เชิงเส้นหรือไม่?

12

ดังนั้นหากคุณสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมโดยเพียงแค่สลับสัญญาณระหว่างค่าสองค่าที่ขอบเขตตัวอย่างมันจะสร้างอนุกรมฮาร์โมนิกที่ไม่สิ้นสุดซึ่งเป็นนามแฝงและให้เสียงต่ำกว่าพื้นฐานของคุณซึ่งได้ยินได้มาก การแก้ปัญหาคือการสังเคราะห์แบบ จำกัด วงดนตรีไม่ว่าจะโดยใช้การสังเคราะห์แบบเติมแต่งหรือขั้นตอนแบบ จำกัด วงเพื่อสร้างรูปแบบของคลื่นที่เหมือนกับว่าคุณได้ จำกัด วงคลื่นสี่เหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติก่อนที่จะสุ่มตัวอย่าง:

http://flic.kr/p/83JMjT

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

แต่ฉันเพิ่งรู้ว่าถ้าคุณใช้การขยายขนาดใหญ่กับคลื่นไซน์ดิจิตอลและจากนั้นคลิปมันแบบดิจิทัลมันจะสร้างรูปร่างคลื่นสี่เหลี่ยมที่เหมือนกันโดยไม่มีปรากฏการณ์กิ๊บส์ ดังนั้นมันจึงเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีการบิดเบือนนามแฝงใช่ไหม ดังนั้นใดบิดเบือนไม่เชิงเส้นในโดเมนดิจิตอลที่ผลิตฮาร์โมนินอกขีด จำกัด Nyquist จะผลิตสินค้าที่มีการบิดเบือน aliased? (แก้ไข: ฉันได้ทำการทดสอบและยืนยันว่าส่วนนี้เป็นจริง)

มีสิ่งที่บิดเบือนวง จำกัด ในการจำลอง (ในโดเมนดิจิตอล) ผลกระทบของการบิดเบือน (ในโดเมนอนาล็อก) ก่อนที่วง จำกัด และการสุ่มตัวอย่าง? ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณจะทำอย่างไร ถ้าฉันค้นหา "bandlimited distortion" ฉันพบการอ้างอิงถึงชื่อพหุนาม Chebyshev แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใช้พวกมันอย่างไรหรือพวกมันใช้งานได้เฉพาะคลื่นไซน์หรืออะไร:

เครื่องมือนี้ไม่ได้พยายามสร้างความผิดเพี้ยนแบบ จำกัด วง ผู้ที่สนใจในการบิดเบือนวง จำกัด ควรตรวจสอบการใช้ชื่อพหุนาม Chebyshev เพื่อสร้างผล การบิดเบี้ยวของไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์

"Chebyshev polynomial" - การสร้างฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติสำคัญที่พวกเขามีวงดนตรี จำกัด - ภายในเช่นที่พวกเขาไม่แนะนำฮาร์โมนิกสเปกตรัมปลอมเนื่องจากการทับซ้อน ฯลฯWave Shaper

— endolith
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณกำลังถามอะไร หากคุณทำการดำเนินการที่ทำให้เกิดการสร้างเนื้อหาความถี่นอกภูมิภาค Nyquist ที่คุณใช้งานอยู่คุณจะเห็นนามแฝงไม่ว่าคุณจะสร้างเนื้อหาดังกล่าวอย่างไร คุณพยายามเลียนแบบอะนาล็อกชนิดใด วิธีหนึ่งอาจเป็นการเพิ่มสัญญาณให้มีอัตราตัวอย่างสูงพอสมควรก่อนจากนั้นใช้พื้นที่ Nyquist ที่กว้างขึ้นเพื่อทำการประมวลผลสัญญาณของคุณ จากนั้นคุณสามารถลดตัวอย่างกลับไปเป็นอัตราเดิมหลังจากเสร็จสิ้น

— Jason R

@ JasonR: ใช่สำหรับการสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมคุณสามารถทำวิธีการ จำกัด วงดนตรีอย่างแท้จริงเช่นการสังเคราะห์สารเติมแต่งหรือคุณสามารถประมาณโดยการยกตัวอย่างก่อนสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมแบบไร้เดียงสาจากนั้นก็ลดขนาดลง (แต่จะยังมี นามแฝงบางระดับในระดับที่ต่ำกว่า) ในทำนองเดียวกันคุณสามารถประมาณความผิดเพี้ยนตามที่คุณพูดด้วยการยกตัวอย่างก่อน แต่มีวิธีที่จะสร้างมันโดยตรงโดยไม่มีนามแฝงเป็นศูนย์ซึ่งคล้ายกับวิธีการสังเคราะห์เพิ่มเติมสำหรับการสร้างคลื่นสี่เหลี่ยม

— endolith

@ JasonR: ฉันถามเกี่ยวกับการบิดเบือนที่ไม่ใช่เชิงเส้นโดยทั่วไป แต่สิ่งที่เลียนแบบวงจรการบิดเบือนของแอมป์กีตาร์อะนาล็อกจะเป็นตัวอย่างที่ดี ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องการทำอย่างไร้เดียงสาในโดเมนดิจิทัลจะผลิตผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีการบิดเบือนเมื่อบิดเบี้ยวในโดเมนอะนาล็อกซึ่งบางอย่างอาจได้ยินอย่างชัดเจนที่ความถี่ต่ำกว่าพื้นฐาน ฯลฯ

— endolith

2

@endolith ชื่อพหุนาม Chebyshevอาจเป็นสิ่งที่คุณต้องการ

— เก็บข้อมูล

@datageist: คุณสามารถเขียนคำตอบเกี่ยวกับวิธีการใช้ชื่อพหุนาม Chebyshev ได้หรือไม่? แม้แต่เรื่องย่อ

— endolith

5

การใช้ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้นจะแนะนำฮาร์โมนิกเสมอและการผสมฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้นกับสัญญาณตัวอย่างต่อเนื่องรุ่นตัวอย่างจะเพิ่มรอยย่นที่คุณจดบันทึกไว้ด้านบน (ซึ่งฮาร์มอนิกความถี่สูง

ฉันสามารถนึกถึงวิธีต่อไปนี้:

คุณสามารถใช้ปัจจัยการสุ่มตัวอย่างสูงพอที่จะจับฮาร์โมนิกส์พิเศษ (มากถึงความแม่นยำตามอำเภอใจเช่นพื้นเสียงของคุณ)
คุณสามารถใช้ฟังก์ชั่นการตัด "เบากว่า" (ดูตัวอย่างที่นี่ ) ที่มีฮาร์โมนิกส์ที่ตายเร็วกว่า clipper ยาก รุ่นนี้ง่ายกว่า แต่แนะนำการบิดเบือนที่ความถี่ต่ำ
สร้างวิธีการที่คุณแนะนำด้านบนสอดแทรกสัญญาณตัวอย่างของคุณ (เช่นใช้ตัวแยกสัญญาณ Lagrange หรือ Chebyshev) เพื่อสร้างแบบจำลองเวลาต่อเนื่อง จากนั้นใช้ hard clipper และ low-pass ในโดเมนต่อเนื่องที่จำลองขึ้น ตัวอย่างผลลัพธ์

คุณสามารถรวม (1) และ (2) วิธีที่สามนั้นซับซ้อน แต่ให้การควบคุมที่ดีที่สุดในการยอมรับความผิดเพี้ยนของคุณและอาจจะปรับให้ดีขึ้นตามข้อกำหนดความเที่ยงตรงสูงมาก

$f(x)$

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}]

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right]$

$f(x)$ $x=g(t)$ $g(t)$ $x^n$ $g(t)^n$ $n$ $n$ $n$ คูณด้วยสัญญาณของคุณ ในการทำให้ภาพสมบูรณ์คุณจะต้องหาแอมพลิจูดที่เกี่ยวข้องกับแต่ละคำศัพท์และตัดสินใจว่ามีคำศัพท์กี่ข้อในการสรุปที่เกี่ยวข้อง

(ด้วยความคิดเล็กน้อยคุณอาจจะสามารถใช้แบบฟอร์มนี้โดยตรงเพื่อประมาณค่าความไม่เชิงเส้นที่ถูกกรองซึ่งจะต้องใช้การแสดงอนุกรมที่ดีสำหรับ clipper)

— แกรม
แหล่งที่มา

เพื่อให้ความกระจ่าง # 3 ไม่ได้เป็นเพียงแค่การประมาณค่าด้วยการประมาณค่า แต่กำลังค้นหาพารามิเตอร์ของพหุนาม Chebyshev อย่างต่อเนื่องที่เหมาะกับจุดที่สุ่มตัวอย่างแล้วทำงานกับพารามิเตอร์เหล่านั้นและแบบจำลองของพหุนาม

— endolith

1

ฉันจินตนาการถึงลำดับของพหุนามพหุนามที่แต่ละตัวมีการใช้งานในตัวอย่างระยะสั้น ดังนั้นเมื่อมีกลุ่มตัวอย่างใหม่เข้ามาคุณจะต้องสร้างตัวแทรกซึ่งจะทำงานในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น การประมาณเวลาต่อเนื่องของคุณกับสัญญาณตัวอย่างประกอบด้วยชื่อพหุนามเหล่านี้ (ฉันคิดว่าลากรองจ์ แต่ Chebyshev อาจเป็นสิ่งเดียวกันฉันจำไม่ได้ว่าผู้สอดแทรก Chebyshev ตรงกับจุดตัวอย่างแน่นอนถ้าไม่คุณจะไม่ต่อเนื่องเมื่อสลับระหว่างผู้แทรกแซง)

— Graeme

4

สองสามวิธีในการบิดเบือนแบบไม่เชิงเส้นนามแฝง (เพื่อเพิ่มความยาก):

$\frac{f_s}{2N}$ $f$ $f^{N+1}$
$N$ $2N$
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$ $N$ $M>N$
การออกแบบเชิงพีชคณิตที่มีข้อ จำกัด : ในรายการก่อนหน้านี้คุณได้เห็นว่าการลดรอยหยักแบบไม่เชิงเส้นจะนำไปสู่การกรองแบบไม่เชิงเส้น แน่นอนว่าไม่ใช่ตัวกรองไม่เชิงเส้นทั้งหมดเป็นนามแฝงฟรี แต่บางตัวอาจเป็น ดังนั้นคำถามที่ชัดเจนคือเกณฑ์ที่จะทำให้ตัวกรองนั้นปลอดนามแฝงอย่างเคร่งครัดและวิธีการออกแบบ ตามที่ปรากฎแถลงการณ์ที่เทียบเท่ากับการปราศจากนามแฝงคือตัวกรองที่ไม่ใช่เชิงเส้นจะทำการแปลด้วยตัวอย่างย่อย ดังนั้นคุณต้องแน่ใจว่ามันไม่ได้สร้างความแตกต่างถ้าคุณแปลก่อนแล้วจึงกรองหรือกรองก่อนแล้วจึงแปล เงื่อนไขนี้นำไปสู่ข้อ จำกัด การออกแบบที่เข้มงวดมากสำหรับตัวกรองแบบไม่เชิงเส้น แต่ขึ้นอยู่กับว่าคุณตระหนักถึงการแปลสัญญาณอย่างไร ตัวอย่างเช่นการแปลในอุดมคติจะต้องการค่าสัมประสิทธิ์จำนวนมากสำหรับตัวกรองแบบไม่เชิงเส้น ดังนั้นคุณต้องประมาณสัญญาณการแปลเพื่อ จำกัด เพื่อรับตัวกรองไม่เชิงเส้น จำกัด Alias-freeness ปรับขนาดด้วยการประมาณที่คุณใช้ แต่คุณสามารถควบคุมได้ดีมาก หลังจากที่คุณได้ทำงานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของวิธีการนี้แล้วคุณสามารถออกแบบฟังก์ชั่นการถ่ายโอนแบบไม่เชิงเส้นใด ๆ (ไม่เพียง แต่ราบรื่น) เป็นแบบจำลองดิจิตอลในอุดมคติเกือบในรูปแบบของตัวกรองแบบไม่เชิงเส้น ฉันอาจไม่สามารถร่างรายละเอียดที่นี่ แต่บางทีคุณอาจพบแรงบันดาลใจจากคำอธิบายนี้

— Jazzmaniac
แหล่งที่มา

y [t] = x [t]^{k}

$y[t] = x[t]^k$

หรือคำถามอื่น ๆ (ที่เกี่ยวข้อง) - ถ้าคุณใช้วิธีไฟไนต์ จำกัด ที่คุณกล่าวถึงคุณจะได้รับแผนที่จากซีรีย์พลังงานที่ถูกตัดทอนไปเป็นซีรี่ย์ที่ถูกตัดทอน เมื่อคุณพยายามที่จะลดกำลังซีรี่ย์ที่ถูกตัดทอนลงซึ่งโดยปกติแล้วจะมีฟังก์ชั่น sinc คุณจะได้รับผลการแสดงออกที่เรียบง่ายหรือไม่? ผลลัพธ์สามารถแสดงอีกครั้งเป็นชุดข้อมูลที่ถูกตัดทอนและถ้าเป็นเช่นนั้นจะมีลักษณะอย่างไร

— Mike Battaglia

1

@ MikeBattaglia บางทีคุณสามารถสร้างคำถามใหม่เพื่อที่ฉันจะได้ให้คำตอบอย่างละเอียด เพื่อตอบคำถามที่สองของคุณคุณไม่ได้ใช้เคอร์เนล SINC แต่ในกรณีที่ง่ายที่สุดคือเคอร์เนล boxcar เมล็ดที่มีลำดับสูงกว่าจะทำงานได้ แต่เพื่อให้ได้ผลการวิเคราะห์คุณจะต้อง จำกัด ตัวเองให้อยู่ในระดับที่แน่นอน

— Jazzmaniac

ขอบคุณ - สร้างคำถามใหม่ที่นี่สำหรับคำถามการออกแบบตัวกรอง: dsp.stackexchange.com/q/51533/18276

— Mike Battaglia

2

T_{n} (x) = c o s (n a r c c o s (x)) .

$T_n(x) = \mathrm{cos}(n \, \mathrm{arccos}(x)).$

$T_n(x)$

\begin{matrix} (1) & T_{n} (c o s (k x)) = c o s (n a r c c o s (c o s (k x))) = c o s (n k x) . \end{matrix}

$T_n(\mathrm{cos}(kx)) = \mathrm{cos}(n\,\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}(kx))) = \mathrm{cos}(nkx). \tag{1}$

พหุนามสามารถสร้างได้ง่าย ๆ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำต่อไปนี้:

T_{0} (x) = 1 T_{1} (x) = x T_{n} (x) = 2 x T_{n - 1} (x) - T_{n - 2} (x) .

$T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x).$

นี่คือสองสามคนแรก:

\begin{aligned} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{2} (x) = 2 x (x - 1) & = 2 x^{2} - 1 \\ T_{3} (x) = 2 x (2 x^{2} - 1) - x & = 4 x^{3} - 3 x \\ T_{4} (x) = 2 x (4 x^{3} - 3 x) - (2 x^{2} - 1) & = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1 \\ \dots \end{aligned}

$\eqalign{ T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) = 2x(x - 1) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) = 2x(2x^2 - 1) - x &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) = 2x(4x^3 - 3x) - (2x^2 - 1) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ \ldots }$

$(1)$ $T_2$ $\mathrm{cos}(x)$

\begin{aligned} 2 {c o s}^{2} (x) - 1 & = 2 {(\frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2})}^{2} - 1 \\ = \frac{2}{4} (e^{i 2 x} + 2 e^{i x} e^{- i x} + e^{- i 2 x}) - 1 \\ = (\frac{e^{i 2 x} + e^{- i 2 x}}{2}) + \frac{2}{2} - 1 \\ = c o s (2 x) . \end{aligned}

$\eqalign{2\,\mathrm{cos}^2(x) - 1 &= 2\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 - 1 \\ &= \frac{2}{4}(e^{i2x} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-i2x}) - 1 \\ &= \left(\frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}\right) + \frac{2}{2} - 1 \\ &= \mathrm{cos}(2x). }$

โดยการคำนวณแบบ Chebyshev

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} T_{n} (x)

$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}{a_n\,T_n(x)}$

$n$ $f(x)$

— นักเล่นเกม
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! สำหรับรูปคลื่นนอกเหนือจากไซน์อยด์เดี่ยวจะเกิดอะไรขึ้น การ จำกัด Bandmodulation หรือไม่?

— endolith

1

x^{n}

$x^n$

1

@ robert-bristow-johnson อธิบายสิ่งนี้อย่างชัดเจนใน comp.dsp :

คุณต้องทำเกินขอบเขตที่แน่นอน ถ้าคุณเป็นตัวแทนของ (ไม่มีหน่วยความจำฉันถือว่า) ไม่ใช่เชิงเส้นในฐานะพหุนามลำดับ จำกัด (ซึ่งใกล้เคียงกับเส้นโค้งใด ๆ ที่คุณพยายามนำไปใช้) ดังนั้นอะไรก็ตามที่เป็นพหุนามคือปัจจัยเดียวกันของการยกตัวอย่างที่ต้องการและไม่มีนามแฝง จากนั้นตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำ (ในอัตราที่เกินจริง) เพื่อกำจัดส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดที่สูงกว่า Nyquist ดั้งเดิมของคุณจากนั้นจึงกดตัวอย่างและคุณจะไม่มีนามแฝง

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าความไม่เป็นเชิงเส้นของคุณคือพหุนามความถี่สูงสุดที่สามารถสร้างได้โดยการบิดเบือนจะเป็นความถี่สูงสุดในสัญญาณของคุณคูณด้วยลำดับNของพหุนาม (ความไม่เป็นเชิงเส้นพหุนามกำลังทวีคูณสัญญาณด้วยตัวเองNครั้งดังนั้นสเปกตรัมของมันจะได้รับการโน้มน้าวกับตัวเองและกระจายออกไปในอัตราส่วนเดียวกัน)

ดังนั้นคุณจึงรู้ความถี่สูงสุด (ไม่ว่าจะเป็น Nyquist หรือขีด จำกัด ที่ต่ำกว่าสำหรับแอปพลิเคชั่นของคุณ) และคุณรู้ลำดับพหุนามดังนั้นคุณสามารถมีขนาดใหญ่พอที่จะป้องกันนามแฝงทำผิดเพี้ยนจากนั้นกรองความถี่ต่ำ

ในความเป็นจริงคุณสามารถลดอัตราการสุ่มตัวอย่างมากเกินไปโดยปล่อยให้มีนามแฝงเกิดขึ้นตราบใดที่มีอยู่ในวงดนตรีที่จะถูกลบออกก่อนการสุ่มตัวอย่าง:

เคล็ดลับเล็กน้อยอีกข้อหนึ่งคือคุณไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับนามแฝงที่จะพับลงไปยังพื้นที่ที่คุณจะออก LPF ดังนั้นพหุนามลำดับที่ 5 จำเป็นต้องมีอัตราส่วนที่เกินจริงเพียง 3 ของฮาร์โมนิก 2 อันดับแรกเหล่านั้นอาจเป็นนามแฝง แต่จะไม่กลับเข้าสู่เบสแบนด์ เมื่อสุ่มตัวอย่างคุณกรองฮาร์โมนิกที่มีนามแฝงออก ดังนั้นฉันคิดว่ากฎที่ยากและรวดเร็วคือ

อัตราส่วน oversampling = (คำสั่งพหุนาม + 1) / 2

— endolith
แหล่งที่มา

2

N

$N$

\frac{N + 1}{2}

$\frac{N+1}{2}$

f_{s}

$f_s$

@robert ฉันเห็นและเพิ่มส่วนนั้นในขณะที่คุณกำลังแสดงความคิดเห็น หากคุณเขียนใหม่นี้เป็นคำตอบของคุณเองฉันจะลบมันและยอมรับของคุณ

— endolith

1

โอ้ที่รัก เพื่อแต่งตัวคำตอบที่ดีต้องใช้งาน

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson เอาล่ะจุดเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตในจินตนาการของคุณถ้าคุณต้องการ

— Endolith