Laplace เปลี่ยนรูปแบบซ้ำซ้อนหรือไม่?

การแปลง Laplace เป็นลักษณะทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์ตั้งแต่การแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลง Laplace สำหรับ (เช่นเป็นจำนวนจินตภาพบริสุทธิ์ = ศูนย์ส่วนที่แท้จริงของ ) $s = j\omega$ $s$ $s$

การแจ้งเตือน:

ฟูเรียร์: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Laplace transform: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

นอกจากนี้สัญญาณยังสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างสมบูรณ์จากการแปลงฟูริเยร์และการแปลง Laplace

เนื่องจากส่วนหนึ่งของการแปลง Laplace เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสร้างใหม่ (ส่วนที่ ) ส่วนที่เหลือของการแปลง Laplace ( ) ดูเหมือนจะไม่เหมาะสำหรับการสร้างใหม่ ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

จริงป้ะ?

นอกจากนี้สัญญาณสามารถถูกสร้างขึ้นใหม่สำหรับส่วนอื่นของการแปลง Laplace (เช่นสำหรับหรือ ) หรือไม่ $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราคำนวณการแปลง Laplace ของสัญญาณจากนั้นเปลี่ยนเพียงจุดเดียวของการแปลง Laplace และคำนวณการแปลงผกผัน: เรากลับมาที่สัญญาณเดิมหรือไม่

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
แหล่งที่มา

ทำไมต้องลงคะแนน แม้ว่าคำถามอาจมีข้อสรุปที่ผิดพลาดซึ่งเป็นสิ่งที่คุณสามารถจัดการได้เป็นอย่างดีในการแสดงความคิดเห็นหรือคำตอบ การลดทอนคำถามอย่างเงียบ ๆ ในบางครั้งที่บางคนพยายามใช้นั้นก็ไม่เชิงสร้างสรรค์มากนัก

— Jazzmaniac

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

การแปลงฟูริเยร์และ Laplace เห็นได้ชัดว่ามีหลายสิ่งที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตามมีหลายกรณีที่สามารถใช้เพียงหนึ่งเดียวหรือสะดวกกว่าที่จะใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง

$s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

ดูที่คำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องด้วย

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ระบบอุดมคติ (ที่ไม่ใช่เชิงสาเหตุ, ไม่เสถียร): คุณจะบอกว่าสาเหตุและเสถียรหรือไม่?

— Vinz

@ user17604: ฉันหมายถึงสิ่งที่ฉันเขียน แน่นอนคุณสามารถใช้กับระบบที่เป็นสาเหตุและมั่นคง (และไม่เหมาะ) ได้ แต่การใช้งานที่สำคัญอย่างหนึ่งก็คือการวิเคราะห์ระบบในอุดมคติ (เช่นตัวกรองความถี่ในอุดมคติ) ซึ่งไม่สามารถใช้การแปลง Laplace ได้

— Matt L.

@MattL คำตอบที่ดี แต่ฉันพบว่า“ การวิเคราะห์ระบบ LTI ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นศูนย์” เกิดความสับสนระบบ LTI จะมีเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นศูนย์ได้อย่างไร

@ 0MW: ใช่ฉันอาจจะต้องพูดว่า "ระบบที่มิฉะนั้น LTI (ถ้าเริ่มพัก)"

— Matt L.