ทำไมระบบเชิงเส้นแสดงความเที่ยงตรงแบบไซน์

9

ฉันกำลังมองหาข้อพิสูจน์ถึงความจงรักภักดีแบบไซน์ ใน DSP เราศึกษาเกี่ยวกับระบบเชิงเส้นมากมาย ระบบเชิงเส้นเป็นเนื้อเดียวกันและเพิ่ม อีกเงื่อนไขหนึ่งที่ทำให้พอใจคือถ้าสัญญาณเป็นคลื่นไซน์หรือคลื่นคอสเอาต์พุตจะเปลี่ยนเฟสหรือแอมพลิจูดเพียงอย่างเดียว ทำไม? ทำไมถึงไม่สามารถเอาท์พุทที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงเมื่อได้รับคลื่นไซน์เป็นอินพุท

— Hobyist
แหล่งที่มา

1

ยินดีต้อนรับสู่ DSP เป็นคำถามที่ดีมาก!

— Phonon

5

ความเข้าใจของคุณไม่สมบูรณ์ ระบบเชิงเส้น (หมายถึงเนื้อเดียวกันและสารเติมแต่ง) ระบบไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติที่ไซน์อินพุททำให้เกิดไซน์อยด์ในความถี่เดียวกัน แต่อาจเป็นแอมพลิจูดและเฟสที่ต่างกัน คุณจำเป็นต้องกำหนดข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่ระบบยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเวลา ตัวอย่างเช่นถ้าอินพุตสร้างเอาต์พุตระบบจะเป็นเนื้อเดียวกันและเติมแต่งและดังนั้นจึงเป็นแนวตรง แต่ไม่ตรงตาม SISO (ไซน์ไซด์อินไซน์ออก ) คุณสมบัติ

x (t)

$x(t)$

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$

— Dilip Sarwate

ดิลลิป (หรือบางคน) ควรตอบว่า: "พวกเขาไม่ทำ" ระบบเชิงเส้นคงที่เวลาเท่านั้นทำ

— hotpaw2

2

เช่นเดียวกับโน้ตอีกวิธีหนึ่งที่จะวลีคำถามนี้จะเป็น "ทำไม exponentials eigenfunctionsระบบเวลาคงที่เชิงเส้น?"

— Jason R

8

ส่วนเติมเต็มที่มองเห็นได้กับคำตอบอื่น ๆ

คุณกำลังพูดถึงระบบที่เป็นเชิงเส้นและไม่แปรเปลี่ยนเวลา

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีคุณสมบัติแปลกประหลาดหนึ่งคุณสมบัติ (และสามารถกำหนดได้จริง): การทำผลลัพธ์การแปลเวลาในฟังก์ชั่นเดียวกันคูณด้วยค่าคงที่ ดังนั้น

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

กราฟิกทางคณิตศาสตร์

เลขชี้กำลังสีแดงอาจเป็นสีน้ำเงินที่หารด้วยหรือเลื่อน 1 วินาทีไปทางขวา $e$

โดยทั่วไปสิ่งนี้ยังถือเป็นเอกซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อน

คุณสามารถถ่ายภาพในใจของคุณพล็อตที่ซับซ้อนประสานเช่น ? ถ้าใช่คุณจะเห็นว่ามันเหมือนสปริง: มันหมุนไปตามระนาบเชิงซ้อนเมื่อเวลาผ่านไป $x(t)=e^{j2\pi t}$

กราฟิกทางคณิตศาสตร์

การหมุนสปริงนั้น (คูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนในวงกลมหน่วย) นั้นเหมือนกับการแปล คุณอาจเข้ามามีผลภาพนี้ในชีวิตของคุณ

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เป็นหลักการของสกรูมาตรฐานใด ๆ ด้วย

สมมติว่าเราใส่สิ่งนี้ลงในระบบเชิงเส้นเวลาคงที่ คุณจะได้รับเอาต์พุต ตอนนี้ป้อนเวอร์ชั่นหมุนของฤดูใบไม้ผลินี้ เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นเอาต์พุตจึงควรหมุนด้วยจำนวนเดียวกัน แต่เนื่องจากการหมุนนั้นเทียบเท่ากับการแปลเวลาและระบบเป็นค่าคงที่ของเวลาเอาท์พุทจึงต้องมีการแปลเวลาด้วยจำนวนเดียวกัน ดังนั้นต้องตอบสนองคุณสมบัติเดียวกันกับอินพุต: การหมุนจะต้องเท่ากับการแปลเวลาที่เฉพาะเจาะจง สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อเอาต์พุตเป็นสปริงหลายเท่าของเดิม $y$ $y$ $y$ $y$

แปลเท่าไหร่ มันเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการหมุนเหมือนมันเกิดขึ้นกับสปริง ห่วงของฤดูใบไม้ผลิแน่น (หมุนเร็วขึ้น), เวลาน้อยแปลสำหรับการหมุนบางอย่าง ยิ่งรอบของสกรูแน่นเท่าไรคุณก็ยิ่งต้องใช้รอบมากขึ้นเท่านั้น และเมื่อเสร็จสิ้นครึ่งรอบแล้วสกรูจะเป็นครึ่งทาง ... เอาท์พุทต้องตอบสนองความสัมพันธ์แบบเดียวกันดังนั้นสปริงเอาต์พุตจะหมุนด้วยความถี่เดียวกับอินพุต $y$

ในที่สุดเตือนความทรงจำ

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

\sin (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

ดังนั้นสิ่งที่เกิดขึ้นกับเลขชี้กำลังจริง ๆ แล้วไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นกับโคไซน์และไซน์ในกรณีทั่วไปมากที่สุด แต่ถ้าระบบเป็นของจริงมันเป็นเรื่องที่แตกต่าง ...

โดยทั่วไปด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เอ็กซ์โพเนนเชียลใด ๆ คือ "eigenfunction" (เอาต์พุตเป็นสัดส่วนกับอินพุต) ของระบบเชิงเส้นคงที่ของเวลา นั่นเป็นเหตุผลสำหรับระบบเหล่านี้การแปลง Z และการแปลง Laplace มีประโยชน์มาก

— โนโร
แหล่งที่มา

คุณได้ภาพเคลื่อนไหวนั้นมาจากไหน?

— Spacey

@Mohammad เอามาจากหน้าวิกิพีเดียบนสกรู Archimedes

— Rojo

คุณได้แผนแปลงไขจุก :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— endolith

@ endolith โอ้ฉันเพิ่งทำมันใน Mathematica คุณเป็นคนที่ดีกว่า;)

— Rojo

4

พิจารณาระบบที่มีการป้อนข้อมูลและเอาท์พุท(t) การกู้ยืมเงินจากสัญกรณ์คำตอบ Lars1 ของเราแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์นี้ (t) ระบบถูกกล่าวว่าเป็นระบบ linear time-invariant (LTI) หากเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: $x(t)$ $y(t)$ $x(t) \to y(t)$

เอชถ้าแล้ว(t) $x(t) \to y(t)$ $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A.ถ้า และดังนั้น $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T.ถ้า แล้วจำนวนจริงใด ๆ\ $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

คุณสมบัติHและAร่วมกันเทียบเท่ากับคุณสมบัติL

L.ถ้า และดังนั้น (t) $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

การป้อนข้อมูลเป็นระยะเพื่อระบบเวลาคงที่ผลิตออกเป็นระยะ ๆ
สมมติว่าเป็นระยะสัญญาณกับช่วงเวลา , ที่อยู่,สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดnจากนั้นจากทรัพย์สินTมันตามได้ทันทีว่านอกจากนี้ยังมีสัญญาณเป็นระยะ ๆ กับช่วงเวลาTดังนั้นเราสามารถแสดง เป็นชุดฟูริเยร์: $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$ โดยที่เป็นความถี่พื้นฐาน

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

เนื่องจากและเป็นสัญญาณเป็นระยะเราจึงมีระบบแบบคงที่ตลอดเวลาไม่ว่าจะเป็นเชิงเส้นหรือไม่ ในความเป็นจริงเชิงเส้นเวลาคงที่ระบบ (LTI) ทุกและเป็นศูนย์ยกเว้น สำหรับs_1 หากต้องการดูสาเหตุที่เป็นเช่นนั้นให้เราคำนวณการตอบสนองของระบบ LTI ต่อ $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$ ในสองวิธีที่แตกต่างกันและเปรียบเทียบผลลัพธ์

ตั้งแต่เราได้รับจากคุณสมบัติLและสมการข้างต้นที่ ในทางกลับกันเนื่องจาก เป็นรุ่นล่าช้าของจาก Property T เราจะได้ $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$ ทั้งสองชุดฟูริเยร์จะต้องเป็นเรื่องเดียวกันไม่มีสิ่งที่มีค่าของเราเลือก การเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์เราจะเห็นว่า สามารถไม่เท่ากันสำหรับทุก เว้นแต่0 ในทำนองเดียวกันสำหรับการใด ๆ , สามารถไม่เท่ากัน

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ ฯลฯ สำหรับทุก เว้นแต่0 อย่างไรก็ตามสำหรับ , แสดงว่าและในทำนองเดียวกันP_1 อีกนัยหนึ่งสำหรับระบบ LTI ตอนนี้ โดยที่และP_1) ดังนั้นคุณสมบัติ

θ

$\theta$

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$ TและHบอกเราว่า ไซนัสใด ๆของความถี่ rad / s สามารถแสดงเป็นสำหรับการเลือกที่เหมาะสมของและ และผลลัพธ์ข้างต้นคือสิ่งที่เราต้องการ

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

SISO คุณสมบัติของระบบ time-invariant เชิงเส้น:ถ้าอินพุตไปยังระบบ LTI เป็น sinusoid, เอาต์พุตเป็น sinusoid ของความถี่เดียวกัน แต่อาจเป็นแอมพลิจูดและเฟสที่ต่างกัน

นี่ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ OP ต้องการ - เขาต้องการพิสูจน์ว่าระบบเชิงเส้น (หนึ่งในคุณสมบัติHและ A (เทียบเท่าLคุณสมบัติ) แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นคุณสมบัติT ) มีคุณสมบัติ SISO แต่เป็นการพัฒนา ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าทรัพย์สินTต้องถือเพื่อที่จะพิสูจน์ได้ว่าผลที่อ่อนแอกว่าที่เป็นระยะการป้อนข้อมูลในการส่งออกเป็นระยะ

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นสุดท้ายโปรดทราบว่ามันไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนหรือทฤษฎีบทการแปลงหรือการแปลงฟูริเยร์หรือ LaPlace, แรงกระตุ้น, eigenfunctions ฯลฯ เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติ SISO มันดังต่อไปนี้จากคุณสมบัติ Lและ* Tและเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่ใช่ระยะ (ไม่ใช่เป็นระยะ ๆ อาจเกิดขึ้นสำหรับความถี่ที่ไม่เท่ากัน) ต้องการหรือไม่ เราสามารถได้อะไรบางอย่างในรูปแบบของความเป็นสากลโดยกำหนดให้เป็นสี่เหลี่ยมในช่วงเวลาการสังเกตได้หรือไม่?

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

— Lars1

@ Lars1 หากอินพุตไปยังระบบ LTI ไม่ใช่ระยะเวลาเอาต์พุตจะไม่เป็นงวดเช่นกัน เป็นกรณีเฉพาะถ้าโดยที่ไม่มีเหตุผล (ดังนั้นการป้อนข้อมูลจึงไม่เป็นระยะ) จากคุณสมบัติLเรามีที่ซึ่งเอาท์พุท ไม่เป็นระยะเช่นกัน ดังนั้นจึงไม่มีปัญหา

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t) \to A_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \A_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

— Dilip Sarwate

@Sarwate: ไม่ใช่สิ่งที่ฉันตั้งใจจะพูดขอโทษ สงสัยว่าถ้าเช่นจะถูกจัดการโดยกรณีข้างต้น หากเราต้องการช่วงเวลาการสังเกต จำกัด ด้วยสัญญาณที่รวมได้ในรูปสี่เหลี่ยมสามารถเขียนเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงการสังเกตได้ สำหรับไฟไนต์นี่น่าจะเป็นวิธีการทั่วไปมากที่สุดและการสืบทอดของคุณยังคงอยู่เท่าที่ฉันเห็น เห็นได้ชัดว่าแนวทางอนุกรมฟูริเยร์บังคับให้มีการนอกเวลาแต่ถ้าเราสนใจสัญญาณสิ่งนี้ไม่สำคัญเลย

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

— Lars1

@ Lars1 ฉันไม่เห็นด้วยกับความคิดเห็นของคุณว่าการบังคับใช้นอกเวลาไม่สำคัญ ถ้าใส่ผลิตออกในระบบ LTI แล้วใช้ SISO คุณสมบัติการชุดฟูริเยร์ไม่ให้จำกัด ให้T] สิ่งที่ได้รับคือหนึ่งช่วงเวลาของการตอบกลับเป็นระยะกับสัญญาณเป็นระยะโดยที่แต่ละครั้งที่ , ,กล่าวอีกนัยหนึ่งเซ็กเมนต์วินาทีของ

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$ ทำซ้ำเป็นระยะ (พร้อมจุด ) ตามแนวแกนเวลา

T

$T$

— Dilip Sarwate

เช่นในระบบ RF แบบไม่เชิงเส้นเรามักจะเลือกไซน์อิมมูแดนเซอร์แบบไม่รวมเพื่อให้แน่ใจว่าการจับคู่ความถี่ที่ไม่ซ้ำกันจากอินพุตไปยังเอาต์พุต ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นสัญญาณที่ไม่เป็นระยะและฉันเพิ่งสงสัยว่าทำไมคุณต้องถือว่าเป็นระยะ ๆ ซึ่งฉันดูเหมือนจะไม่รวมสัญญาณที่เกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ Squareและในช่วงเวลาการสังเกตแบบ จำกัด สามารถเขียนเป็นอนุกรมฟูริเยร์ ฉันไม่ได้ (ตั้งใจ) อ้างว่าถูกกำหนดในช่วงเวลาเดียวกันสำหรับและ BTW และอาจเป็นเวอร์ชันชดเชยเวลา ฉันจะหยุดที่นี่เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเพิ่มเติม

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

— Lars1

3

นี่คือแนวคิดของการพิสูจน์ สมมติว่าเราสามารถอธิบายผลลัพธ์ของระบบโดยการแปลง

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

โปรดสังเกตว่าฟังก์ชั่น (หรือที่รู้จักว่า "เคอร์เนล")ตามที่ฉันได้เขียนไว้ที่นี่อาจมีการเปลี่ยนแปลงเมื่อแตกต่างกันไป อย่างไรก็ตามเรามักจะตั้งสมมติฐานที่สำคัญเกี่ยวกับว่าจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา สิ่งนี้เรียกว่า "linear time-invariance" (ดูที่หน้า Wikipedia บนToeplitz matrices ) หากระบบของเราเป็นแบบแปรผันตามเส้นตรงเวลาจะเหมือนกันสำหรับใด ๆดังนั้นเราจะไม่สนใจตัวห้อยและเขียน $k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

ตอนนี้ขอบอกว่าเป็น sinusoid พูดt} ดังนั้นเรามี $f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{i ω τ} d τ = \int k (τ) e^{i ω (t - τ)} d τ = e^{i ω t} \int k (τ) e^{- i ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

สังเกตว่าสมการสุดท้ายไม่มีการพึ่งพา $t$ ! เป็นผลให้มีกำหนด\ $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

ดังนั้นเราจึงค้นพบสิ่งนั้น

y (t) = K (ω) e^{i ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือซายิสลอยด์สั่นที่ความถี่เดียวกันกับข้อมูล แต่ถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นค่าคงที่ด้วยความเคารพ (และอาจเปลี่ยนความกว้างและระยะของ เอาต์พุตที่เกี่ยวกับอินพุต) $y(t)$ $K(\omega)$ $t$

แก้ไข: ความคิดเห็นที่ระบุคำตอบนี้ค่อนข้างหลวม เป้าหมายของฉันคือการหลีกเลี่ยงการมีรายละเอียดที่แตกต่างกันเช่นรูปแบบของการแปลงฟูเรีย แต่ฉันสิ้นสุดขึ้นมหันต์ฟูริเยร์และ Laplace แปลง สิ่งที่ฉันเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ก่อนหน้านี้เป็นเพียงการแปลงฟูริเยร์หาก เป็นจินตนาการล้วนๆ ฉันตัดสินใจว่าการชี้แจงเส้นทางนี้จำเป็นต้องเพิ่มสัญกรณ์มากเกินไปดังนั้นฉันจึงผลักไปที่ตัวเอียง $s$

ตอนนี้ใช้การแปลง Laplace เพื่อจบด้วย (เนื่องจากการแปลง Laplace ใช้การแปลงแบบทวีคูณ)

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

ตอนนี้ถ้าเป็น sinusoid พูด , Laplace transform ของเป็นฟังก์ชั่นเดลต้าที่ว่า\นั่นคือ (s) ดังนั้นการแปลง Laplace ของเอาต์พุตก็เป็นฟังก์ชันเดลต้าที่ความถี่นั้น: $f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

เนื่องจากเป็นเพียงจำนวนเชิงซ้อนที่ขึ้นอยู่กับความถี่อินพุทจะเป็นไซน์ซอยด์ที่มีความถี่เท่ากันกับอินพุต แต่อาจมีแอมพลิจูดและเฟสที่ต่างกัน $K(\omega)$ $y(t)$

บังเอิญผมเพิ่งสังเกตเห็นคุณสามารถค้นหาความคิดเดียวกันที่เขียนออกมาในโดเมนเวลาที่วิกิพีเดีย คำอธิบายในระดับที่สูงขึ้น (ซึ่งคุณสามารถเพิกเฉยได้หากมันเป็นคณิตศาสตร์มากเกินไป) คือทฤษฎีระบบเชิงเส้นนั้นถูกกำหนดผ่านการดำเนินการสังวัตนาซึ่งเป็นแนวทแยงมุมโดยการแปลงฟูริเยร์ ดังนั้นระบบที่อินพุตเป็น eigenvector ของตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์จะส่งออกเฉพาะอินพุตที่ถูกปรับสัดส่วน

— อ๋อ
แหล่งที่มา

-1 คืออะไรและวิธีการที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับ ? และคุณสามารถอธิบายสิ่งที่มีความหมายโดย ? สมการของคุณเป็นเรื่องไร้สาระ

s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ฉันสงสัยว่าเขาใช้เครื่องหมายแปลง Laplace แทนสัญกรณ์ฟูริเยร์

— Jim Clay

@sydeulissie ปัญหาคือคุณยืนยันว่า K (w) คือ "แค่จำนวนเชิงซ้อน" แต่คุณไม่ได้บอกว่าทำไมมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แต่ละความถี่ นั่นคือหัวใจของการพิสูจน์

— Jim Clay

3

นี่เป็นโครงร่างที่ถูกต้อง แต่มีปัญหามากมายในรายละเอียด ไม่ใช่ downvoting แต่ควรได้รับการแก้ไข

— Phonon

1

สมมติว่าเรามีระบบที่มีอินพุตซึ่งสร้างเอาต์พุตและด้วยอินพุตเราจะได้รับเอาต์พุต(t)) ระบบเป็นเส้นตรงถ้า: $x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = a \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

โดยที่และเป็นค่าคงที่ (จริงหรือซับซ้อน) หากสมการข้างต้นไม่เป็นจริงระบบจะไม่เป็นเชิงเส้น สมการนี้สามารถใช้สำหรับสัญญาณจริงและซับซ้อนในโดเมนเวลาและความถี่ นี่เป็นเช่นเดียวกับหลักการซ้อนทับที่ถูกต้อง ดังที่ Sarwate แสดงในความคิดเห็นสิ่งนี้ไม่ได้ป้องกันระบบจากการสร้างความถี่ใหม่ เรามักจะถูกใช้เพื่อคาดคะเนความไม่แน่นอนของเวลาโดยอ้อม เหตุผลที่เป็นไปได้บ่อยครั้งที่มันเป็นไปได้ที่จะแมประบบที่แปรผันตามเวลากับระบบที่ไม่แปรเปลี่ยนเวลาโดยใช้สัญญาณควบคุมภายนอกหนึ่งสัญญาณขึ้นไป $a$ $b$

จากคำจำกัดความของความเป็นเชิงเส้นและต่อไปที่ต้องใช้ระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงเวลาเราสามารถเห็นได้โดยตรงว่าสอง (หรือมากกว่าสัญญาณ) ไม่สามารถแทรกแซงและสร้างส่วนประกอบความถี่ใหม่ในขณะที่ยังคงปฏิบัติตามข้อกำหนดเชิงเส้นตรง หลักการของการทับซ้อนยังติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความเชิงเส้น

นอกจากนี้จากการนิยามเชิงเส้นตรงแนวคิดของการโน้มน้าวใจสำหรับระบบไม่แปรผันตามเวลาเชิงเส้นเป็นไปตาม สำหรับระบบที่ไม่เชิงเส้นเรายกตัวอย่างเช่นชุด Volterra ซึ่งเป็นอินทิกรัลแบบหลายมิติ - อินทิกรัลแบบ 1 มิติเป็นกรณีพิเศษของชุด Volterra นี่เป็นวิธีที่ซับซ้อนกว่าเทคนิคเชิงเส้น แต่ขึ้นอยู่กับความสมบูรณ์ของระบบเชิงเส้นที่มาตามที่แสดงโดย @sydeulissie

เพื่อแสดงให้เห็นเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ที่เรียบง่ายของความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ความถี่ใหม่จะถูกสร้างขึ้นเราสามารถใช้(t) ให้เราแสดงก่อนว่านี่ไม่เชิงเส้น ถ้าเราใช้การป้อนข้อมูลเราได้รับการส่งออกและถ้าเราใช้การป้อนข้อมูลเราได้รับการส่งออก(t) เอาต์พุตคือ: ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = a^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot a \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

หรือ:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

และเราได้พิสูจน์แล้วว่าเป็นแบบไม่เชิงเส้น (ซึ่งแทบจะไม่น่าแปลกใจเลย) ถ้าเราใช้สัญญาณไซน์เดียวกับระบบเรามีเอาท์พุท: $x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ${\cal G}$

y (t) = x^{2} (t) = A^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{A^{2}}{2} + \frac{A^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

เอาท์พุทที่นี่มีองค์ประกอบดีซีและองค์ประกอบอื่นที่ความถี่2f_0ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นจึงสร้างส่วนประกอบความถี่ใหม่ $2f_0$ $x^2$

โดยสรุปสามารถสังเกตได้ว่าระบบเชิงเส้นอาจสร้างส่วนประกอบความถี่ที่ไม่มีอยู่ในอินพุต (ถ้าระบบเป็นตัวแปรเวลา) หากระบบเป็นค่าคงที่เชิงเส้นเวลาเอาต์พุตไม่สามารถรวมส่วนประกอบความถี่ที่ไม่มีอยู่ในอินพุต

ขอบคุณ @Sarwate สำหรับความคิดเห็นที่เกี่ยวข้องมากที่สุด

— Lars1
แหล่งที่มา

คุณพูดถูก ฉันลืมที่จะพูดถึงว่าฉันหมายถึงระบบคงที่เวลา ตัวอย่างที่คุณระบุเป็นระบบที่เปลี่ยนแปลงเวลาซึ่งตัวอย่างของคุณไม่ได้เก็บไว้ โดยปกติสัญญาณดังกล่าวเป็นถูกนำไปใช้ที่พอร์ตภายนอกเป็นสัญญาณในกรณีที่ไม่เป็นเชิงเส้น ฉันได้สังเกตเวลาส่วนหนึ่งที่ไม่เปลี่ยนแปลงในคำตอบข้างต้น

\cos (t)

$\cos(t)$

— Lars1

@DilipSarwate นั่นคือระบบ LTI เท่านั้นที่มีคุณสมบัตินั้น

— Phonon

เพียงตรวจสอบหนังสือสองเล่มเพื่อให้ปลอดภัย จริงๆแล้วดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่างในรายละเอียด คำจำกัดความหนึ่งในหนังสือของ Yang and Lee เกี่ยวกับระบบวงจรจากปี 2007 กล่าวว่า: "ระบบถูกกล่าวว่าเป็นเชิงเส้นหากหลักการซ้อนทับมีอยู่นั่นคือผลลัพธ์ของมันเป็นการรวมกันเชิงเส้นของอินพุตหลาย ๆ ตัวจะเหมือนกับการรวมเชิงเส้นของเอาต์พุต อินพุตส่วนบุคคล " ในตัวอย่างของ Sarwate นั้นเป็นแบบเชิงเส้น แต่ไม่ใช่ค่าคงที่เวลา การอ้างอิงอื่น ๆ นั้นแม่นยำน้อยกว่า ขอบคุณ @Sarwate

— Lars1

1

ความคิดเห็นที่อ้างถึงโดย Lars1 มีข้อผิดพลาดในการพิมพ์แก้ไข: พิจารณาระบบที่ผลิตออกจากการป้อนข้อมูล(t) จากนั้นสร้างเอาต์พุตเพื่อให้ระบบเป็นเส้นตรง แต่ไม่มีคุณสมบัติที่อ้างสิทธิ์

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$

x (t)

$x(t)$

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$

(a x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = a \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$

— Dilip Sarwate

@Sarwate ระบบที่สร้างเอาต์พุต x (t) cos (t) เวลาเปลี่ยนแปลงอย่างไร ฉันเป็นมือใหม่ใน DSP's

— Hobyist

1

ดังที่ Dilip Sarwate ชี้ให้เห็นเฉพาะระบบ Linear shift-invariant (LSIV) เท่านั้นที่มีคุณสมบัติ SISO (sinusoid in-sinusoid out)

คำตอบสั้น ๆ กับคำถามของคุณคือการที่ซับซ้อน exponentialsจะเป็นeigenfunctionsระบบ LSIV ตามคำจำกัดความของ eigenfunction ถ้าอินพุตเป็น eigenfunction (ไซน์ / cos สามารถแทนด้วยเลขชี้กำลังเชิงซ้อนตามสูตรของออยเลอร์) ผลลัพธ์เป็นเพียงผลผลิตของอินพุตและค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันซึ่งอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนและนั่นคือ ตำแหน่งที่เปลี่ยนเฟส / แอมพลิจูดมาจากไหน $e^{\jmath \omega t}$

— chaohuang
แหล่งที่มา