การสุ่มตัวอย่างของฟังก์ชั่นต่อเนื่อง: Kronecker's หรือ Dirac's delta?

ฉันอ่านบทความเกี่ยวกับสัญญาณและฉันสับสนมากเกี่ยวกับปัญหาในชื่อคำถามของฉัน พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลา ,ที่ฉันตัวอย่างในช่วงเวลาที่ไม่สม่ำเสมอที่ N สำหรับฉันแล้วมันสมเหตุสมผลแล้วที่ฟังก์ชันตัวอย่างคือ: โดยที่คือdelta ของ Kronecker (เท่ากับเมื่อศูนย์อื่น ๆ ) อย่างไรก็ตามในบทความนี้ผู้เขียนกำหนดสัญญาณตัวอย่างเป็น: ที่ไหน $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ เป็นฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac และฉันไม่เข้าใจว่าทำไมปรากฏที่นี่ (ผู้เขียนอ้างว่าฟังก์ชั่นการสุ่มตัวอย่างเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันเดลต้า และที่นี่เขาเลือกฉันไม่ได้จริงๆ เข้าใจว่าทำไม) ประโยคสุดท้ายนี้ไม่สมเหตุสมผลกับฉัน: สัญญาณตัวอย่างจะมีแอมพลิจูดไม่สิ้นสุดที่ !

1 / N

$1/N$

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

แม้จะมีทั้งหมดนี้มันง่ายกว่ามากในการกำหนด Fourier Transform ของในกรณีที่สอง (สมการ ) เพราะมันเป็นเพียงการบิดของฟังก์ชันหน้าต่าง (FT ของหวี Dirac) และ FT ของสัญญาณต่อเนื่อง , ในขณะที่สมการ FT นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากเรามีฟังก์ชันจำนวนเต็ม (delta Kronecker) คูณด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง ( ) ไฮไลท์ใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
แหล่งที่มา

การสร้างแบบจำลองของกระบวนการสุ่มตัวอย่างผ่านการทวีคูณสัญญาณต่อเนื่องโดยรถไฟของ Dirac impulses เป็นการตีความที่พบบ่อยที่สุดในประสบการณ์ของฉัน หากคุณขุดลึกลงไปมากพอคุณจะพบว่ามีความขัดแย้งเกี่ยวกับความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ของวิธีการนี้ * แต่ฉันจะไม่กังวลกับมัน มันเป็นแบบจำลองที่สะดวกสำหรับกระบวนการ ไม่มีตัวกำเนิดแรงกระตุ้นภายใน ADC ของโทรศัพท์มือถือของคุณที่สร้างสายฟ้าเป็นระยะซึ่งจะเพิ่มอินพุตแบบอะนาล็อกเป็นทวีคูณ

ดังที่คุณบันทึกไว้คุณไม่สามารถคำนวณการแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องของฟังก์ชัน Kronecker delta เนื่องจากโดเมนไม่ต่อเนื่อง (จำกัด เฉพาะจำนวนเต็ม) ในทางกลับกันฟังก์ชัน Dirac delta มีการแปลงฟูริเยร์อย่างง่ายและผลของการคูณสัญญาณโดยรถไฟของแรงกระตุ้น Dirac นั้นง่ายต่อการแสดงเนื่องจากคุณสมบัติการกลั่นกรอง

*: เป็นตัวอย่างถ้าคุณจะต้องแม่นยำทางคณิตศาสตร์คุณจะบอกว่าเดลต้า Dirac ไม่ใช่ฟังก์ชั่น แต่เป็นการแจกจ่ายแทน แต่ในระดับวิศวกรรมประเด็นเหล่านี้เป็นเพียงความหมาย

แก้ไข:ฉันจะพูดถึงความคิดเห็นด้านล่าง คุณให้รูปแบบจิตของกระบวนการสุ่มตัวอย่างเป็น:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

ปัญหาของการตีความนี้คือโมเดลการสุ่มตัวอย่างในอุดมคติโดยทั่วไปไม่ได้มีการรวมเข้าด้วยกัน แต่มันเป็นการคูณสัญญาณอินพุตที่บริสุทธิ์โดยรถไฟ Dirac Impulse หากคุณดูสมการที่คุณแสดงให้เห็นมากขึ้นสำหรับคุณจะเห็นว่าทางด้านขวามือไม่มีตัวแปรอิสระ คือตัวแปรจำลองของการรวม สำหรับด้านบนตามคุณสมบัติการกรองของ Dirac Impulseคุณจะได้รับ: $f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

ซึ่งไม่ถูกต้อง รูปแบบของสัญญาณตัวอย่างคือ:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

ซึ่งจะคล้ายกับข้างต้นยกเว้น generalizing สำหรับรถไฟอนันต์แรงกระตุ้นยาวตามแนวแกนเวลาและสมมติว่าข้อมูลจะถูกเก็บตัวอย่างสม่ำเสมอในแต่ละเวลาโดยโฮเทล การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณที่ได้คือ: $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

หากเรากำหนดสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องเวอร์ชั่นตัวอย่างของสัญญาณให้เป็นดังนั้นคุณจะเหลือ: $f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

ซึ่งจะตรงความหมายของการที่ไม่ต่อเนื่องเวลาฟูเรียร์

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

คุณจะจัดการกับความจริงที่ว่าแอมพลิจูดนั้น "ไม่มีที่สิ้นสุด" ได้อย่างไร? สิ่งที่ฉันมีความคิดมักจะเป็นจริงที่คุณทำไม่ได้ "ตัวอย่าง" สัญญาณในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องแต่คุณรวมสัญญาณสำหรับเวลาที่กำหนดt_k อย่างไรก็ตามการตีความนี้จะละเมิดรูปแบบใด ๆ ของการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ด้วยเหตุผลเดียวกันกับ Kronecker delta นอกจากนี้ ... ทำไมผู้เขียนบทความในลิงก์ที่ฉันให้แบ่งหวี Dirac โดย ? นั่นไม่สมเหตุสมผลเลยสำหรับฉัน

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

— Néstor

ในทางปฏิบัติคุณพูดถูก มี "เวลาการรวม" ที่มีประสิทธิภาพเสมอของสัญญาณอะนาล็อกเนื่องจากแบนด์วิดท์ จำกัด ของส่วนหน้าแอนะล็อกใด ๆ ของ ADC อย่างไรก็ตามโครงสร้างทางทฤษฎีไม่ได้ถูก จำกัด โดยข้อกังวลดังกล่าว พูดอย่างหยาบ ๆ ว่า "ความสูงไม่สิ้นสุด" ของแรงกระตุ้นนั้นสมดุลโดย "ความกว้างเป็นศูนย์" ของมันซึ่งมันรวมเข้ากับความสามัคคี หากคุณใช้การตีความการรวมเวลาสั้น ๆ ของคุณในกรณีนี้ (คูณด้วยแรงกระตุ้น, การรวมสำหรับช่วงเวลาสั้น ๆ แบบ infinitestimally) จากนั้นด้วยคุณสมบัติการกรองคุณจะได้รับตามปกติ นำเสนอ

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

— Jason R

ใช่ แต่ความกังวลของฉันไม่ได้อยู่ที่การตีความ แต่เป็นการเปลี่ยนฟูริเยร์ด้วย สมมติว่าฉันเขียนกระบวนการสุ่มตัวอย่างที่เรากำลังพูดถึงเป็น:คุณจะแปลงฟูริเยร์ได้อย่างไร? ฉันรู้เคล็ดลับเมื่อแต่นั่นก็ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน (และมันก็ยากกว่าที่จะทำ FT!) แม้จะคิดว่าเป็นวิธีที่ฉันไม่ได้รับฟังก์ชั่นหน้าต่างเดียวกับในกระดาษของ Roberts et al ที่ฉันอ้างถึง และฉันก็ยืนยันว่านั้นไม่มีเหตุผลใด ๆ กับฉัน

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

— Néstor

ตกลงกับการแก้ไขของคุณและข้อผิดพลาดของฉันในความคิดเห็นของฉันด้านบน อย่างไรก็ตามฉันยังไม่สามารถตัดสินใจเกี่ยวกับความจริงที่ว่าแรงกระตุ้นมีแอมพลิจูดไม่สิ้นสุดที่ขอบคุณเดลต้าของเดรักแรคคือในขณะที่สิ่งที่เราสังเกต (และต้องการ เป็นรุ่น) คือ

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$

— Néstor