ทำไมส่วนที่แท้จริงของ FFT จึงแปลงภาพเป็นการหมุน + ดั้งเดิม

16

ฉันได้อ่านภาพนี้:

นำ FFT ของมัน (2D) แล้ว Inverse FFT เพื่อให้ได้ภาพกลับมาอย่างแน่นอน รหัสที่ให้ไว้สำหรับการอ้างอิง:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

แต่เมื่อฉันเปลี่ยนฟูเรียร์และมีส่วนที่แท้จริงเท่านั้น

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

ฉันได้รับภาพเช่นนี้ ( โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดไม่เกี่ยวข้องและเนื่องจากการบันทึกจากตัวจัดการรูป Matlab ):

ใครสามารถอธิบายทฤษฎี (คณิตศาสตร์) ที่อยู่เบื้องหลังฉันได้ไหม ขอบคุณ

image-processing fft fourier-transform

— นักวิทยาศาสตร์ล้มเหลว
แหล่งที่มา

16

สมมติว่าภาพของคุณจะได้รับจากy) จากนั้นการแปลงฟูริเยร์จะได้รับจาก $I(x,y)$

{ผม}^{ฉ} (ω_{x}, ω_{Y}) = \int_{x} \int_{Y} ผม (x, Y) {อี}^{J ω_{x} x} {อี}^{J ω_{Y} Y} d x d Y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

ตอนนี้คุณมีส่วนที่แท้จริงและทำสิ่งที่ตรงกันข้าม:

\begin{aligned} {ผม}_{ม.} (α, β) & = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{Y}} ℜ {{ผม}^{ฉ} (ω_{x}, ω_{Y})} {อี}^{J ω_{x} α} {อี}^{J ω_{Y} β} d ω_{x} d ω_{Y} \\ = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{Y}} ℜ {\int_{x} \int_{Y} ผม (x, Y) {อี}^{J ω_{x} x} {อี}^{J ω_{Y} Y} d x d Y} {อี}^{J ω_{x} α} {อี}^{J ω_{Y} β} d ω_{x} d ω_{Y} \\ = \int_{x} \int_{Y} ผม (x, Y) \int_{ω_{x}} \int_{ω_{Y}} ℜ {{อี}^{J ω_{x} x} {อี}^{J ω_{Y} Y}} {อี}^{J ω_{x} α} {อี}^{J ω_{Y} β} d ω_{x} d ω_{Y} d x d Y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

คุณจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าอินทิกรัลภายในคือการแปลงฟูริเยร์แบบสองมิติของ ซึ่งเป็น

\cos (ω_{x} x) \cos (ω_{Y} Y) + บาป (ω_{x} x) บาป (ω_{Y} Y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (x - α) δ (Y - β) + δ (x + α) δ (Y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

การแทนที่ผลลัพธ์เป็นให้ผลลัพธ์ $I_m$

{ผม}_{ม.} (x, Y) = \frac{1}{2} [ผม (x, Y) + ผม (- x, - Y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

แน่นอนในกรณีของคุณอย่างไรก็ตามการแปลงฟูเรียร์โดยสิ้นเชิงถือว่าสัญญาณของคุณคือ -periodicและคุณได้รับ โดยที่คือขนาดของภาพของคุณ ฉันคิดว่าคุณสามารถเห็นได้ตอนนี้ทำไมคุณถึงได้ผลลัพธ์ $x,y>0$ $N$

{ผม}_{ม.} (x, Y) = \frac{1}{2} [ผม (x, Y) + ผม (ยังไม่มีข้อความ - x, M - Y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— THP
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี! +1

— Peter K.

3

I think you can see now why got that result.ใช่. อย่างไรก็ตามเนื่องจากคำถามนี้เข้ามาในรายการ HNQ คุณอาจลองเพิ่มขั้นตอนสุดท้ายสำหรับผู้ที่เข้ามาจากไซต์ที่มีการคำนวณทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า

— เสา

9

THP ผลที่ได้นอกจากนี้ยังอาจกล่าวได้ง่ายมากในแง่: ถ้าคุณมีชุดข้อมูลที่หมดจดจริงมัน (ผกผัน) ฟูเรียร์จะมีความสมมาตรเทียน: หากคุณพบว่าค่าที่ตำแหน่งแล้ว คุณจะพบค่าคอนจูเกตที่ซับซ้อนที่ตำแหน่งสะท้อนจุดเกี่ยวกับจุดกำเนิด โปรดทราบว่าต้นกำเนิดที่นี่จะเป็นศูนย์กลางของฟูริเยร์ - สเปซ ซึ่งสามารถปรับรูปแบบได้ใหม่หากองค์ประกอบ DC ไม่ได้อยู่ในศูนย์กลางของการใช้งาน FFT ของคุณ และนี่คือสิ่งที่คุณเห็นในภาพของคุณ: รุ่นที่มีจุดสะท้อนซ้อนทับภาพจริง - เพราะคุณบังคับให้เว้นวรรคหนึ่งค่าจริง $z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$

คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อเร่งการถ่ายภาพด้วยคลื่นสนามแม่เหล็ก (MRI) ในบางกรณี: MRI ได้รับข้อมูลโดยตรงในพื้นที่ฟูริเยร์ เนื่องจากภาพ MR ที่สมบูรณ์แบบสามารถอธิบายได้ด้วยค่าจริงเท่านั้น (เวกเตอร์การสะกดจิตที่น่าตื่นเต้นทั้งหมดมีเฟส 0) คุณจึงต้องได้รับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ข้อมูลซึ่งช่วยให้คุณประหยัดเวลาในการถ่ายภาพเพียงครึ่งเดียว แน่นอนว่าภาพ MR ไม่ได้มีคุณค่าอย่างแท้จริงเนื่องจากข้อ จำกัด ของความเป็นจริง ... แต่ด้วยเทคนิคเล็กน้อยคุณยังสามารถใช้เทคนิคนี้ได้อย่างได้ผล

— M529
แหล่งที่มา

2

ฉันชอบวิธีง่ายๆในการระบุคำตอบเดียวกับที่ ThP ให้ไว้ และขอขอบคุณสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับ MRI ไม่รู้เรื่องนั้น

— นักวิทยาศาสตร์ล้มเหลว