เหตุใดเฟสเชิงเส้นจึงมีความสำคัญ

16

หากตรงตามเงื่อนไขที่สมมาตรตัวกรอง FIR จะมีเฟสเชิงเส้น สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับตัวกรอง IIR

อย่างไรก็ตามสำหรับแอปพลิเคชันใดที่ไม่ดีที่จะใช้ตัวกรองที่ไม่มีคุณสมบัตินี้และสิ่งที่จะเป็นผลกระทบเชิงลบ?

filters filter-design fir

17

ตัวกรองเชิงเส้นเฟสจะรักษา waveshapeของสัญญาณหรือส่วนประกอบของสัญญาณอินพุต (เท่าที่เป็นไปได้เนื่องจากความถี่บางอย่างจะมีการเปลี่ยนแปลงในแอมพลิจูดโดยการกระทำของตัวกรอง)

สิ่งนี้อาจมีความสำคัญในหลายโดเมน:

การประมวลผลสัญญาณที่สอดคล้องกันและ demodulationที่ waveshape มีความสำคัญเนื่องจากการตัดสินใจ thresholding จะต้องทำใน waveshape (อาจจะอยู่ในพื้นที่การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและหลายเกณฑ์เช่นกรัม Q Q มอดูเลต) เพื่อที่จะตัดสินใจว่าสัญญาณที่ได้รับเป็นตัวแทน "1 "หรือ" 0 " ดังนั้นการรักษาหรือกู้คืน waveshape ที่ส่งมา แต่เดิมนั้นมีความสำคัญสูงสุดการตัดสินใจที่ไม่ถูกต้องจะทำการตัดสินใจที่ไม่ถูกต้องซึ่งจะแสดงถึงข้อผิดพลาดเล็กน้อยในระบบการสื่อสาร
การประมวลผลสัญญาณเรดาร์ที่ waveshape ของสัญญาณเรดาร์ที่ส่งคืนอาจมีข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับคุณสมบัติของเป้าหมาย
การประมวลผลเสียงที่บางคนเชื่อ (แม้ว่าหลายคนแย้งความสำคัญ) ว่า "การจัดแนวเวลา" ส่วนประกอบต่าง ๆ ของ waveshape ที่ซับซ้อนเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำซ้ำหรือการบำรุงรักษาคุณภาพที่ละเอียดอ่อนของประสบการณ์การฟัง (เช่น "ภาพสเตอริโอ" และอื่น ๆ )

— AndyW
แหล่งที่มา

4

(ฉันได้ทำการทดสอบการฟัง ABX และสามารถแยกแยะระหว่างครอสโอเวอร์ Linkwitz-Riley ครอสโอเวอร์แบบจำลองลำดับที่ 8 โดยไม่มีเสียงหุนหันพลันแล่นกลายเป็น "เสียงกระตุก" เนื่องจากความถี่สูงมาถึงเร็วกว่าเสียงต่ำดังนั้น # 3 จึงไม่ทั้งหมด ลึกซึ้ง)

— endolith

1

จำเป็นต้องพูดว่าคุณสมบัติการเก็บรักษารูปคลื่นนั้นใช้ได้เฉพาะกับสัญญาณ narrowband เท่านั้น ... Othewise (สำหรับสัญญาณ wideband ทั่วไป) ตัวกรอง (ไม่ว่าเฟสเชิงเส้นหรือไม่) จะเปลี่ยนรูปร่างของสัญญาณมากเท่ากับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ .

— Fat32

18

ให้ฉันเพิ่มกราฟิกต่อไปนี้เพื่อคำตอบที่ดีที่ได้รับแล้ว

เมื่อกรองมีเชิงเส้นเฟสแล้วทุกความถี่ภายในสัญญาณที่จะล่าช้าจำนวนเดียวกันเวลา (ตามที่อธิบายไว้ในคำตอบทางคณิตศาสตร์ของ Fat32)

สัญญาณใด ๆ สามารถย่อยสลายได้ (ผ่าน Fourier Series) เป็นส่วนประกอบความถี่แยกต่างหาก เมื่อสัญญาณล่าช้าผ่านช่องสัญญาณใด ๆ (เช่นตัวกรอง) ตราบใดที่ส่วนประกอบความถี่เหล่านั้นทั้งหมดล่าช้าในปริมาณเท่ากันสัญญาณเดียวกัน (สัญญาณที่น่าสนใจภายใน passband ของช่อง) จะถูกสร้างขึ้นใหม่หลังจากความล่าช้า .

ลองพิจารณาคลื่นสี่เหลี่ยมซึ่งผ่านการขยายอนุกรมของฟูริเยร์นั้นถูกสร้างขึ้นจากจำนวนความถี่ฮาร์มอนิกที่ไม่สิ้นสุด

ในภาพด้านบนฉันแสดงผลรวมของสามองค์ประกอบแรก หากส่วนประกอบเหล่านี้ทั้งหมดล่าช้าในจำนวนเดียวกันรูปคลื่นของดอกเบี้ยจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อรวมองค์ประกอบเหล่านี้ อย่างไรก็ตามการบิดเบือนล่าช้ากลุ่มที่สำคัญจะส่งผลให้หากองค์ประกอบความถี่แต่ละรายการได้รับล่าช้าในเวลาที่แตกต่าง

ต่อไปนี้อาจช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้นสำหรับผู้ที่มีพื้นหลัง RF หรืออนาล็อกบางส่วน

พิจารณาถึงความล่าช้าในการเชื่อมต่อบรอดแบนด์ที่เหมาะสมกับ lossless (เช่นประมาณความยาวของสายโคแอกเซียล) ซึ่งสามารถส่งสัญญาณ wideband ได้โดยไม่ผิดเพี้ยน

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของสายเคเบิลดังกล่าวแสดงในภาพด้านล่างโดยมีขนาด 1 สำหรับความถี่ทั้งหมดและเฟสเพิ่มขึ้นในสัดส่วนเชิงเส้นตรงกับความถี่ ยิ่งสายยาวมากเท่าไหร่ความชันของเฟสก็ยิ่งนานขึ้นเท่านั้น แต่ในทุกกรณี "เฟสเชิงเส้น"

เรื่องนี้ทำให้รู้สึก; การหน่วงเฟสของสัญญาณ 1 Hz ที่ส่งผ่านสายเคเบิลที่มีการหน่วงเวลา 1 วินาทีจะเป็น 360 °ในขณะที่สัญญาณ 2 Hz ที่มีการหน่วงเวลาเดียวกันจะเท่ากับ 720 ° ฯลฯ

การนำสิ่งนี้กลับสู่โลกดิจิตอล $z^{-1}$ คือการแปลง z ของการหน่วงเวลาตัวอย่าง 1 ครั้ง (ดังนั้นเส้นการหน่วงเวลา) ด้วยการตอบสนองความถี่ที่คล้ายกันกับสิ่งที่แสดงในรูปของ H (z); ขนาดคงที่ = 1 และเฟสที่ไปเป็นเส้นตรงจาก $0$ ถึง $-2\pi$ จาก f = 0 Hz ถึง f = fs (อัตราการสุ่มตัวอย่าง)

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือเฟสที่เป็นเส้นตรงกับความถี่และการหน่วงเวลาคงที่คือคู่การแปลงฟูริเยร์ นี่คือคุณสมบัติการเปลี่ยนของการแปลงฟูริเยร์ ความล่าช้าเวลาอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาของการ $\tau$ วินาทีผลลัพธ์ในขั้นตอนการเชิงเส้นในความถี่ $-\omega \tau$ ที่ $\omega$ คือความถี่เชิงมุมแกนเรเดียน / วินาที:

F {ก. (เสื้อ - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} ก. (เสื้อ - τ) {อี}^{J ω เสื้อ} d เสื้อ

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

ยู = เสื้อ - τ

$u = t - \tau$

F {ก. (ยู)} = \int_{- \infty}^{\infty} ก. (ยู) {อี}^{- J ω (ยู + τ)} d ยู

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= {อี}^{- J ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} ก. (ยู) {อี}^{- J ω ยู} d ยู

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= {อี}^{- J ω τ} G (J ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— แดนบอสเฉิน
แหล่งที่มา

3

Dan กราฟที่มีความสุขและเศร้าหน้าของคุณทำให้ฉันหัวเราะดัง ๆ ว่ามันให้ข้อมูลแค่ไหน! ทำได้ดีมาก!

— โอรีโอ

12

เพียงเพิ่มสิ่งที่พูดไปแล้วคุณสามารถดูสิ่งนี้ได้อย่างสังหรณ์ใจโดยดูที่ไซน์ไซด์ต่อไปนี้พร้อมกับความถี่ที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก

การเลื่อนสัญญาณนี้ไปทางขวาหรือซ้ายจะเป็นการเปลี่ยนเฟส แต่โปรดทราบด้วยว่าการเปลี่ยนเฟสจะมีขนาดใหญ่ขึ้นสำหรับความถี่ที่สูงขึ้นและเล็กลงสำหรับความถี่ที่ต่ำกว่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งเฟสก็เพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามความถี่ ดังนั้นการเปลี่ยนเวลาคงที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเฟสเชิงเส้นในโดเมนความถี่

— orodbhen
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดีที่สุด

— เฟลิกซ์ Crazzolara

11

τ (ω) = - \frac{d φ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

แล้วผลของตัวกรองที่มีเฟสไม่เป็นเชิงเส้น (หรือความล่าช้าของกลุ่มขึ้นกับความถี่) ในสัญญาณอินพุตคืออะไร ตัวอย่างง่ายๆคือสัญญาณอินพุตที่ซับซ้อนซึ่งถือว่าเป็นผลรวมของหลาย ๆ แพ็กเกจที่ความถี่กลางที่แตกต่างกัน หลังจากการกรองแต่ละแพ็คเก็ตที่มีความถี่ศูนย์กลางเฉพาะจะถูกเลื่อน (ล่าช้า) แตกต่างกันไปเนื่องจากความล่าช้าของกลุ่มขึ้นอยู่กับความถี่ และสิ่งนี้จะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในลำดับเวลา (หรือลำดับอวกาศ) ของแพ็กเก็ตคลื่นซึ่งบางครั้งก็รุนแรงขึ้นอยู่กับว่าเฟสไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งเรียกว่าการกระจายตัวในการสื่อสารปลายทาง ไม่เพียง แต่คอมโพสิต waveshape แต่ยังมีบางคำสั่งของเหตุการณ์อาจหายไป ช่องทางกระจายสัญญาณชนิดนี้มีผลกระทบรุนแรงเช่น ISI (การรบกวนสัญลักษณ์ระหว่าง) กับข้อมูลที่ส่ง

คุณสมบัตินี้ของฟิลเตอร์เฟสเชิงเส้นจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อคุณสมบัติการถนอมรักษารูปคลื่นซึ่งใช้ได้กับสัญญาณแคบแบนด์โดยเฉพาะ ตัวอย่างที่รูปแบบของคลื่นมีความสำคัญนอกเหนือจาก ISI ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นอยู่ในการประมวลผลของภาพซึ่งข้อมูลเฟสการแปลงฟูริเยร์มีความสำคัญยิ่งเมื่อเทียบกับขนาดของการแปลงฟูริเยร์เพื่อความชัดเจนของภาพ อย่างไรก็ตามไม่สามารถพูดเช่นเดียวกันสำหรับการรับรู้สัญญาณเสียงเนื่องจากความไวของหูต่อการกระตุ้นที่แตกต่างกัน

— Fat32
แหล่งที่มา

เฟสเชิงเส้นทั่วไปที่มีความหมายในบริบทนี้คืออะไร

1

@ 0MW ฉันคิดว่ามันหมายความว่าการเปลี่ยนเฟสคงที่ยังได้รับอนุญาตในขณะที่ฮิลแบร์ตเปลี่ยน

— Olli Niemitalo

10

คำตอบสำหรับคำถามนี้มีการอธิบายไว้อย่างชัดเจนในคำตอบก่อนหน้า แต่ฉันต้องการที่จะลองนำเสนอการตีความทางคณิตศาสตร์ของสิ่งเดียวกัน

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

a R ก. (H (W)) = K W

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

Y (เสื้อ) = | H (W) | * * * * {อี}^{J W_{0} เสื้อ + J K W_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H (W) | * * * * {อี}^{J W_{0} (เสื้อ + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

ดังนั้นหากเฟสเป็นเชิงเส้นส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดของสัญญาณจะได้รับการหน่วงเวลาเท่ากันในโดเมนเวลาซึ่งส่งผลให้เกิดการคงรูป

— SakSath
แหล่งที่มา

1

ฉันจะใส่บทสรุปสำหรับคำตอบที่ดีดังกล่าวข้างต้น:

การขยับสัญญาณในโดเมนเวลาจะส่งผลให้เฟสกะเป็นสัดส่วนกับความถี่ดังนั้น f (t + dt) จะเป็น F (f) e (j2πfdt)
เมื่อตัวกรองที่มีเฟสซับตอบสนองความถี่ทั้งหมดของสัญญาณอินพุตไปที่ตัวกรองนี้จะถูกเลื่อนด้วยจำนวนเท่ากันในโดเมนเวลาดังนั้นสิ่งนี้จะนำไปสู่ความเป็นไปได้ในการนันทนาการของสัญญาณอินพุต

— Youssef Rafaat
แหล่งที่มา