ความแปรปรวนร่วมกับความสัมพันธ์อัตโนมัติ

13

ฉันพยายามที่จะคิดออกว่ามีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างแนวคิดเหล่านี้ อย่างเคร่งครัดจากคำจำกัดความพวกเขาดูเหมือนจะเป็นแนวคิดที่แตกต่างกันโดยทั่วไป ยิ่งฉันคิดถึงมันมากเท่าไหร่ฉันก็ยิ่งคิดว่าพวกมันคล้ายกันมากเท่านั้น

ให้ $X,Y$ เป็นเวกเตอร์สุ่ม WSS ความแปรปรวนร่วม $C_{XY}$ กำหนดโดย

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$ โดยที่

H

$H$ หมายถึง Hermitian ของเวกเตอร์

ให้เป็นเวกเตอร์สุ่มของ WSS ฟังก์ชั่น autocorrelation, , มอบให้โดย $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

แก้ไขหมายเหตุมีการแก้ไขคำจำกัดความนี้ตามที่ใช้กับการประมวลผลสัญญาณดูคำตอบของ Matt ด้านล่าง

ความแปรปรวนร่วมไม่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของเวลามันถือว่าแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์แบบสุ่มเป็นการก่อให้เกิดความแตกต่างของเครื่องกำเนิดแบบสุ่ม ความสัมพันธ์อัตโนมัติถือว่าเวกเตอร์แบบสุ่มเป็นวิวัฒนาการเวลาของตัวสร้างแบบสุ่มเริ่มต้น แต่ในท้ายที่สุดแล้วพวกเขาทั้งสองเป็นเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกันลำดับของตัวเลข ถ้าคุณปล่อยให้มันจะปรากฏขึ้นมีอะไรที่ฉันขาดหายไปอีกหรือเปล่า? $X=Y=Z$

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— rbell
แหล่งที่มา

นิยามของ AutoCorrelationระบุไว้อย่างไม่ถูกต้องในคำถามตามที่ Matt

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

12

ตามความหมายของอัต, อัตเป็นเพียงความแปรปรวนของทั้งสองตัวแปรสุ่มและtau) ฟังก์ชั่นนี้จะเรียกว่าautocovariance $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

นอกเหนือจากในการประมวลผลสัญญาณความสัมพันธ์อัตโนมัติมักจะถูกกำหนดเป็น

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

เช่นโดยไม่ลบค่าเฉลี่ย autocovariance ได้รับจาก

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

ฟังก์ชันทั้งสองนี้เกี่ยวข้องกัน

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

หากคุณดูที่เป็นตัวแปรแล้วความสัมพันธ์อัตโนมัติจะกลายเป็นฟังก์ชันของ "ช่องว่างเวลา" ซึ่งสามารถให้ข้อมูลที่น่าสนใจมากเกี่ยวกับชุดข้อมูล ดูที่ความสัมพันธ์ระหว่าง autocorrelation การแปลงฟูริเยร์โดยสิ้นเชิงและทฤษฎี Wiener – Khinchin

τ

$\tau$

— PhilMacKay

@PhilMacKay: แน่นอน แต่ใช้ได้กับกระบวนการ WSS เท่านั้น ฉันให้คำจำกัดความสำหรับกรณีทั่วไปโดยที่กระบวนการไม่จำเป็นต้องหยุดนิ่ง

— Matt L.

ใช่กระบวนการที่ไม่หยุดนิ่งสามารถสร้างความรำคาญให้กับการวิเคราะห์ข้อมูลซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมฉันจึงพยายามลดแนวโน้มข้อมูลก่อนที่จะใช้เครื่องมือทางสถิติที่ฉันรัก! มันเป็นไปไม่ได้เสมอไป ...

— PhilMacKay

0

แจ้งให้ทราบว่านิยามของอัตรวมถึงเพิ่มระยะซึ่งระบุชดเชยจากสองลำดับของจำนวนและtau) ในความเป็นจริงสัญกรณ์แนะนำว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดไว้สำหรับในขณะที่เป็นสเกลาร์ $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

ในขณะที่คุณกล่าวถึงถ้าคุณปล่อยให้แล้วคุณจะหมายความว่าซึ่งเป็นหนึ่งในกรณีพิเศษของtau) $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

จากประสบการณ์ส่วนตัวของฉัน (astrophysics, การประมวลผลเซ็นเซอร์ต่าง ๆ ), ความแปรปรวนร่วมถูกใช้เป็นค่าสัมประสิทธิ์ในการตรวจสอบความคล้ายคลึงกันของชุดข้อมูลสองชุดในขณะที่ autocorrelation อย่างสิ้นเชิง

— PhilMacKay
แหล่งที่มา