ทำไมรูปแบบMoiréนี้มีลักษณะเช่นนี้?

ฉันกำลังทำการแปลง gifs ของ Mobius ใน Matlab และรูปแบบแปลก ๆ บางอย่างก็เริ่มปรากฏขึ้น ฉันไม่แน่ใจว่าจำเป็นต้องมีความรู้ลึกเกี่ยวกับประเภทไฟล์ / อัลกอริทึมเพื่อเข้าใจปรากฏการณ์นี้หรือไม่ แต่ฉันคิดว่าอาจมีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง ภาพที่ได้มาจากการระบายสีระนาบที่ซับซ้อนเหมือนกระดานหมากรุกแล้วกลับหัวกลับหางโดยการใช้ส่วนร่วมของคอนจูเกตที่ซับซ้อน นี่คือ psuedocode คณิตศาสตร์สำหรับภาพที่มีการซูม :$k$

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

และนี่คือภาพเพื่อ$k=1$ , $k=50$และK$k=200$ความละเอียดของภาพแต่ละภาพเป็น$1000\times 1000$1000 ฉันไม่มีพื้นฐานในการประมวลผลสัญญาณ แต่ฉันอยากเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ !

แก้ไข:

• ทำไมรูปแบบของMoiréจึง 'ซิงค์' กับความละเอียดของภาพในบางจุด
• สามารถทำนายลวดลายของMoiréได้หรือไม่?

คุณจะต้องเข้าใจทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง ในระยะสั้นแต่ละสัญญาณมีสิ่งที่เราเรียกสเปกตรัม ¹ซึ่งเป็นการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณที่มาในโดเมนเวลา (ถ้ามันเป็นสัญญาณเวลา) หรือโดเมนเชิงพื้นที่ (ถ้ามันเป็นภาพตั้งแต่การแปลงฟูริเยร์ คือ bijective สัญญาณและการแปลงของมันมีค่าเท่ากันในความเป็นจริงเรามักจะตีความการแปลงฟูริเยร์เป็นการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานเราเรียกว่า "การแปลงโดเมนความถี่" เนื่องจากค่าฟูริเยร์แปลงสำหรับค่าพิกัดต่ำอธิบายสิ่งที่เปลี่ยนแปลงช้า ในสัญญาณโดเมนดั้งเดิม (เวลาหรือพื้นที่) ในขณะที่เนื้อหาความถี่สูงจะถูกแทนด้วยค่าการแปลงฟูริเยร์ที่มีตำแหน่งสูง

โดยทั่วไปสเปกตรัมดังกล่าวสามารถมีบางสนับสนุน ; การสนับสนุนคือช่วงเวลาที่น้อยที่สุดนอกสเปกตรัมซึ่งเป็น 0

หากคุณใช้ระบบการสังเกตซึ่งความสามารถในการทำซ้ำความถี่นั้น จำกัด ช่วงเวลาที่เล็กกว่าการสนับสนุนดังกล่าว (ซึ่งมักจะไม่มีที่สิ้นสุดตามวิธีและจะไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับสัญญาณที่มีการขยายเวลาหรือพื้นที่) ไม่สามารถแทนสัญญาณดั้งเดิมด้วยระบบนั้น

ในกรณีนี้รูปภาพของคุณมีความละเอียดบางอย่าง - ซึ่งก็คือในท้ายที่สุดความจริงที่ว่าคุณประเมินค่าของฟังก์ชั่นของคุณที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องในระยะห่างคงที่ที่ไม่สิ้นสุด ค่าผกผันของระยะห่างนั้นคืออัตราการสุ่มตัวอย่าง (เชิงพื้นที่)

ดังนั้นรูปภาพของคุณไม่สามารถแสดงสัญญาณดั้งเดิมได้ - มันเป็นไปไม่ได้ในทางคณิตศาสตร์ที่การแมปฟังก์ชันพื้นฐานกับพิกเซลนั้นเทียบเท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมอย่างแท้จริงเนื่องจากเรารู้ว่าในกรณีนี้ช่วงความถี่ทั้งหมดที่คุณสามารถประเมินได้ที่จุดแยก ("การสุ่มตัวอย่าง") คือครึ่งหนึ่งของอัตราการสุ่มตัวอย่างดังนั้นบางสิ่งต้องผิดไปด้วยส่วนของสเปกตรัมของสัญญาณที่อยู่เหนืออัตราการสุ่มตัวอย่างครึ่งหนึ่ง

สิ่งที่เกิดขึ้นคือในความเป็นจริงแล้วสเปกตรัมจะได้รับนามแฝง - ส่วนประกอบสเปกตรัมทุกอันที่ความถี่ได้รับ "เลื่อน" ลงโดยดังนั้น{2} ผลก็คือสิ่งที่นำไปสู่ ​​"โครงสร้าง" ซึ่งไม่ควรมีบางอย่าง$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

ใช้โครงสร้าง "ใหญ่" จากภาพของคุณที่ฉันทาสีเขียว:

แน่นอนดูเหมือนว่ามีเนื้อหาความถี่ต่ำที่นี่ - แต่ในความเป็นจริงมันเป็นเพียงเนื้อหาความถี่สูงที่ความถี่ที่มีนามแฝงเป็นความถี่ต่ำเนื่องจากใกล้เคียงกับ จำนวนเต็มทวีคูณของอัตราการสุ่มตัวอย่าง$>\frac{f_\text{sample}}2$

ดังนั้นใช่คุณสามารถทำนายสิ่งประดิษฐ์ที่เกิดขึ้นกับสัญญาณ 2D เมื่อถูกสุ่มตัวอย่างโดยการเปรียบเทียบการแปลงฟูริเยร์กับแบนด์วิดท์ที่เสนอโดยอัตราการสุ่มตัวอย่าง

---

¹สิ่งนี้อาจแตกต่างจากสเปกตรัมที่ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้นเพื่ออธิบายคุณสมบัติ Eigen ของตัวดำเนินการ