Quantization Noise สำหรับการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกัน - สัญญาณรบกวนเฟส?

อัปเดต:ดูความคิดเพิ่มเติมที่ด้านล่างของโพสต์นี้

---

ภายใต้เงื่อนไขการสุ่มตัวอย่างทั่วไปที่ไม่ถูก จำกัด โดยสิ่งที่อธิบายไว้ด้านล่าง (สัญญาณที่ไม่สัมพันธ์กับนาฬิกาการสุ่มตัวอย่าง) เสียงการหาปริมาณมักจะถูกประเมินว่าเป็นการกระจายแบบสม่ำเสมอในระดับควอนตัมหนึ่งระดับ เมื่อ ADC สองตัวรวมกันกับเส้นทาง I และ Q เพื่อสร้างการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณที่ซับซ้อนเสียงเชิงปริมาณจะมีทั้งความกว้างของเสียงและเฟสเสียงประกอบดังที่จำลองไว้ด้านล่าง ดังที่แสดงไว้เสียงรบกวนนี้มีการแจกแจงเป็นรูปสามเหลี่ยมเมื่อองค์ประกอบ I และ Q มีส่วนร่วมในแอมพลิจูดและเฟสอย่างเท่าเทียมกันเช่นเมื่อสัญญาณอยู่ที่มุม 45 °และสม่ำเสมอเมื่อสัญญาณอยู่บนแกน สิ่งนี้คาดว่าจะเกิดขึ้นเนื่องจากเสียง quantization ของแต่ละ I และ Q นั้นไม่ได้มีความสัมพันธ์กันดังนั้นการแจกแจงจะเกิดขึ้นเมื่อทั้งคู่มีส่วนร่วมในผลลัพธ์ผลลัพธ์

คำถามที่ถูกถามคือถ้าการกระจายของสัญญาณรบกวนเฟสเปลี่ยนไปอย่างมีนัยสำคัญสำหรับกรณีของการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกัน (สมมติว่านาฬิกาการสุ่มตัวอย่างนั้นมีสัญญาณรบกวนเฟสที่เหนือกว่าดังนั้นไม่ใช่ปัจจัย) โดยเฉพาะฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันจะช่วยลดสัญญาณรบกวนเฟสที่เกี่ยวข้องกับการทำให้เป็นควอนตัมได้หรือไม่ สิ่งนี้จะนำไปใช้โดยตรงกับการสร้างสัญญาณนาฬิกาซึ่งจะสามารถรักษาความเชื่อมโยงได้อย่างง่ายดาย

พิจารณาทั้งสัญญาณจริง (หนึ่ง ADC) หรือสัญญาณที่ซับซ้อน (สอง ADC's; หนึ่งสำหรับฉันและหนึ่งสำหรับ Q ร่วมกันอธิบายตัวอย่างที่ซับซ้อนเดียว) ในกรณีของสัญญาณจริงอินพุตเป็นคลื่นไซน์เต็มรูปแบบและคำของเฟสได้มาจากสัญญาณการวิเคราะห์ กระวนกระวายใจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงในการข้ามศูนย์ของเสียงไซน์จะเป็นตัวอย่างของเสียงเฟสที่เกิดขึ้นสำหรับสัญญาณจริง สำหรับกรณีของสัญญาณที่ซับซ้อนอินพุตเป็นสเกลเต็ม$Ae^{j \omega t}$ที่ซึ่งองค์ประกอบที่แท้จริงและจินตภาพจะเป็นคลื่นไซน์เต็มขนาด

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ซึ่งมีการอธิบายการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันเป็นอย่างดี แต่ไม่ได้กล่าวถึงสัญญาณรบกวนเฟสโดยเฉพาะ:

การสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันและการกระจายของเสียงรบกวนเชิงปริมาณ

เพื่ออธิบายองค์ประกอบเสียงรบกวน AM และ PM ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นฉันได้เพิ่มกราฟิกด้านล่างสำหรับกรณีของการหาปริมาณเชิงซ้อนที่แสดงเวกเตอร์ที่ซับซ้อนในเวลาต่อเนื่องในการสุ่มตัวอย่างที่กำหนดทันทีและตัวอย่างเชิงปริมาณที่เกี่ยวข้องเป็นจุดสีแดง การกระจายสม่ำเสมอของระดับควอนติเซชั่นของสัญญาณจริงและส่วนจินตภาพ

การขยายเข้าไปในตำแหน่งที่เกิดการควอนไทซ์ในกราฟิกด้านบนเพื่อแสดงให้เห็นถึงข้อผิดพลาดของแอมพลิจูดและเฟสผิดพลาด:

จึงได้รับสัญญาณโดยพลการ

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

สัญญาณเชิงปริมาณเป็นจุดระยะทางที่ใกล้ที่สุดที่กำหนดโดย

$$s_k = i_k+ j q_k$$

ที่ไหน $i_k$ และ $q_k$ เป็นตัวแทนของระดับฉันและ Q เชิงปริมาณแต่ละแมปตาม:

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

ที่ไหน $\lfloor (\cdot) \rfloor$แสดงถึงฟังก์ชั่นพื้นและ$\Delta$ แสดงถึงระดับควอนไลซ์ที่ไม่ต่อเนื่อง

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

ข้อผิดพลาดของแอมพลิจูดคือ $|s(t_k)|-|s_k|$ ที่ไหน $t_k$ เป็นเวลาที่ $s(t)$ ถูกสุ่มตัวอย่างเพื่อสร้าง $s_k$.

ข้อผิดพลาดเฟสคือ $\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$ โดยที่ * หมายถึงคอนจูเกตที่ซับซ้อน

คำถามสำหรับโพสต์นี้คือลักษณะขององค์ประกอบเฟสเมื่อสัญญาณนาฬิกาตัวอย่างที่สอดคล้องกับสัญญาณอินพุต (จำนวนเต็มหลายตัว)?

เพื่อช่วยนี่คือการแจกแจงแบบจำลองของความผิดพลาดของแอมพลิจูดและเฟสสำหรับกรณีการหาปริมาณที่ซับซ้อนด้วยการหาปริมาณ 6 บิตบน I และ Q สำหรับการจำลองเหล่านี้มันถูกสันนิษฐานว่าสัญญาณจริง ภาคที่กำหนดเป็นตารางที่แสดงในแผนภาพข้างต้น โปรดสังเกตว่าเมื่อสัญญาณอยู่ในจตุภาคหนึ่ง (ทั้ง I หรือ Q ทั้งหมด) การกระจายจะเป็นไปตามที่คาดไว้ในเคส ADC เดี่ยวพร้อมสัญญาณจริง แต่เมื่อสัญญาณอยู่ในมุม 45 °การกระจายจะเป็นรูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้สมเหตุสมผลเมื่อสัญญาณเหล่านี้มีส่วนร่วม I และ Q ที่เท่ากันซึ่งแต่ละชุดมีการแจกแจงแบบไม่เกี่ยวข้องกัน ดังนั้นการแจกแจงทั้งสองจึงเป็นสามเหลี่ยม

หลังจากหมุนเวกเตอร์สัญญาณเป็น 0 °ขนาดและมุมฮิสโทแกรมมีความสม่ำเสมอมากกว่าที่คาดไว้:

---

อัปเดต:เนื่องจากเรายังต้องการคำตอบสำหรับคำถามเฉพาะ (คำตอบของ Olli ด้านล่างให้คำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับลักษณะของเสียงที่นำไปสู่การปรับปรุงของฉันของความหนาแน่นของเสียงสามเหลี่ยมและสม่ำเสมอ แต่ลักษณะของเสียงรบกวนเฟสภายใต้ เงื่อนไขการสุ่มตัวอย่างที่เชื่อมโยงกันยังคงเข้าใจยาก) ฉันขอเสนอความคิดต่อไปนี้ที่อาจกระตุ้นคำตอบที่แท้จริงหรือความคืบหน้าเพิ่มเติม (หมายเหตุสิ่งเหล่านี้เป็นความคิดที่หลายคนอาจเข้าใจผิด แต่เพื่อผลประโยชน์ของคำตอบที่ฉันยังไม่มี)

โปรดทราบว่าในเงื่อนไขการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันอัตราการสุ่มตัวอย่างเป็นจำนวนเต็มคูณของความถี่อินพุต (และเฟสล็อกเช่นกัน) นี่หมายความว่าจะมีจำนวนเต็มเสมอในขณะที่เราหมุนผ่านระนาบเชิงซ้อนสำหรับสัญญาณเชิงซ้อนและการสุ่มตัวอย่างหรือจำนวนเต็มของตัวอย่างหนึ่งรอบของไซนัสสำหรับสัญญาณจริงและการสุ่มตัวอย่าง (ADC เดี่ยว)

และตามที่อธิบายไว้เรากำลังสมมติกรณีที่นาฬิกาสุ่มตัวอย่างนั้นดีกว่ามากดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นผลงาน ดังนั้นกลุ่มตัวอย่างจะลงจอดในตำแหน่งเดียวกันทุกครั้ง

พิจารณากรณีของสัญญาณจริงหากเรากังวลเฉพาะกับการข้ามศูนย์ในการพิจารณาเสียงเฟสผลลัพธ์ของการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันจะเป็นเพียงการแก้ไขที่คงที่ แต่การเลื่อนที่สอดคล้องกัน (แม้ว่าขอบที่เพิ่มขึ้นและลดลงอาจมีความล่าช้าต่างกัน เมื่อการเชื่อมโยงกันเป็นจำนวนเต็มคี่) ชัดเจนในกรณีการสุ่มตัวอย่างที่ซับซ้อนเรามีความกังวลเกี่ยวกับเสียงเฟสในทุกตัวอย่างและฉันสงสัยว่ามันจะเหมือนกันสำหรับกรณีจริงเช่นกัน (ความสงสัยของฉันคือการหน่วงเวลาของตัวอย่างในทันทีจาก "ความจริง" ใด ๆ องค์ประกอบเสียงรบกวนเฟส แต่จากนั้นฉันก็สับสนถ้าฉันนับสองครั้งว่าอะไรคือความแตกต่างของแอมพลิจูด ... ) ถ้าฉันมีเวลาฉันจะจำลองสิ่งนี้เพราะการบิดเบือนทั้งหมดจะแสดงที่ฮาร์มอนิกส์จำนวนเต็มของสัญญาณอินพุต วงจร และการทดสอบเฟสเทียบกับแอมพลิจูดจะเป็นเฟสสัมพัทธ์ของฮาร์โมนิกกับพื้นฐาน - สิ่งที่น่าสนใจที่จะเห็นผ่านการจำลองหรือการคำนวณคือถ้าฮาร์มอนิกเหล่านี้ (ซึ่งสัญญาณจริงจะมีคู่ผันที่ซับซ้อน) ในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับพื้นฐานหรือในเฟสและแสดงให้เห็นว่าเป็นเสียงเฟสทั้งหมด, เสียงแอมพลิจูดทั้งหมดหรือคอมโพสิตของทั้งสอง (ความแตกต่างระหว่างจำนวนตัวอย่างและคี่อาจมีผลกระทบนี้)

สำหรับกรณีที่ซับซ้อนกราฟิคของ Olli ซึ่งทำขึ้นด้วยจำนวนตัวอย่างที่สมน้ำสมเนื้ออาจเพิ่มความเข้าใจอย่างถ่องแท้เพิ่มเติมหากเขาแสดงตำแหน่งตัวอย่างใน "ความจริง" ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละตัวอย่างเชิงปริมาณที่แสดง อีกครั้งฉันเห็นความเป็นไปได้ของความแตกต่างที่น่าสนใจหากมีตัวอย่างแปลก ๆ หรือแม้กระทั่งจำนวน (กราฟิกของเขาเป็นคู่และฉันสังเกตเห็นความสมมาตรที่ผลลัพธ์ แต่ไม่สามารถมองเห็นได้ไกลกว่านั้นจากสิ่งที่มันอาจจะทำ สิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนสำหรับฉันคือองค์ประกอบเสียงในทั้งกรณีจริงและซับซ้อนจะมีอยู่ที่ฮาร์โมนิกส์จำนวนเต็มของความถี่พื้นฐานเมื่อการสุ่มตัวอย่างสอดคล้องกันเท่านั้น ดังนั้นแม้ว่าเสียงของเฟสอาจยังคงมีอยู่ตามที่ฉันสงสัยว่ามันทำอยู่ แต่ตำแหน่งของฮาร์โมนิกส์จำนวนเต็มนั้นมีส่วนช่วยในการกำจัดโดยการกรองตามมา

(หมายเหตุ: สิ่งนี้ใช้ได้กับการสร้างสัญญาณนาฬิกาอ้างอิงที่มีความบริสุทธิ์สเปกตรัมสูง)

ฉันมีข้อสงสัยเกี่ยวกับ (แก้ไข: นี่ถูกลบออกจากคำถาม):

การกระจายขององค์ประกอบเสียง AM และ PM เหล่านี้สามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่ามีความสม่ำเสมอตราบใดที่สัญญาณอินพุทไม่ได้มีความสัมพันธ์กับนาฬิกาตัวอย่าง

พิจารณาสัญญาณ:

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ และปริมาณของมัน: $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

สำหรับขั้นตอนการทำควอนตัมของ $1/N$ ของทั้ง I และองค์ประกอบ Q (คุณมี $N = 5$ ในรูปของคุณ)

รูปที่ 1 ร่องรอยของสัญญาณ (เส้นสีฟ้า) และการหาปริมาณของมัน (จุดสีดำ) และ morphing ระหว่างพวกเขาเพื่อดูว่าส่วนต่าง ๆ ของสัญญาณที่ถูก quantized สำหรับ $N=5$. "Morphing" เป็นเพียงชุดของการแปลงพารามิเตอร์เพิ่มเติม$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$ ที่ $a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

ข้อผิดพลาดในเฟสเนื่องจากข้อผิดพลาดเชิงปริมาณคือ:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

การลบเฟสที่ห่อไว้นั้นมีความเสี่ยง แต่มันใช้ได้ในกรณีนี้

รูปที่ 2 $\operatorname{phase\_error}(t)$ สำหรับ $N = 5$.

นั่นคือฟังก์ชันเชิงเส้นที่ชาญฉลาด ส่วนของเส้นตรงทั้งหมดข้ามระดับศูนย์ แต่จบที่ระดับอื่น ๆ มันหมายถึงการพิจารณา$t$ เป็นตัวแปรสุ่มที่สม่ำเสมอในฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $\operatorname{phase\_error}(t),$ค่าใกล้ศูนย์เป็นตัวแทน ดังนั้น$\operatorname{phase\_error}(t)$ ไม่สามารถมีการกระจายที่สม่ำเสมอ

พิจารณาคำถามจริงดูรูปที่ 1 ด้วยค่าสูงพอ $N$และความถี่ของความซับซ้อนของไซนัสที่ว่าในแต่ละช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างสัญญาณจะหมุนผ่านขอบเขตของการหาปริมาณจำนวนมากความคลาดเคลื่อนเชิงปริมาณในตัวอย่างนั้นเป็นลำดับที่แน่นอนของตัวเลขหลอกเทียมที่มาจาก quirks ของทฤษฎีจำนวน ข้อผิดพลาดขึ้นอยู่กับความถี่และ$N,$และในระยะเริ่มต้นหากความถี่เป็น submultiple ของหลายความถี่การสุ่มตัวอย่างซึ่งในกรณีที่ข้อผิดพลาดเชิงปริมาณเป็นลำดับการทำซ้ำที่ไม่มีค่าความผิดพลาดเชิงปริมาณที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในขีด จำกัด ขนาดใหญ่$N$การแจกแจงของข้อผิดพลาดของ I และ Q นั้นเหมือนกันและข้อผิดพลาดของเฟสและขนาดคือตัวเลขหลอกเทียมที่มาจากการแจกแจงที่ขึ้นอยู่กับเฟสสัญญาณ การพึ่งพาเฟสนั้นอยู่ที่นั่นเพราะกริด quantization สี่เหลี่ยมมีทิศทาง

ในขีด จำกัด ขนาดใหญ่ $N,$ข้อผิดพลาดเฟสและข้อผิดพลาดขนาดเป็นองค์ประกอบตั้งฉากของข้อผิดพลาดที่ซับซ้อน ความคลาดเคลื่อนขนาดสามารถแสดงตามสัดส่วนของขั้นตอนควอนตัมที่น้อยที่สุดและความคลาดเคลื่อนเฟสสามารถแสดงตามสัดส่วนของ$\arcsin$ของขั้นตอนการควอนตัม ที่เฟสสัญญาณ$\alpha$ ข้อผิดพลาดขนาดอยู่ในทิศทางเชิงมุม $\alpha$ และข้อผิดพลาดเฟสอยู่ในทิศทางเชิงมุม $\alpha + \pi/2$. ข้อผิดพลาดเชิงปริมาณที่ซับซ้อนมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในตารางขั้นตอนการเชิงปริมาณที่มุ่งเน้นไปตามแกน I และ Q กับมุมที่พิกัดที่แสดงตามสัดส่วนกับขั้นตอนการควอนตัม:

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

การหมุนพิกัดเหล่านี้หรือการฉายภาพอย่างเท่าเทียมกันของพวกเขาไปยังข้อผิดพลาดเฟสแบบสัดส่วนและแกนข้อผิดพลาดแบบสัดส่วนทำให้ทั้งฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเชิงเส้นแบบแบนบนชิ้นเดียวกันกับโหนด:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

รูปที่ 3 โหนดของฟังก์ชั่นความหนาแน่นความสามารถในการเคลื่อนย้ายเชิงเส้นแบบแบนส่วนบนแบบแบ่งส่วนที่ชาญฉลาด (PDF) ของข้อผิดพลาดเฟสแบบสัดส่วนและข้อผิดพลาดขนาดตามสัดส่วนเมื่อกำหนดมุมสัญญาณ $\alpha$. ที่$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$PDF เป็นสี่เหลี่ยม บางโหนดรวมที่$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$ ให้ PDF แบบสามเหลี่ยมที่มีตัวพิมพ์ใหญ่ที่สุด -$N$ การประมาณแบบเชิงเส้นเท่ากับ 1) ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของ $\sqrt{2}/2$ ขั้นตอนการหาปริมาณและ 2) ข้อผิดพลาดเฟสสัมบูรณ์สูงสุดของ $\sqrt{2}/2$ ครั้ง $\arcsin$ ของขั้นตอนการควอนตัม

ที่เฟสกลาง PDF จะมีลักษณะเช่นนี้:

รูปที่ 4 PDF ที่แชร์ที่ $\alpha = \pi/8.$

ตามที่แนะนำโดย Dan PDF ยังเป็นข้อสังสัยของสี่เหลี่ยม PDF s ของข้อผิดพลาด I และ Q ที่ฉายลงบนแกนขนาดและแกนข้อผิดพลาดเฟส ความกว้างของหนึ่งใน PDF ที่ฉายคือ$|\cos(\alpha)|$และความกว้างของอีกอันคือ $|\sin(\alpha)|$. ความแปรปรวนรวมของพวกเขาคือ$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$ เหมือนกันมากกว่า $\alpha$.

อาจมีการรวมกันของ "pseudolucky" ของเฟสแรกและอัตราส่วนจำนวนตรรกยะของความถี่ของไซน์ไซด์ที่ซับซ้อนและความถี่การสุ่มตัวอย่างที่ให้ข้อผิดพลาดเล็กน้อยสำหรับตัวอย่างทั้งหมดในลำดับการทำซ้ำ เนื่องจากความสมมาตรของข้อผิดพลาดที่เห็นในรูปที่ 1 ในความผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดความรู้สึกความถี่เหล่านั้นเป็นข้อได้เปรียบที่จำนวนของคะแนนที่เข้าเยี่ยมชมในวงกลมเป็นทวีคูณของ 2 เพราะโชค (ข้อผิดพลาดต่ำ) เป็นสิ่งจำเป็น เพียงครึ่งหนึ่งของคะแนน ข้อผิดพลาดในส่วนที่เหลือของจุดซ้ำกันของสิ่งที่พวกเขาเป็นคนแรกที่มีเครื่องหมายพลิก ทวีคูณอย่างน้อย 6, 4 และ 12 มีข้อดีมากกว่า ฉันไม่แน่ใจว่ากฎที่แน่นอนอยู่ที่นี่เพราะมันดูเหมือนจะไม่เกี่ยวกับการเป็นบางสิ่งบางอย่าง มัน' บางอย่างเกี่ยวกับ symmetries กริดรวมกับโมดูโลคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามข้อผิดพลาด pseudorandom นั้นถูกกำหนดไว้แล้วดังนั้นการค้นหาอย่างละเอียดจึงเผยให้เห็นการจัดการที่ดีที่สุด การค้นหาการจัดการที่ดีที่สุดในความรู้สึกผิดพลาดแบบรูทค่าเฉลี่ย (RMS) นั้นง่ายที่สุด:

รูปที่ 5 Top) RMS ที่เป็นไปได้ต่ำสุดข้อผิดพลาด quantization แน่นอนใน oscillator IQ ซับซ้อนสำหรับความลึก oscillator บิตต่าง ๆ โดยใช้ควอนตารางตาราง ซอร์สโค้ดสำหรับการค้นหา pseudolucky อย่างละเอียดอยู่ที่ท้ายคำตอบ ด้านล่าง) รายละเอียดแสดงสำหรับการเปรียบเทียบ (สีฟ้าอ่อน)$N\to\infty$ การประมาณแบบเชิงเส้นกำกับของข้อผิดพลาดเชิงปริมาณสัมบูรณ์ RMS $\sqrt{1/6}/N,$ สำหรับ $N=2^k-1,$ ที่ไหน $k+1$ คือจำนวนบิต oscillator

แอมพลิจูดของความถี่ข้อผิดพลาดที่โดดเด่นที่สุดนั้นไม่เกินข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ RMS สำหรับออสซิลเลเตอร์ 8 บิตตัวเลือกที่ดีโดยเฉพาะคือ$12$ จุดที่อยู่โดยประมาณในวงกลมหน่วย:

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

ไซน์ไซด์ที่ไม่ต่อเนื่องที่ซับซ้อนซึ่งผ่านจุดเหล่านี้บนระนาบเชิงซ้อนเพื่อเพิ่มมุมเชิงมุมมีความเพี้ยนฮาร์มอนิกเพียง 5 และที่ $-91.5$ เดซิเบลเมื่อเทียบกับพื้นฐานตามที่ได้รับการยืนยันโดยซอร์สโค้ด Octave ในตอนท้ายของคำตอบ

เพื่อให้ได้ข้อผิดพลาดการวัดค่าสัมบูรณ์แบบ RMS ต่ำความถี่ไม่จำเป็นต้องผ่านจุดต่าง ๆ ตามลำดับโดยประมาณ $[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$ สำหรับความถี่ $1/12$คูณความถี่การสุ่มตัวอย่าง ตัวอย่างเช่นความถี่$5/12$ คูณด้วยความถี่การสุ่มตัวอย่างจะผ่านจุดเดียวกัน แต่ในลำดับที่ต่างกัน: $[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$. ผมคิดว่างานนี้มันไม่เพราะ 5 และ 12 มีcoprime

เกี่ยวกับการจัดการที่สมบูรณ์แบบที่เป็นไปได้ข้อผิดพลาดอาจเป็นศูนย์ที่ทุกจุดถ้าความถี่ของไซนัสเป็นหนึ่งในสี่ของความถี่การสุ่มตัวอย่าง (การเพิ่มเฟสของ $\pi/2$ต่อตัวอย่าง) ในตารางสี่เหลี่ยมไม่มีการเตรียมการที่สมบูรณ์แบบอื่น ๆ อีกแล้ว บนกริดหกเหลี่ยมหรือบนตารางสี่เหลี่ยมที่ไม่ใช่ตารางที่มีหนึ่งในแกน I หรือ Q ที่ยืดออกโดยปัจจัยหนึ่ง$\sqrt{3}$ (โดยที่มันเทียบเท่ากับทุกแถวที่สองในตารางรวงผึ้ง) ซึ่งเป็นการเพิ่มเฟสของ $\pi/3$ต่อตัวอย่างจะทำงานได้อย่างสมบูรณ์ การปรับขนาดดังกล่าวสามารถทำได้ในโดเมนแอนะล็อก สิ่งนี้จะเพิ่มจำนวนแกนสมมาตรของกริดซึ่งส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่น่าพอใจในการจัดการ pseudolucky:

รูปที่ 6 ข้อผิดพลาดการวัดค่าสัมบูรณ์แบบสัมบูรณ์ RMS ที่เป็นไปได้ต่ำที่สุดในไอคิวออสซิลเลเตอร์ที่ซับซ้อนสำหรับความลึกบิตของออสซิลเลเตอร์ต่าง ๆ โดยใช้ตารางควอนติเซชันสี่เหลี่ยมกับแกน$\sqrt{3}$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับออสซิลเลเตอร์ 8 บิตที่มี 30 คะแนนบนวงกลมข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ RMS ที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้คือ -51.3 dB บนกริดสแควร์และ -62.5 เดซิเบลบนกริดสี่เหลี่ยมที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ลำดับ pseudolucky มีข้อผิดพลาด:

รูปที่ 7 ค่าของข้อผิดพลาดบนระนาบ IQ โดยลำดับ pseudolucky 8 บิตที่มีความยาว 30 ใช้ประโยชน์จากแกนสมมาตรที่พบในตาราง quantization ที่ยืดออกโดยปัจจัย $\sqrt{3}$แนวนอน คะแนนมาจากตัวเลขที่ซับซ้อน pseudolucky เพียงสามตัวพลิกรอบแกนสมมาตร

ฉันไม่มีประสบการณ์จริงกับสัญญาณนาฬิกา IQ ดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจว่ามีความสำคัญอะไร ด้วยการสร้างสัญญาณนาฬิกาโดยใช้ตัวแปลงสัญญาณดิจิตอลเป็นอะนาล็อก (DAC) ฉันสงสัยว่าถ้าไม่มีการใช้ pseudolucky ที่ดีก็ควรที่จะมีพื้นเสียงสีขาวที่ต่ำกว่าดีกว่าเพื่อให้มีคลื่นเสียงฮาร์มอนิกที่มีค่าสูงกว่า เดือยที่มาจากข้อผิดพลาดในการทำควอนตัมซ้ำ ๆ กัน (ดูการสุ่มตัวอย่างที่สอดคล้องกันและการกระจายตัวของควอนติเสียง ) เดือยสเปกตรัมเหล่านี้เช่นเดียวกับเสียงสีขาวสามารถรั่วไหลผ่านความจุของกาฝากและมีผลกระทบที่ไม่พึงประสงค์ในส่วนอื่น ๆ ของระบบหรือส่งผลกระทบต่อความเข้ากันได้ทางแม่เหล็กไฟฟ้า (EMC) ของอุปกรณ์ ในฐานะที่เป็นการเปรียบเทียบเทคโนโลยีการแพร่กระจายคลื่นความถี่ช่วยปรับปรุง EMC โดยการเปลี่ยน spikes สเปกตรัมเป็นชั้นเสียงที่ต่ำกว่าสูงสุด

รหัสที่มาสำหรับการค้นหาการจัดเรียง pseudolucky ครบถ้วนสมบูรณ์ใน C ++ ดังนี้ คุณสามารถเรียกใช้มันข้ามคืนเพื่อค้นหาการจัดการที่ดีที่สุดสำหรับออสซิลเลเตอร์อย่างน้อย 16 บิต$1 \le M \le 100$.

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

เอาต์พุตตัวอย่างที่อธิบายลำดับตัวอย่างแรกที่พบด้วยIScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

ตัวอย่างเอาต์พุตที่อธิบายลำดับตัวอย่างที่สองที่พบด้วยIScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

รหัสระดับแปดเสียงสำหรับการทดสอบลำดับตัวอย่างแรก:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

รหัสระดับแปดเสียงสำหรับการทดสอบลำดับตัวอย่างที่สอง:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))