การแปลงฟูริเยร์

9

เรารู้ด้านล่าง

\begin{matrix} (1) & F {x (t)} = X (f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & F {x (- t)} = X (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & F {x^{*} (t)} = X^{*} (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$

ทีนี้ถ้ามีสัญญาณบ้าง

\begin{matrix} (4) & x (- t) = x^{*} (t) \end{matrix}

$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$

จากนั้นจะปลอดภัยหรือไม่ที่จะถือว่าสิ่งต่อไปนี้?

\begin{matrix} (5) & X (- f) = X^{*} (- f) \end{matrix}

$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$

หรือมันขึ้นอยู่กับประเภทของสัญญาณ?

fourier-transform continuous-signals

— Sundar
แหล่งที่มา

คุณยังสามารถตรวจสอบคำตอบที่เหมาะสมที่สุด

— Laurent Duval

13

คุณถูก. สมการสุดท้ายของคุณเป็นเพียงวิธีแฟนซีในการบอกว่ามีคุณค่าจริง $X(f)$

โดยทั่วไป: หากเป็นของจริงในโดเมนหนึ่งมันจะเชื่อมต่อกันแบบสมมาตร

— Hilmar
แหล่งที่มา

8

ใช่ถ้าต้องการ (2) และ (3) ถือสำหรับ "ประเภทของสัญญาณ" ใด ๆ (ซึ่งพวกเขาทำ) จากนั้น (5) จะต้องถือ

การแทรก (4) ลงใน (2) เราได้รับ และใช้ (3)

F {x^{*} (t)} = X (- f)

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$

X (- f) = X^{*} (- f)

$X(-f) = X^*(-f)$

หากเราแทนที่เราจะได้ ซึ่งตามที่ฮิลมาร์ได้สังเกตแล้วนั่นหมายความว่านั้นมีคุณค่าจริง นี้เป็นที่คาดหวังเป็นตาม (4)แสดงถึงความสมมาตรที่ซับซ้อนผัน $f = - g$

X (g) = X^{*} (g)

$X(g) = X^*(g)$

X (f)

$X(f)$

x (t)

$x(t)$

— deve
แหล่งที่มา

7

คำตอบของ @Deve และ @Hilmar นั้นสมบูรณ์แบบทางเทคนิค ฉันต้องการให้ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมโดยมีคำถามสองสามข้อ

ก่อนอื่นคุณรู้หรือไม่ว่าสัญญาณที่ตอบสนองอัตลักษณ์ย้อนกลับ / คอนจูเกตนี้ :

x (- t) = x^{*} (t) ?

$x(−t)=x^*(t)\,?$

ความคิดแรกที่ชัดเจนคือการเลือกสัญญาณจริงและสมมาตร หนึ่งธรรมชาติในกรอบฟูริเยร์เป็นโคไซน์

ตอนนี้ให้เรามีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นเล็กน้อย (เล่นสำนวนเจตนา)

ดังนั้นสองแล้วไซน์จริงล่ะ มันต่อต้านสมมาตร แต่ถ้าคุณจำได้ว่า , ฟังก์ชั่นก็กลายเป็นคำตอบด้วยเช่นกัน ดังนั้นโดย additivity ฟังก์ชั่น $i^*=-i$ $t\to i.\sin t$

t \to e^{i t}

$t\to e^{i t}$

(เรียกว่าเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนหรือ cisoid ) ก็เป็นคำตอบเช่นกัน และการแปลงฟูริเยร์ของมัน (เป็นฟังก์ชั่นทั่วไป) เป็นจริงแน่นอน (แม้ว่าอย่างใด "ไม่มีที่สิ้นสุด") ยิ่งไปกว่านั้นการรวมกันเชิงเส้นใด ๆ ของcisoids ที่มีสัมประสิทธิ์จริงจะทำ

คำถามของคุณแสดงให้เห็นว่าฟูริเยร์มีความสำคัญอย่างไรและการใช้งานนั้นสามารถทำให้ปัญหาบางอย่างง่ายขึ้นได้อย่างไร เท่าที่เห็นในความหมายของ DTFT สำหรับสัญญาณจริง :

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าสัญญาณเป็นจริงแล้วสเปกตรัมของมันคือ Hermitian (`` conjugate symmetric '') $x(n)$

ที่นี่สัญญาณฐานของคุณคือ Hermitian และรุ่นฟูริเยร์เป็นของจริง เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นเพียงแค่จินตนาการว่าเป็นตัวแปรความถี่และคือเวลาของคู่ การเป็นตัวแทนมาตรฐานที่ระบุไว้ในการวิเคราะห์สัญญาณดิจิตอลฟิสิกส์และคลื่น / คุณสมบัติสมมาตรคอมเพล็กซ์ $x$ $t$ $f$

มันก็เรียกว่าHeyser เกลียว

— Laurent Duval
แหล่งที่มา