อะไรคือความหมายของ“ การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น” และ“ การตอบสนองความถี่” ของระบบ

ทุกคนสามารถระบุความแตกต่างระหว่างการตอบสนองความถี่และการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นในภาษาอังกฤษแบบง่ายได้หรือไม่?

กระตุ้นการตอบสนองและการตอบสนองความถี่สองคุณลักษณะที่เป็นประโยชน์สำหรับพัฒนาการเวลาคงที่ (LTI) เชิงเส้นระบบ พวกเขาจัดเตรียมสองวิธีที่แตกต่างกันในการคำนวณสิ่งที่เอาต์พุตของระบบ LTI สำหรับสัญญาณอินพุตที่กำหนด ระบบ LTI แบบต่อเนื่องมักแสดงให้เห็นดังนี้:

โดยทั่วไประบบแผนที่สัญญาณอินพุตของจะสอดคล้องสัญญาณ(t) มีระบบ LTI หลายประเภทที่สามารถใช้การแปลงที่แตกต่างกันมากกับสัญญาณที่ผ่านพวกเขา แต่พวกเขาทั้งหมดมีสองลักษณะสำคัญ:x ( t ) y ( t $H$$x(t)$$y(t)$

• ระบบนี้เป็นระบบเชิงเส้นจึงเชื่อฟังหลักการของการทับซ้อน หากคุณรวมสัญญาณสองสัญญาณและป้อนสัญญาณเข้าสู่ระบบเป็นเส้นตรงเอาต์พุตจะเป็นการรวมเชิงเส้นแบบเดียวกันกับสิ่งที่เอาต์พุตจะได้รับสัญญาณที่ส่งผ่านแยกกัน นั่นคือถ้าแผนที่การส่งออกของและแผนที่การส่งออกของแล้วทุกค่าของและ ,y 1 ( t ) x 2 ( t ) y 2 ( t ) a 1 a $x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• ระบบนี้เป็นระบบเวลาคงที่ดังนั้นลักษณะของมันจะไม่เปลี่ยนไปตามกาลเวลา หากคุณเพิ่มความล่าช้าในสัญญาณอินพุตจากนั้นคุณเพียงเพิ่มความล่าช้าเดียวกันกับเอาต์พุต สำหรับสัญญาณอินพุตที่แมปไปส่งสัญญาณขาออกแล้วทุกค่าของ ,y ( t ) $x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

ระบบ LTI แบบไม่ต่อเนื่องมีคุณสมบัติเหมือนกัน สัญกรณ์นั้นแตกต่างกันเนื่องจากความแตกต่างแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง แต่มีความเหมือนกันมาก คุณลักษณะเหล่านี้ช่วยให้การทำงานของระบบมีลักษณะตรงไปตรงมาโดยใช้การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นและความถี่ พวกเขามีสองมุมมองในระบบที่สามารถใช้ในบริบทที่แตกต่างกัน

การตอบสนองแรงกระตุ้น:

แรงกระตุ้นที่ถูกอ้างถึงในระยะกระตุ้นการตอบสนองโดยทั่วไปเป็นระยะเวลาสั้นสัญญาณโดเมนเวลา สำหรับระบบเวลาต่อเนื่องนี่คือฟังก์ชัน Dirac delta ในขณะที่สำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องโดยปกติแล้วฟังก์ชัน Kronecker delta จะใช้การตอบสนองของแรงกระตุ้นของระบบ (มักจะมีคำอธิบายประกอบเป็นสำหรับระบบเวลาต่อเนื่องหรือสำหรับระบบไม่ต่อเนื่องเวลา) ถูกกำหนดเป็นสัญญาณเอาท์พุทที่ผลลัพธ์เมื่อมีแรงกระตุ้นถูกนำไปใช้กับอินพุตระบบδ [ n ] h ( t ) h [ n $\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

ทำไมถึงมีประโยชน์ มันช่วยให้เราทำนายได้ว่าผลลัพธ์ของระบบจะเป็นอย่างไรในโดเมนเวลา โปรดจำไว้ว่าคุณสมบัติเชิงเส้นและการแปรปรวนของเวลาดังกล่าวข้างต้น? หากเราสามารถแยกสัญญาณอินพุตของระบบเป็นผลรวมของกลุ่มขององค์ประกอบแล้วเอาท์พุทเท่ากับผลรวมของระบบเอาท์พุทสำหรับแต่ละองค์ประกอบเหล่านั้น จะเป็นอย่างไรถ้าเราสามารถแยกสัญญาณอินพุตของเราออกเป็นผลรวมของแรงกระตุ้นที่ปรับขนาดและแบบเลื่อนเวลา? จากนั้นเอาต์พุตจะเท่ากับผลรวมของสำเนาของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นปรับขนาดและเลื่อนเวลาในลักษณะเดียวกัน

สำหรับระบบที่ไม่ต่อเนื่องเวลานี้เป็นไปได้เพราะคุณสามารถเขียนสัญญาณใด ๆเป็นผลรวมของฟังก์ชั่น Kronecker delta ปรับขนาดและเวลา:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

แต่ละคำในผลรวมนั้นเป็นการลดขนาดแรงกระตุ้นโดยค่าของณ เวลานั้นในทันที สิ่งที่เราจะได้รับถ้าเราผ่านผ่านระบบ LTI ให้ผลผลิต ? ง่าย ๆ : แรงกระตุ้นที่ปรับขนาดและเวลาล่าช้าแต่ละครั้งที่เราใส่จะให้สำเนาที่ตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เอาต์พุต นั่นคือ:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

โดยที่เป็นการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของระบบ สมการข้างต้นเป็นทฤษฎีบทสังวัตนาสำหรับระบบ LTI แบบไม่ต่อเนื่อง นั่นคือสำหรับสัญญาณใด ๆนั่นคืออินพุตไปยังระบบ LTI เอาต์พุตของระบบเท่ากับการแยกแบบไม่ต่อเนื่องของสัญญาณอินพุตและการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบ$h[n]$$x[n]$$y[n]$

สำหรับระบบเวลาต่อเนื่องการสลายตัวแบบตรงไปตรงมาเป็นไปไม่ได้ในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด (เดลต้า Dirac มีความกว้างเป็นศูนย์และความสูงไม่ จำกัด ) แต่ในระดับวิศวกรรมมันเป็นวิธีประมาณปัญหาที่เข้าใจง่าย ทฤษฎีบทสัมพัทธ์ที่คล้ายกันมีไว้สำหรับระบบเหล่านี้:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

โดยที่อีกครั้งเป็นการตอบสนองของแรงกระตุ้นของระบบ มีหลายวิธีที่จะได้รับความสัมพันธ์นี้ (ฉันคิดว่าคุณสามารถสร้างข้อโต้แย้งที่คล้ายกันดังกล่าวข้างต้นโดยอ้างว่าฟังก์ชั่น Dirac delta ตลอดเวลาเปลี่ยนเป็นพื้นฐานฉากสำหรับพื้นที่ Hilbert โดยสังเกตว่าคุณสามารถใช้ คุณสมบัติการคัดแยกของฟังก์ชันเดลต้าเพื่อคาดการณ์ฟังก์ชันใด ๆ ในบนพื้นฐานนั้นดังนั้นคุณสามารถแสดงผลลัพธ์ของระบบในแง่ของผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐาน (เช่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นตามเวลา) แต่ฉันไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ที่มีใบอนุญาต ดังนั้นฉันจะทิ้งมันไว้) วิธีการหนึ่งที่อาศัยเฉพาะเมื่อดังกล่าวข้างต้นคุณสมบัติของระบบ LTI จะแสดงที่นี่$h(t)$$L^2$$L^2$

โดยสรุป:สำหรับทั้งระบบที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นนั้นมีประโยชน์เพราะช่วยให้เราสามารถคำนวณผลลัพธ์ของระบบเหล่านี้สำหรับสัญญาณอินพุตใด ๆ เอาท์พุทเป็นเพียงสัญญาณอินพุทที่เกิดจากการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

การตอบสนองความถี่:

การตอบสนองความถี่ระบบ LTI ให้ฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน: มันจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลกระทบที่ระบบจะมีสัญญาณอินพุตยกเว้นผลกระทบเหล่านั้นจะถูกแสดงในโดเมนความถี่ เรียกคืนนิยามของการแปลงฟูริเยร์ :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

ที่สำคัญยิ่งกว่าสำหรับภาพประกอบนี้ให้ดูที่การผกผัน:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

ในสาระสำคัญความสัมพันธ์นี้บอกเราว่าสัญญาณโดเมนเวลาใด ๆสามารถแบ่งออกเป็นการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจำนวนมากที่ความถี่แตกต่างกัน (มีความสัมพันธ์แบบอะนาล็อกสำหรับสัญญาณไม่ต่อเนื่องเรียกtransform ; ฉันปฏิบัติเฉพาะกรณีต่อเนื่องด้านล่างเพื่อความเรียบง่าย) สำหรับสัญญาณโดเมนเวลาการแปลงฟูริเยร์จะให้ฟังก์ชันที่สอดคล้องกันซึ่งระบุไว้สำหรับความถี่แต่ละตัวปัจจัยการปรับสเกลที่ใช้กับเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ความถี่$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$ในการรวมกันเชิงเส้นดังกล่าวข้างต้น โดยทั่วไปแล้วปัจจัยการปรับสเกลจะมีจำนวนเชิงซ้อน วิธีหนึ่งในการดูตัวเลขที่ซับซ้อนนั้นอยู่ในรูปแบบแอมพลิจูด / เฟสนั่นคือ:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

มองไปที่มันด้วยวิธีนี้แล้วสามารถเขียนเป็นเชิงเส้นการรวมกันของการทำงานที่ซับซ้อนหลายชี้แจงแต่ละปรับขนาดในความกว้างโดยฟังก์ชันและขยับในขั้นตอนโดยฟังก์ชัน(ฉ) สิ่งนี้สอดคล้องกับคุณสมบัติของระบบ LTI ที่เรากล่าวถึงก่อนหน้านี้ ถ้าเราสามารถแยกสัญญาณอินพุตลงในการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจำนวนมากจากนั้นเราสามารถเขียนเอาท์พุทของระบบเป็นการรวมเชิงเส้นแบบเดียวกันของการตอบสนองของระบบไปยังฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเหล่านั้นA ( f ) ϕ ( f ) x ( t $x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

นี่คือจุดที่ทำให้ดีขึ้น: ฟังก์ชั่นเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันเฉพาะของระบบเชิงเวลาไม่แปรผันเชิงเส้น แนวคิดนี้คล้ายกับ eigenvectors ในพีชคณิตเชิงเส้นหากคุณใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในระบบ LTI คุณจะได้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเดียวกันออกมาโดยปรับด้วยค่า (โดยทั่วไปซับซ้อน) นี่เป็นผลของการเปลี่ยนแอมพลิจูดและเฟสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่คุณใส่

$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

นำมารวมกัน:

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบ LTI และการตอบสนองความถี่นั้นสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด การตอบสนองความถี่เป็นเพียงฟูเรียร์ของกระตุ้นการตอบสนองของระบบ (จะเห็นว่าทำไมความสัมพันธ์นี้ถือดูคำตอบของคำถามอื่น ๆ นี้ ) ดังนั้นสำหรับระบบเวลาต่อเนื่อง:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

ดังนั้นเมื่อตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบหรือการตอบสนองความถี่ของระบบคุณสามารถคำนวณอีกข้อ อย่างใดอย่างหนึ่งก็เพียงพอที่จะอธิบายลักษณะการทำงานของระบบอย่างเต็มที่; การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นมีประโยชน์เมื่อทำงานในโดเมนเวลาและการตอบสนองความถี่นั้นมีประโยชน์เมื่อวิเคราะห์พฤติกรรมในโดเมนความถี่

ปังกับบางสิ่งบางอย่างอย่างแหลมคมครั้งและพล็อตว่ามันตอบสนองในโดเมนเวลา นั่นจะใกล้เคียงกับการตอบสนองของแรงกระตุ้น

รับตัวสร้างเสียงและสั่นด้วยความถี่ที่แตกต่างกัน ความถี่เรโซแนนบางส่วนมันจะขยาย อื่น ๆ อาจไม่ตอบสนองเลย เขียนขนาดการตอบสนองและเฟสเทียบกับความถี่อินพุท นั่นจะใกล้เคียงกับการตอบสนองความถี่

สำหรับระบบทั่วไปบางคลาส (ที่ระบบไม่เปลี่ยนแปลงมากนักเมื่อเวลาผ่านไปและไม่มีความเป็นเส้นตรงขนาดเล็กพอที่จะเพิกเฉยต่อจุดประสงค์ในมือ) การตอบสนองทั้งสองเกี่ยวข้องกันและอาจใช้การแปลง Laplace หรือ Fourier เพื่อประมาณความสัมพันธ์

การตอบสนองแบบอิมพัลส์คือการตอบสนองของระบบต่อพัลส์เดี่ยวของช่วงเวลาเล็ก ๆ และพลังงานต่อหน่วย (พัลส์ Dirac) การตอบสนองความถี่แสดงให้เห็นว่าแต่ละระบบมีการลดทอนหรือขยายสัญญาณเท่าใด

การตอบสนองความถี่ของระบบคือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เปลี่ยนเป็นโดเมนความถี่ หากคุณมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นคุณสามารถใช้ FFT เพื่อค้นหาการตอบสนองความถี่และคุณสามารถใช้ FFT ผกผันเพื่อเปลี่ยนจากการตอบสนองความถี่ไปเป็นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

ไม่นานเรามีสองชนิดของการตอบสนองขั้นพื้นฐาน: การตอบสนองเวลาและการตอบสนองความถี่ ทดสอบการตอบสนองเวลาว่าระบบทำงานอย่างไรกับการรบกวนชั่วขณะขณะที่การตอบสนองความถี่ทดสอบด้วยการรบกวนอย่างต่อเนื่อง การตอบสนองเวลาประกอบด้วยสิ่งต่างๆเช่นการตอบสนองขั้นตอนการตอบสนองทางลาดและกระตุ้นการตอบสนอง การตอบสนองความถี่มีการตอบสนองของซายน์

Aalto University มีหลักสูตร Mat-2.4129 บางส่วนได้อย่างอิสระที่นี่ส่วนใหญ่อาจเกี่ยวข้องกับไฟล์ Matlab เพราะเนื้อหาส่วนใหญ่ในฟินแลนด์ หากคุณสนใจคุณสามารถตรวจสอบวิดีโอด้านล่างเพื่อดูวิดีโอแนะนำ ฉันพบว่าพวกเขาเป็นประโยชน์ตัวเอง

ฉันมีความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับปัญหาของ LTI เท่านั้นดังนั้นฉันจะพูดถึงสิ่งเหล่านี้ด้านล่าง - แต่มีปัญหาที่แตกต่างกันมากขึ้น!

การตอบสนองกับปัญหาที่ไม่เปลี่ยนแปลงเวลาเชิงเส้น

ด้วยปัญหา LTI (ระยะเวลาไม่แปรเปลี่ยนเชิงเส้น) อินพุตและเอาต์พุตต้องมีรูปแบบเดียวกัน: อินพุตไซน์มีการส่งออกไซน์และผลการอินพุตขั้นตอนในทำนองเดียวกันในเอาต์พุตเอาท์พุต หากคุณไม่มีระบบ LTI - สมมติว่าคุณมีข้อเสนอแนะหรือการควบคุม / เสียงรบกวนและการเชื่อมโยงข้อมูลของคุณ - แล้วการยืนยันทั้งหมดข้างต้นอาจจะผิด ด้วย LTI คุณจะได้รับการเปลี่ยนแปลงสองประเภท: การเปลี่ยนเฟสและการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูด แต่ความถี่ยังคงเหมือนเดิม หากคุณตัดสมมุติฐานบางข้อให้พูดด้วยสมมติฐานที่ไม่สัมพันธ์กันดังนั้นอินพุตและเอาต์พุตอาจมีรูปแบบที่แตกต่างกันมาก

หากคุณต้องการตรวจสอบว่าระบบเป็น LTI หรือไม่คุณสามารถใช้เครื่องมือเช่นสมการ Wiener-Hopf และการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ สมการ Wiener-Hopf ใช้กับระบบที่มีเสียงดัง จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์และตรวจสอบสถานที่มิฉะนั้นอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้ง่าย เพิ่มเติมเกี่ยวกับการกำหนดกระตุ้นการตอบสนองกับระบบที่มีเสียงดังที่นี่

อ้างอิง

1. บทความ Wikipedia เกี่ยวกับ LTI ที่นี่

2. วิดีโอแนะนำที่ดีมากเกี่ยวกับการตอบสนองที่แตกต่างกันที่นี่และที่นี่ - ประเด็นสำคัญด้านล่าง