ตัวเลือกของการประชุมและสัญกรณ์สำหรับการแปลงฟูริเยร์?

คำจำกัดความของการแปลงฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์ที่ฉันเรียนรู้ในวิทยาลัยคือ

F (J ω) = \int_{- \infty}^{\infty} ฉ (เสื้อ) {อี}^{- J ω เสื้อ} d เสื้อ

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

ฉ (เสื้อ) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (J ω) {อี}^{J ω เสื้อ} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

ลักษณะเด่นของอนุสัญญานี้คือ

การแปลงแบบไม่รวมกัน; หน่วยโดเมนความถี่คือเรเดียน (ตัวแปรคือ ) $\omega$
หน่วย "โดเมนเวลา" อยู่ในเวลา (ตัวแปรคือ ) $t$
การแปลงฟังก์ชั่นแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ (กับ ) $F$ $f$
ในอย่างเคร่งครัดหมายถึงว่าการทำงานเป็นฟูเรียร์ $j$ $F(j\omega)$
และแน่นอนการประชุม EE ปกติที่{-1} $j=\sqrt{-1}$

ทุกวันนี้ฉันใช้การประชุมที่แตกต่างกันมากโดยพื้นฐานแล้วใช้กับ วิกิพีเดีย :

\hat{ฉ} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} ฉ (x) {อี}^{- J 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

ฉ (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{ฉ} (ξ) {อี}^{J 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$ ลักษณะของการประชุมครั้งนี้คือ

การเปลี่ยนแปลงแบบรวม หน่วยโดเมนความถี่เป็นความถี่ปกติ (ตัวแปรคือ ) $\xi$
หน่วย "โดเมนเวลา" ไม่มีหน่วย (ตัวแปรคือ ) $x$
ฟังก์ชั่นแปลงสวมหมวก (กับ ) $\hat{f}$ $f$
ตัวแปรในตัวอักษรกรีกหมายถึงตัวแปรที่ถูกแปลงในตัวอักษรละติน ( vs. ) $\xi$ $x$

ฉันชอบอนุสัญญานี้มากด้วยเหตุผลหลายประการ

การใช้ข้อตกลงแบบรวมเพิ่มความสมมาตรและความชัดเจนของฟูริเยร์คู่อย่างมาก: เปรียบเทียบ
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$ ,
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$ ถึง
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$ ,
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$ ปี่})
การใช้แทนสำหรับตัวแปร "โดเมนเวลา" ทำให้สมการไม่เชื่อเรื่องพระเจ้าของโดเมนปัญหามากขึ้น สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นมากในการทำให้เป็นอะนาล็อกเกี่ยวกับแนวคิดการประมวลผลภาพ 2D ในแง่ของแนวคิดการประมวลผลสัญญาณ 1D โดยไม่มีความไม่ลงรอยกันขององค์ความรู้ในการใช้เป็นตัวแปรที่แสดง ระยะทางหรือต้องเปลี่ยนตัวแปรรอบเมื่อไปจากโดเมนหนึ่ง $x$ $t$ $t$
ฉันพบว่าตัวอักษรตัวใหญ่มีประโยชน์มากกว่าสำหรับการแสดงตัวแปร / ฟังก์ชันที่มีค่าไม่ต่อเนื่องมากกว่าการแสดงหน้าที่ที่แปลงแล้ว
ใช้หมวกชัดเจนมากขึ้นหมายถึงฟูเรียร์ในฐานะที่เป็นผู้ประกอบการที่ นำมาใช้ในการที่ฟังก์ชั่นที่เกิดรับพารามิเตอร์โดเมนความถี่\เปรียบเทียบสิ่งนี้กับ u003cนั้นวิธี "ดั้งเดิม" ที่ฉันได้เรียนในวิทยาลัยเพื่อแสดงถึงการแปลงฟูริเยร์ในฐานะผู้ดำเนินการซึ่งดูเหมือนจะทำให้ฉันสับสนในเวลานั้น ( vs vsฯลฯ ) $f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
ฉันมักจะพบว่าการดำเนินการวิเคราะห์ประมวลผลสัญญาณกับเรเดียนเพียงโรยมากขึ้น s รอบกว่าที่ฉันรู้สึกว่าจำเป็น การใช้หน่วยของความถี่ปกติทำให้ฉันรู้สึกมากขึ้นโดยเฉพาะเมื่อทำงานผ่านปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง $\pi$

แน่นอนว่ามันค่อนข้างไร้สาระสำหรับฉันที่จะพิจารณาว่าตัวเลือกการประชุมของฉันจะ ดีกว่าที่คนอื่นใช้ แต่ฉันมีเวลาที่ยากลำบากในการหาเหตุผลที่ดีที่จะชอบการประชุมที่ฉันได้เรียนรู้ในวิทยาลัย (เช่นเหตุผลที่ไม่เกี่ยวข้องกับประเพณี)

ในปัจจุบันฉันคิดได้ว่าเหตุผลหนึ่งที่เหมาะสมสำหรับการเลือกการประชุมแบบ "ดั้งเดิม": การใช้การแปลงแบบไม่รวมกันและสัญกรณ์พารามิเตอร์ช่วยเพิ่มความสอดคล้องของการ แปลง Laplaceอย่างมาก นอกจากนี้หมวกอาจจะเสีย / สับสนได้ง่ายกว่าอักษรตัวใหญ่ $F(j\omega)$

ใครสามารถคิดเหตุผลอื่น ๆ ที่จะชอบการประชุมแบบ "ดั้งเดิม" (ไม่ใช่การรวมกัน)? การประชุมแบบ "ดั้งเดิม" นี้เหมือนกับสิ่งที่คุณเรียนรู้จากหลักสูตรการประมวลผลสัญญาณหรือไม่ (ถ้าคุณทำ) คุณชอบการประชุมแบบไหน

fourier-transform frequency

— rtollert
แหล่งที่มา

คำถามที่ชักชวนความคิดเห็นส่วนตัวนั้นไม่ได้มีประโยชน์จริงๆสำหรับเว็บไซต์นี้ คำตอบก็คือมันไม่สำคัญว่าการประชุมของคุณจะเป็นอย่างไรตราบใดที่คุณกำหนดอย่างถูกต้องใช้มันอย่างสม่ำเสมอและในหลาย ๆ กรณีกำลังติดอยู่กับสัญกรณ์ทั่วไปที่ใช้ในสาขาของคุณ สิ่งที่สำคัญคือการไม่ประดิษฐ์สิ่งใหม่ ๆ ที่จะเป็นการจงใจป้าน ผมไม่แน่ใจว่าวิธีการตั้งค่าส่วนตัวและความคิดเห็นที่มีประโยชน์ในการใด ๆ นี้ ...

— Lorem Ipsum

ฉันสามารถเข้าใจความปรารถนาที่จะหลีกเลี่ยงความเห็นเพียง แต่ฉันไม่คิดว่าจะมีคำถามที่ถูกต้องตามกฎหมายเป็นไปได้ว่าทำไมการประชุมแบบดั้งเดิมเป็นสิ่งที่พวกเขาจะ: เป็นไปได้ยากที่พวกเขาจะมีการกำหนดเพียงอุบัติเหตุทางประวัติศาสตร์ ฉันยินดีที่จะเขียนคำถามนี้ใหม่เพื่อหลีกเลี่ยงการร้องขอความคิดเห็นและมุ่งเน้นไปที่คำถามว่าการตัดสินใจในการประชุม / สัญกรณ์ในวรรณคดีการประมวลสัญญาณเหล่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

— rtollert

คุณลืมที่จะเปลี่ยนทุก2πกับτ : D

— endolith

@endolith คุณเอาชนะฉันได้ :)

— เก็บข้อมูล

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

ทางเลือกของการประชุมควรเป็นสิ่งที่เหมาะสมที่สุด (หรือคุ้นเคย) สำหรับผู้ชมที่คุณพยายามสื่อสารด้วย

— hotpaw2
แหล่งที่มา

สิ่งหนึ่งที่เกี่ยวกับการใช้ x (t) สำหรับสัญญาณคือการขนานระหว่างกัน

$y = x^2$

และ

$y(t) = x(t)^2$

โดยที่ x ยังคงเป็นอินพุตและ y ยังคงเป็นเอาต์พุตในกรณีนี้คือสัญญาณแทนที่จะเป็นตัวเลข

— endolith
แหล่งที่มา