“ การแปลงฟูริเยร์ไม่สามารถวัดสองเฟสด้วยความถี่เดียวกัน” ทำไมล่ะ?

15

ฉันได้อ่านแล้วว่าการแปลงฟูริเยร์ไม่สามารถแยกความแตกต่างของส่วนประกอบด้วยความถี่เดียวกัน แต่ระยะต่างกัน ตัวอย่างเช่นในMathoverflowหรือxrayphysicsที่ฉันได้รับชื่อคำถามของฉันจาก: "การแปลงฟูริเยร์ไม่สามารถวัดสองเฟสด้วยความถี่เดียวกันได้"

ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริงในเชิงคณิตศาสตร์?

fourier-transform fourier

— คณิตศาสตร์ตกตะลึง
แหล่งที่มา

5

คุณสามารถแยกแยะส่วนประกอบของพูดไหม? ฉันพนันได้เลยว่าคุณทำไม่ได้

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ilmari Karonen

FT ค้นหาส่วนประกอบที่สามารถรวมเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสัญญาณที่กำหนดใหม่ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าส่วนประกอบเหล่านั้นมีอยู่จริงในต้นฉบับ มีวิธีที่แตกต่างกันอย่างไม่สิ้นสุดที่สัญญาณที่ให้มาอาจถูก "สร้าง" แต่สัญญาณจะมี FT ที่ไม่ซ้ำกันเพียงอันเดียว

— โซโลมอนช้า

30

เป็นเพราะสัญญาณสองไซน์ที่มีความถี่เดียวกันและเฟสที่ต่างกันพร้อมกันนั้นจริง ๆ แล้วเทียบเท่ากับไซน์เดี่ยวที่ความถี่เดียวกัน แต่มีเฟสและแอมพลิจูดใหม่ดังนี้:

ปล่อยให้องค์ประกอบทั้งสองของ sinusodial รวมกันดังนี้:

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

จากการจัดการกับตรีโกณมิติมันสามารถแสดงให้เห็นว่า:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

โดยที่ และ

A = \sqrt{a^{2} + ข^{2} + 2 a ข \cos (θ - φ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$

Φ = {สีน้ำตาล}^{- 1} (\frac{a บาป (φ) + ข บาป (θ)}{a \cos (φ) + ข \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

ด้วยเหตุนี้คุณจึงมีไซน์เดียว (พร้อมเฟสใหม่และแอมพลิจูด) ดังนั้นจึงไม่มีอะไรแยกแยะแน่นอน ...

— Fat32
แหล่งที่มา

1

สมองของฉันจะต้องปิดตัวลงเพราะฉันทำตามสิ่งตรีโกณมิติ แต่ยังมีความสับสนหมุนวนรอบ .. OP ไม่ได้ถูกเพิ่มเข้าไปในวันนั้นอะไรที่ทำให้ขั้นตอนเริ่มต้นที่คุณเพิ่มเข้ามาคืออะไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเราแค่คิดว่าพวกเขาเป็นสัญญาณที่สองที่หนึ่งเริ่ม "ภายหลัง" กว่าอื่น ๆ แต่พวกเขาไม่ได้เพิ่มเราสามารถแยกความแตกต่างเหล่านั้นหรือไม่ เป็นเพราะคุณต้องเพิ่มเพราะคุณไม่สามารถมีสองจุดข้อมูลที่ความถี่เดียว? ขอบคุณ

— ทำเครื่องหมาย leeds

2

@markleeds, OP ไม่ได้บอกว่าเขาอ้างถึงการแปลงฟูริเยร์แบบเรียงหน้าต่างและลิงก์ที่ให้ไว้ระบุอย่างชัดเจนว่าเป็นเวอร์ชันที่ไม่ใช่หน้าต่างปกติ ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์รุ่นปกติสัญญาณจะถูกสันนิษฐานว่าเป็นผลรวมของน้ำหนักของไซนัสที่มีเฟสแตกต่างกัน การวิเคราะห์ประกอบด้วยการรับน้ำหนักและขั้นตอนเหล่านี้ ชุดของพวกเขาคือสเปกตรัม หากคุณต่อไซน์อยด์ 2 ตัวเข้าด้วยกันการวิเคราะห์ฟูริเยร์ทั่วโลกนี้ไม่สามารถแยกแยะเฟสได้ อย่างไรก็ตามการแปลงฟูริเยร์แบบหน้าต่างได้รับการออกแบบสำหรับงานดังกล่าว ... ไม่ว่ามันจะน่าทึ่ง

— Stefan Karlsson

1

ตามที่ความคิดเห็นของฉันแนะนำอาจเป็นข้อมูลเพื่อเพิ่มการกล่าวถึงการแปลงฟูริเยร์แบบหน้าต่าง หาก @ Fat32 มีเวลาเขาสามารถพูดถึงความไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อม 2 ไซนัสที่มีความถี่ต่างกันและทำไมเราถึงมีความถี่สุ่มที่เพิ่มเข้ามาในการแปลงฟูริเยร์ถ้าเราพยายามวิเคราะห์มัน

— Stefan Karlsson

2

สวัสดี @ ตราสัญลักษณ์ตามที่ StefanKarlsson ระบุไว้แล้วคำถามเกี่ยวกับกรณีของการซ้อนทับ (การปรากฏตัวเพิ่มเติมพร้อมกัน) ของไซนัสทั้งสองที่มีความถี่เดียวกัน โปรดสังเกตอย่างรอบคอบว่าเฟสนั้นเป็นคำที่เกี่ยวข้องและไม่สมบูรณ์ นั่นคือวัดด้วยความเคารพต่อแหล่งกำเนิด (เวลา) ทั่วไปที่เลือกซึ่งคือ

ด้านบน การต่อข้อมูล (เช่นเดียวกับใน Phase Shift Keying) อนุญาตให้มีการเลือกปฏิบัติแบบหน้าต่าง แต่คุณควรอ้างอิงแหล่งกำเนิดเวลาทั่วไปเพื่อบอกความแตกต่างของเฟส นั่นเป็นเหตุผลที่รับ PSK ต้องชีพจรเข้มงวดอรเวลา ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

1

@smsc รู้สึกเหมือนตัวเองซ้ำ แต่ถ้าการส่งออกของทั้งสองสายจะเพิ่มแล้ววิเคราะห์ผ่าน FT แล้วคุณจะเห็นคลื่นไซน์เดียวกับขั้นตอนการคอมโพสิตและ AMPL ... แต่ถ้าคุณไม่ได้เพิ่มพวกเขาและวิเคราะห์แยก จากนั้นคุณจะสามารถบอกขั้นตอนญาติของพวกเขาได้ ... และนี่ไม่เกี่ยวข้องกับ DFT

— Fat32

1

หากคุณอ่านเพิ่มเติมลงไปที่ " เวอร์ชันการแปลงฟูริเยร์แบบง่ายๆ ที่เรากล่าวถึงข้างต้นไม่สามารถอธิบายการเลื่อนเฟสได้ - ฟูเรียร์เปลี่ยนรูปอย่างไร คุณจะสังเกตเห็นคำอธิบายที่ดีขึ้นเล็กน้อยพวกเขาใช้ไซน์และโคไซน์

" คณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนเฟส (เลือกได้) "

เพื่อที่จะดูว่าการเปลี่ยนเฟสสามารถแบ่งออกเป็นไซน์และโคไซน์ที่ไม่มีการเลื่อนได้เราจำเป็นต้องมีตรีโกณมิติเอกลักษณ์: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( ข)

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

อย่างที่คุณเห็นการเลื่อนเฟสจะย้ายแอมพลิจูด (พลังงาน) ของสัญญาณไซน์บางส่วนไปเป็นสัญญาณโคไซน์ แต่ความถี่จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าคุณใช้การแทนค่าจำนวนเชิงซ้อนของการแปลงฟูริเยร์การเลื่อนเฟสจะแสดงการหมุนของค่าในระนาบเชิงซ้อนโดยที่ขนาดไม่เปลี่ยนแปลง ความจริงที่ว่าการเลื่อนเฟสย้ายเฉพาะแอมพลิจูดจากไซน์ไปยังโคไซน์หมายความว่าการเพิ่มสัญญาณสองสัญญาณที่มีความถี่เดียวกันและเฟสที่แตกต่างกันทำให้สัญญาณที่มีการเปลี่ยนเฟสโดยรวม (เฉลี่ย) ที่ความถี่นั้น

ในทางปฏิบัติมันมีความซับซ้อนมากขึ้นดู " เทคนิคการแปลงฟูเรียร์บางส่วน " " คอนจูเกตเฟสคอนจูเกต " และ " FOV และ k-space " ใน " แนะนำการเข้ารหัสเฟส - ฉัน " พวกเขาอธิบาย:

"... เมื่อคลื่นไซน์สองอัน (A และ B) ที่มีความถี่เท่ากัน แต่เพิ่มเฟสที่ต่างกันเข้าด้วยกันผลลัพธ์ก็คือคลื่นไซน์อีกตัวที่มีความถี่เดียวกัน แต่เป็นเฟสที่ต่างกันเมื่อคลื่นไซน์อยู่ใกล้กันในเฟส รบกวนและเมื่ออยู่นอกระยะพวกเขาจะเข้ามาทำลายโดยไม่ตั้งใจ

... เมื่อมองที่ผลรวมเท่านั้นคุณจะเห็นคลื่นไซน์ของความถี่และเฟสที่แน่นอน เป็นไปไม่ได้จากการสังเกตเพียงครั้งเดียวนี้เพื่อแยกแยะการมีส่วนร่วมของแต่ละคนที่ทำโดยคลื่น A และ B

อย่างไรก็ตามด้วยการสังเกตสองครั้งด้วย A และ B ที่เปลี่ยนไปตามเฟสที่แตกต่างกันคุณสามารถตรวจสอบการมีส่วนร่วมของแต่ละคนโดยดูจากผลรวมของพวกเขาเท่านั้น นี่คือภาพด้านล่างในภาพ MR ซึ่ง A และ B เป็นสองพิกเซลในคอลัมน์แนวตั้งเดียวกันซึ่งสะท้อนด้วยความถี่เข้ารหัสเดียวกัน (ω) โดยเฉพาะที่ขั้นตอนที่ 0 (พื้นฐานเมื่อไม่มีการไล่ระดับสีแบบเข้ารหัสเฟส) สัญญาณทั้งหมดจาก A&B เข้าด้วยกันสามารถเขียนได้: ดังนั้น (t) = บาปωt + B บาปωt = (A + B) บาปωt

...

จากการวัดเดี่ยวในขั้นตอนที่ 1 นี้เรายังไม่ทราบถึงแอมพลิจูดแยกแต่ละตัว A และ B เฉพาะความแตกต่าง (A − B) การใช้ข้อมูลจากทั้งขั้นตอนที่ 0 และขั้นตอนที่ 1 ร่วมกันเราสามารถแยกสัญญาณการมีส่วนร่วมที่ไม่ซ้ำกันด้วยพีชคณิตแบบง่าย:

½ [ดังนั้น + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A และ ½ [ดังนั้น - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

"

มิฉะนั้นจะมีลักษณะเช่นนี้ (ภาพ A):

PFI แสดงสิ่งประดิษฐ์จากอัลกอริทึมต่าง ๆ : (A) อัลกอริธึมพื้นฐาน (B) อัลกอริธึม BAX (C) อัลกอริธึม zero-fill (D) อัลกอริทึมพื้นฐานโดยใช้ข้อมูลที่มีค่าคงที่ก่อนหน้านี้

— ปล้น
แหล่งที่มา

1

$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

ดังนั้นในขณะที่สัญญาณทั้งคู่มีผลต่อขนาดของสัญญาณเอาต์พุตสัญญาณเพิ่มเติมจะไม่ส่งผลกระทบต่อพื้นที่เฟสของเอาต์พุต

— Acccumulation
แหล่งที่มา

1

ฉันต้องการใช้เส้นทางของคำถามเชิงเรขาคณิตโดยใช้ผลรวมของวงกลม

Sines และความผาสุกคือ "เพียงแค่" ส่วนจริงและจินตภาพของ cisoids หรือ exponentials ซับซ้อน (อ้างอิงบางสามารถพบได้ที่ฉันจะอธิบายชี้แจงซับซ้อนสังหรณ์ใจ? , พล็อตกระดิก 3D สำหรับการวิเคราะห์สัญญาณ: Heyser เกลียว / เกลียว , แปลงฟูเรีย อัตลักษณ์ )

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

a_{1} s_{ω, ϕ_{1}} (t) + a_{2} s_{ω, ϕ_{2}} (t) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

s_{ω, 0} (t) + a s_{ω, ϕ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π i (ω t)} + a e^{2 π i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

และทำให้เป็น:

\begin{matrix} (2) & (1 + a e^{2 π i ϕ}) e^{2 π i (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$ $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ $a$ - วงกลมรัศมีเป็นเหมือนล้อหมุนขนาดเล็กที่ติดอยู่กับวาล์ว (เช่นวงกลมสีน้ำเงินและสีแดงเท่านั้นจากภาพด้านบน) ตอนนี้เราดูการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งที่เส้นรอบวงของล้อเล็ก

$1$ $a$ $\alpha$ $\ref{a}$ $\ref{b}$

ในคำอื่น ๆค่าการแปลงฟูริเยร์หรือตาของมนุษย์สามารถแยกแยะส่วนประกอบที่มีความถี่เดียวกัน แต่ขั้นตอนที่แตกต่างกัน

[[ฉันจะเพิ่มภาพเคลื่อนไหวถ้าหาเวลา]]

— Laurent Duval
แหล่งที่มา