วิธีการลดการตอบสนองของระบบเชิงเส้นจากชุดสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต

ฉันต้องการทราบวิธีการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น .. โดยการตรวจสอบหรือไม่

พิจารณาระบบเชิงเส้นด้านล่าง เมื่ออินพุตไปยังระบบ ,และการตอบสนองของระบบคือ ,และดังที่แสดง $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ตรวจสอบว่าระบบเป็นเวลาที่คงที่หรือไม่ แค่คำตอบของคุณ
การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นคืออะไร?

แก้ไข: สมมติกรณีทั่วไปที่อินพุตที่กำหนดไม่มีแรงกระตุ้นขนาดเช่น $x_2[n]$

— Belbesy
แหล่งที่มา

คำแนะนำ: ใช้และเพื่อกำหนดสิ่งที่การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของต้องเป็น (ตั้งแต่เป็นเพียงแรงกระตุ้นขนาด) ที่ให้คำตอบกับคุณในส่วน (b) จากนั้นตรวจสอบอีกสองกรณีเพื่อดูว่าอินพุต / เอาต์พุตสอดคล้องกับการตอบสนองของแรงกระตุ้นนั้นหรือไม่ (ใช้คุณสมบัติการซ้อนทับของระบบเชิงเส้น) เพื่อรับคำตอบสำหรับส่วน (a)

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

นั่นเป็นปัญหาที่ยากขึ้นในกรณีทั่วไป หากพวกมันสั้นอย่างนี้คุณก็รู้ขอบเขตบนของระยะเวลาของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นและคุณมีคู่อินพุต / เอาท์พุตเพียงพอจากนั้นคุณสามารถตั้งค่าระบบของสมการเชิงเส้นที่คุณสามารถแก้ไขเพื่อให้ได้แรงกระตุ้นที่ไม่รู้จัก ค่าการตอบสนอง

— Jason R

ในกรณีทั่วไปอาจเป็นไปได้มากที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหา FIR หรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย คำแนะนำ: ตรวจสอบค่า DC ของ x1 [n] และ y1 [n]

— Hilmar

คำแนะนำ: สัญญาณอย่างไร สำหรับระบบLTIการตอบสนองควรเป็นใช่ไหม? ใช่ไหม? นอกจากนี้ทราบว่าหาไม่ต่อเนื่องเวลาเชิงเส้นเวลาที่แตกต่างกันของระบบที่มีอยู่ไม่ตอบสนองต่อหนึ่งหน่วยชีพจร แต่ไม่มีที่สิ้นสุดของการตอบสนองหน่วยชีพจรหนึ่งสำหรับแต่ละครั้งทันทีเมื่อชีพจรหน่วยเกิดขึ้น

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: ฉันยอมรับว่านี่เป็นปัญหาการบ้านที่น่ากลัว อย่างไรก็ตามระบบจะดูเป็นสาเหตุ ในขณะที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับดังนั้นคือดังนั้นเอาต์พุตของระบบจะไม่นำเข้าในเวลา

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

คำตอบ:

ฉันไม่แน่ใจว่าคนที่คลั่งไคล้ในสิ่งที่เป็นสาเหตุหรือสิ่งที่ขาดหายไปนั้นเกี่ยวข้องกับอะไร คุณสามารถเข้าถึงปัญหานี้ได้โดยคิดถึงพีชคณิตเชิงเส้น คือการแปลงเชิงเส้น การใช้กับอินพุตเป็นเพียงการคูณเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงมี ถ้าเป็นแรงกระตุ้นแล้วมันแค่หยิบคอลัมน์ของออกดังนั้นคอลัมน์ของคือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ แน่นอนว่าคู่อินพุต - เอาท์พุต 3 คู่นั้นไม่เพียงพอที่จะระบุว่าเป็นเมทริกซ์ 5x5 ได้อย่างสมบูรณ์ $L$ $L$

L x = Y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

ลองพิจารณาความแปรปรวนของเวลาที่จะมีความหมายจากมุมมองนี้ หากการแปลงเป็นแบบเส้นตรงและไม่แปรเปลี่ยนเวลาการตอบสนองแบบอิมพัลส์จะมีรูปร่างเหมือนกันและจะเลื่อนในเวลาเดียวตามจำนวนเท่ากับอิมพัลอินพุท สมมุติว่าการตอบสนองของแรงกระตุ้นสำหรับคือ 0 1 2 3 0 อยู่ตรงกลางด้านบนของแรงกระตุ้นอินพุต (และไม่ใช่สาเหตุ) เมทริกซ์เป็นเวลาคงที่เชิงเส้นแล้วจะมีลักษณะ: $L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

ดังนั้นในการตอบคำถามแรกคุณต้องสร้างคอลัมน์สองคอลัมน์ให้เพียงพอเพื่อดูว่าแตกต่างกันเพื่อหักล้างค่าคงที่ของเวลา วิธีการโดยตรงในการทำเช่นนี้คือการถือว่ามันไม่แปรเปลี่ยนเวลาและได้รับความขัดแย้ง อย่างไรก็ตามเพื่อแสดงว่ามันเป็นค่าคงที่เวลาต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเช่นมันต้องระบุเมทริกซ์อย่างสมบูรณ์ หากไม่ใช่ค่าคงที่เวลาจะมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่อาจแตกต่างกันสำหรับตัวอย่างแต่ละตัวอย่างไม่ใช่ตัวอย่างเดียวตามที่คนอื่นพูดถึง

$L$

— Derek Elkins ออกจาก SE
แหล่งที่มา

ดูเหมือนจะมีภาพที่หายไปตอนนี้และด้วยเหตุนี้ฉันอาจจะหายไปบางสิ่งบางอย่าง

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
หากสัญญาณอินพุตมี จำกัด แบนด์วิดท์และแบนด์วิดธ์น้อยกว่าระบบของคุณคุณจะไม่สามารถกู้คืนการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นได้
คุณจะสามารถตอบสนองความถี่ที่อินพุตมีพลังงานได้เท่านั้น
ซึ่งสามารถทำได้โดยการวิเคราะห์ความถี่ของอินพุตและเอาต์พุต
หากระบบของคุณเป็น LTI แน่นอนการเชื่อมต่อระหว่างอินพุตและเอาต์พุตถูกกำหนดโดย convolution พร้อมกับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น
Convolution เป็นการคูณในโดเมนความถี่ดังนั้นคุณสามารถได้รับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นได้อย่างง่ายดาย (อีกครั้งเฉพาะที่ความถี่ที่อินพุตมีพลังงานอยู่)

ปรับปรุง

นี่เป็นกรณีที่ดีในการแสดงคุณสมบัติการสลับสับเปลี่ยน

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

ดังที่เขียนไว้ด้านบนวิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้นก็คือเขียนปัญหาในรูปแบบเมทริกซ์

— Royi
แหล่งที่มา

รูปภาพกลับมาแล้วในตอนนี้ ดูเหมือนว่าคุณมีคำถามที่เฉพาะเจาะจงมาก ดังนั้นคำตอบของฉันซึ่งกว้างกว่าทั่วไปไม่ได้เน้นมากพอ

— Royi